O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti abdirashidov A., Babayarov A. I

 

---

85 
Mashqlar 
Quyida berilgan tenglamalarni kesuvchilar usuli bilan yeching (bunda 
a
, 
b
, 
c
, 

parametrlarni o‘zingiz har xil tanlash orqali turli variantlar hosil qilishing‘iz 
mumkin): 
1. 
0
)
(
2



cx
b
ax
ctg
; 
a 
= 3.01; 
b 
= 4; 
c 
= –1; 

= 10
-3
. 
2. 
0
cos
3



cx
bx
ax
; 
a 
= 2.23; 
b 
= –3.14; 
c 
= 1.02; 

= 6

10
-4
. 
3. 
0
)
(
3




c
bx
a
x
; 
a 
= –2.13; 
b 
= 1.47; 
c 
= –4.12; 

= 10
-5
. 
4. 
0
14
)
(
2




c
bx
ax
, 
a 
= 3.23; 
b 
= 1.2; 
c
= 3.22; 

= 4

10
-4
. 
5. 
0
sin
)
(
2



cx
b
a
x
; 
a 
= –3.21; 
b 
= –1.45; 
c 
= 2.12; 

= 2

10
-4
. 
6. 
0
ln
cos


x
b
x
a
; 
a 
= 2.06; 
b 
= –1.06; 

= 4

10
-5
. 
7. 
0
cos
/



cx
b
c
bx
a
; 
a 
= 2.07; 
b 
= 1.16; 
c 
= 1.02;

= 2

10
-5
. 
8. 
0
2
/
3




x
c
b
ax
; 
a 
= 1.11; 
b 
= –10.11; 
c
=–2.03; 

= 7

10
-5
. 
9. 
0
2
3




x
c
b
ax
; 
a 
= 1.11; 
b 
= –10.11; 
c
=–2.03; 

= 7

10
-5
. 
10. 
0
sin
3



cx
b
ax
; 
a 
= 1.11; 
b 
= –10.11; 
c
=–2.03; 

= 7

10
-5
. 
Izoh:
Dastlab funksiyaning grafigini matematik paketlardan birida (Maple, 
Matlab, Mathcad, Mathematica) yoki MS Excel dasturida chizing, haqiqiy ildizlar 
yotgan oraliqlarni aniqlab oling, hisoblashlarni qo‘lda va dastur yordamida bajaring. 
 
Vatarlar va urinmalar usullarining birlashgan variantlari. 
1-variant (urinmalar va vatarlar usullarining birlashgan varianti). 
Faraz qilaylik, [
a,b
] kesmada 
f
'(
x
) >0, 
f
''(
x
) >0. U holda urinmalar usulini 
qo‘llash natijasida izlanayotgan 
x
ildizga yaqinlashuvchi 
1
x
,
2
x
,… kamayuvchi 
ketma-ketlikka erishamiz. Xuddi shu holda vatarlar usulidan foydalansak, 
x
limitga 
intiluvchi 
x
1
, 
x
2
, … o‘suvchi ketma-ketlikni hosil qilamiz. Natijada, bu har ikkala 
usulni burlashtirgan holda hisoblashlarni bajarib, ya’ni ularni ketma-ket bir vaqtda 
qo‘llab, 
x
ildizni parallel ravishda ortiqchasi va kami bilan hisoblagan bo‘lamiz. 
Xususan, yetarlicha aniqlikda olingan 
n
x
va 
x
n
lar ildizning aniq qiymati 
x
ga 
tegishli bo‘ladi (2.29-rasm). 
Faraz qilaylik, 
1

n
x
va 
x
n
+1
– ildizning ortiqcha va yetmaydigan taqribiy 
qiymatlari bo‘lsin. Qaralayotgan holda ketma-ket yaqinlashishlar urinmalar va 
vatarlar usullari bo‘yicha mos ravishda quyidagi formulalar bilan hisoblanadi: 

















