O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti abdirashidov A., Babayarov A. I



Yüklə 5,01 Kb.
Pdf görüntüsü
səhifə47/69
tarix07.01.2024
ölçüsü5,01 Kb.
#211260
1   ...   43   44   45   46   47   48   49   50   ...   69
AbdirashidovA.BabayarovA.I.Hisoblashusullari1-qism2018

 
 
Teorema.
Agar biror 

= { 

:


– 
x
0



} nuqtalar to‘plamida 

(
x
) funksiya 
ushbu 


(
x

) – 

(
x

)


q

x

 
– 
x


x


x


S

q
< 1,
Lipshits shartini 
va 

x
0
– 

(
x
0
)

(1 – 
q
)

shartni qanoatlantirsa, u holda 
x


(
x
) tenglama 
S
kesmada yagona 

ildizga ega bo‘ladi. 
Iteratsion jarayonning yaqinlashish tezligi
ushbu 

x
n
 
– 



m q

/ (1 – 
q

tengsizlikdan aniqlanadi, bunda



x
0
– 

(
x
0
)

.
Agar 

(
x
) funksiya 

kesmada uzluksiz 


(
x
) hosilaga ega bo‘lsa, u hoda 
Lipshits shartini
sodda qilib 



(
x
)


q
< 1 kabi yozish mumkin.
Bular oddiy iteratsiya usuli maxraji 
q
ga teng bo‘lgan 
geometrik progressiya 
tezligi bilan yaqinlashadi
degani. 
Shuni ta’kidlaymizki, 

(
x
) funksiyani tanlashda juda ehtiyotkorlik talab qilinadi. 
Masalan, 
f
(
x
) = 
x
2
– 

tenglamani
x

x
2
– 
c

x
yoki
x

c
/
x
yoki
x
= 0,5(
x
+
c
/
x
)
ko‘rinishga keltirish mumkin. Shulardan 

(
x
) = 
x
2

c
+
x
ko‘rinishni tanlasak, –1<
x
<0 
oraliqdagina 
1
)
(


x

shart bajariladi va iteratsion jarayon –
c
ildizga 
yaqinlashadi. Agar 

(
x
) = 
c
/
x
desak, u holda 

 

(
x
)= –
c
/
x
2
va iteratsion jarayon 
uzoqlashuvchi bo‘lib chiqadi. 
Oddiy iteratsiyalar usulining blok-sxemasi 2.37-rasmda tasvirlangan. 
Namunaviy mashqlar va ularning yechimlari 
1-misol.
Ushbu 
a

f
(
x
)=
x
3

x
–1=0; 
b

f
(
x
)=
x
3

x
+1=0 tenglamaning ildizini oddiy 
iteratsiyalar usuli yordamida 

=0,01 aniqlik bilan toping. 


91 
Yechish.
a
) Ushbu 
f
(
x
)=
x
3

x
–1=0 tenglama [1;2] kesmada yagona ildizga ega, 
chunki
f
(1) = –1 < 0 va
f
(2) = 5 > 0. Agar berilgan tenglamani 
x
=
x
3
–1 ko‘rinishda 
yozib olsak, 

(
x
)=
x
3
–1 va 


(
x
)=3
x
2
. Bunda 
x

[1;2] lar uchun 


(
x
)

3, demak ite-
ratsion jarayon uzoqlashuvchi. Agar berilgan tenglamani 
3
1


x
x
deb 
o‘zgartirsak, 

holda 

(
x
)=
3
1

x
va 
)
)
1
(
3
/(
1
)
(
3
2



x
x


Bunda 
4
/
1
)
4
3
/(
1
)
(
0
3




x

tengsizlik barcha 
x

[1;2] lar uchun o‘rinli, demak 
iteratsion jarayon yaqinlashuvchi. Shunga ko‘ra 
3
1
1



n
n
x