,...),
2
,
1
,
0
(
,
)
(
)
(
)
(
)
(
,...),
2
,
1
,
0
(
;
)
(
)
(
1
1
n
x
b
x
f
b
f
x
f
x
x
n
x
f
x
f
x
x
n
n
n
n
n
n
n
n
n

---

86 
bunda: 
b
x

0
- urinmalar usuli uchun; 
x
0
= a
– vatarlar usuli uchun. 
Hisoblash jarayoni ushbu 





1
1
n
n
x
x
shart 
bajarilgunga qadar davom ettiriladi. Yakuniy 
javob deb 
)
(
2
1
n
n
x
x
x


deb qabul qilinadi. 
Bu usulni qo‘llayotgan paytda quyidagiga amal 
qilish lozim: urinmalar usuli formulasidan 
foydalanilayotgan paytda qaysi chegarada 
ushbu 
0
)
(
)
(
'
0
0



x
f
x
f
shart bajarilsa, shu 
chegara qiymat (
a
yoki 
b
) 
0
x
deb qabul qili-
nadi; vatarlar usuli formulasidan foydalanila- 
yotgan paytda ushbu 
0
)
(
)
(
'



x
f
x
f
shart ba- 
2.29-rasm. 1-variant. 
jarilsa, 
x
0
=a
va aksincha ushbu 
0
)
(
)
(
'



x
f
x
f
shart bajarilsa, 
x
0
=b
deb qabul 
qilinadi. 
2-variant (urinmalar va kesuvchilar usulining birlashgan varianti).
 
Bu usulga ko‘ra har bir qadamda vatarlar usuli yangi [
n
x
,
n
x
] kesmaga 
qo‘llaniladi. Shu bilan birga urinmalar usuliga tegishli 
x
0
, 
x
1
, … larni hisoblashlar 
saqlab qolinadi. Shu bilan birga 
x
n
+1
yaqinlashish har bir keyingi vatarning absissa 
o‘qi bilan kesishish nuqtasidan topib boriladi. Avvalgi har bir
n
x
va 
x
n
yaqinlashish-
lar absissa o‘qidagi usullarga mos kesishish nuqtalardir (2.30-rasm). 
Shunday qilib, bu usulning mos formulasi quyidagicha: 
,...
2
,
1
),
(
)
(
)
(
)
(
1






n
x
x
x
f
x
f
x
f
x
x
n
n
n
n
n
n
n
,
bunda boshlang‘ich nuqtani tanlash urinmalar va kesuvchilar usuli mavzusidagiga 
mos. 
3-variant (vatarlar va kesuvchilar usulining birlashgan varianti). 
Bu usulning yaqinlashuvchanligi kafolatlangan. Dastlab ikkita 
x
0
va 
x
1
yaqinlashishlar tanlanadi (2.31-rasm). Agar 
x
0
va 
x
1
nuqtalar ildizning har xil 
tomonlarida yotsa, u holda vatarlar (2.32-rasm), aks holda esa kesuvchilar o‘tkaziladi 
(2.33-rasm). Bu usulning yuqoridagi ikkita variantdan farqi shuki, bunda hosila har 
bir iteratsiya tugunlarida emas, balki faqat boshlang‘ich nuqtada hisoblanadi. 
Bu usulning asosiy hisob formulalari quyidagicha: 



















,...).
2
,
1
(
,
)
(
)
(
)
(
)
(
,...),
2
,
1
,
0
(
;
)
(
)
(
1
1
1
0
1
n
x
x
x
f
x
f
x
f
x
x
n
x
f
x
f
x
x
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
 

---

87 
Oddiy iteratsiyalar usuli. 
Dastlabki 
0
)
(

x
f
tenglamani 
x
=

(
x
)
 
ko‘rinishga keltirish mumkin, masalan, 
k
x
f
x
x
/
)
(
)
(



formula bilan, bunda 
k
shunday tanlash kerakki, 
2
/
Q
k

bo‘lsin, bu yerda 
)
(
max
]
,
[
x
f
Q
b
a


va 
k
ning ishorasi [
a
,
b
] kesmada 
)
(
x
f

ning ishorasi bilan mos tushi-
shi lozim. Agar [
a
,
b
] kesmada 
1
)
(


x

shart (bu yetarli shart) bajarilsa, u holda it-
eratsion jarayon yaqinlashuvchi bo‘ladi, aks holda esa, ya’ni 


 

(
x
)

>1 bo‘lsa, u 
uzoqlashuvchi. 
 
2.30-rasm. 2-variant. 
2.31-rasm. 3-variant. 
Bu yerda ham boshlang‘ich yaqinlashishni tanlash har bir usuldagiga mos. Bu 
usulning blok-sxemasi 2.34-rasmda tasvirlangan. 
Faraz qilaylik, ildizning boshlang‘ich yaqinlashishi 
x
= 
x
0
bo‘lsin. Bu qiymatni 
x
=

(
x
) tenglamaning o‘ng tarafiga qo‘yib, 
x
1
= 

(
x
0
) yangi yaqinlashishni hosil 
qilamiz. Bu jarayonni har safar yangidan takrorlab, 
oddiy iteratsiyalar usulining 
hisob formulasi
deb ataluvchi ushbu 
x
n
+1
= 

 
(
x
n
) ,
n 
= 0,1, 2, ... (2.3) 
ketma-ket qiymatlarga ega bo‘lamiz. 
Agar 

(
x
) funksiya uzluksiz va uning limiti mavjud bo‘lsa, u holda 
]
lim
[
]
lim
[
]
[
lim
lim
1












n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x



va 
x
n
+1
ketma-ketlikning 
n
n
x



lim

limiti
x
=

(
x
) tenglamaning va o‘z navbatida 
f
(
x
)=0 tenglamaning ham ildizi bo‘ladi. 
Tanlangan (2.3) iteratsion jarayon 
bir qadamli
.
Iteratsiya usuli ba’zan 
ketma-ket yaqinlashishlar usuli
deb ham ataladi. 
Agar 
1
)
(


x

bajarilganda 


(
x
)>0 bo‘lsa, u holda ildizga yaqinlashish 
monoton va bir tomonlama, aksincha, ya’ni 

 

(
x
)<0 bo‘lsa, ikki tomonlama bo‘ladi. 
Ko‘rinib turibdiki, 



(
x
)

qancha kichik bo‘lsa, iteratsion jarayon shuncha tez 

---

88 
yaqinlashadi. Agar bunda 


(
x
)=0 bo‘lsa, u holda iteratsion jarayonni maxsus 
tekshirish talab qilinadi. Agar dastlabki yaqinlashish ildizga juda yaqin olingan 
bo‘lsa, u holda iteratsion jarayon juda tez yaqinlashadi.
2.32-rasm. Vatar o‘tkazilgan hol. 
2.33-rasm. Kesuvchi
chiziq o‘tkazilgan hol. 
2.34.-rasm. Kesuvchilar va vatarlar 
usullarining birlashgan varianti (3-
variant) blok-sxemasi. 
Talab qilinayotgan ildizni berilgan 

aniqlikda topish uchun zarur bo‘lgan 
iteratsiyalar soni taxminan ushbu 













q
N
1
ln
/
1
ln

tengsizlikdan aniqlanadi, bunda 
q
o‘zgarmas 



(
x
)


q 
< 1 tengsizlikdan olinadi. 
Bu (2.3) 
iteratsion jarayonning ildizga yaqinlashishi
(
usulning xatoligi
) 
quyidagi tengsizliklar zanjiri bilan baholanadi (
xatolikning aposterior bahosi
): 
0<

 

(
x
)<1 bo‘lganda

x
n
–


q
/(1–
q
)

x
n
–
x
n
-1

<

; 
–1<

 

(
x
)<0 bo‘lganda 

x
n
–


x
n
–
x
n
-1

<

. 
Bu zanjirning oxirgi qismi ikkita qo‘shni 
x
n
va 
x
n
-1
iteratsiyalarning hisob 
hatijalari bo‘yicha 
hisobni tugallash kriteriyasini
beradi, ya’ni bu iteratsion jarayon 
ushbu 

---

89 

x
n
–
x
n
-1


(1-
q
)/
q
yoki agar
q

0,5 bo‘lsa, soddaroq qilib ushbu 

x
n
+1
–
x
n

<

shart bajarilgunga qadar davom ettiriladi va 
x
n
+1
= 

yoki 
x
n
= 

yechim deb olinadi. 
Geometrik nuqtai nazardan 
y=x
va 
y
=

(
x
) funksiyalar grafiklari kesishgan 
nuqtasining absissasi 
f
(
x
)=0 tenglamaning yechimi bo‘ladi. 
Faraz qilaylik, 
x
=

(
x
) tenglama uchun 
1
)
(


x

shart bajarilsin. Dastlabki 
A
0
[
x
0
,

(
x
0
)] nuqtadan boshlab 
Ox
va 
Oy 
o‘qlariga parallel 
A
0
B
1
A
1
B
2
A
2
... ketma-ket 
siniq chiziqlarni bo‘g‘inlari «zinapoya» shaklida qilib quramiz (2.35,
a
-rasm), bunda 
A
0
,
 A
1
, 
A
2
, ... uchlar 
y
=

(
x
) egri chiziqda, 
B
1
, 
B
2
, 
B
3
,... uchlar esa 
y
=
x
to‘g‘ri chiziqda 
yotadi. Ko‘rinib turibdiki, bunga mos 
x
1
, 
x
2
, ... ketma-ket qiymatlar 

ildizga 
yaqinlashadi. Bunda boshqa holat ham yuz berishi, ya’ni 
A
0
B
1
A
1
B
2
A
2
... ketma-ket 
siniq chiziqlar «spiral» shaklida bo‘lishi ham mumkin (2.35,
b
-rasm).
Agar 
1
)
(


x

shart bajarilsa, ya’ni 0<


(
x
)<1 bo‘lsa, u holda yechimga 
yaqinlashish «zinapoya» shaklida (2.35,
a
-rasm), aksincha, –1<


(
x
)<0 bo‘lganda esa 
«spiral» shaklida (2.35,
b
-rasm) bo‘ladi. 
1
)
(


x

shart bajarilganda esa iteratsion 
ketma-ketlik uzoqlashuvchi bo‘ladi (2.36-rasm). 
a b 
2.35-rasm. Yaqinlashuvchi iteratsion jarayonlarning grafik tasviri. 
Iteratsion ketma-ketlikning yaqinlashuvchanligi va yechimning yagonaligi 
haqidagi teoremani isbotsiz keltiraylik. 
Teorema.
Faraz qilaylik, 

(
x
) funksiya [
a
,
b
] kesmada aniqlangan, uzluksiz va 
uning barcha qiymatlari uchun 

(
x
)

[
a
,
b
]. Agar 
x

(
a
,
b
) lar uchun shunday 
q
to‘g‘ri 
kasr mavjud bo‘lsaki, bunda ushbu 


 

(
x
)


q 
< 1 
tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, u holda: 
1) boshlang‘ich 
x
0

[
a
,
b
] ni qanday tanlashdan qat’iy nazar
 
ushbu (2.3) iteratsion 
jarayon yaqinlashuvchi bo‘ladi; 

---

90 
2) ushbu 
n
n
x



lim

limitik qiymat 
x
=

(
x
) tenglamaning [
a
,
b
] kesmadagi 
yagona ildizi bo‘ladi. Ildizning yagonligi haqida quyidagi teoremani isbotsiz 
keltiramiz. 
a
) 
b
) 
2.36-rasm. Uzoqlashuvchi iteratsion jarayonning grafik tasviri:
a
) 


(
x
)< –1;
b
) 


(
x
)>1.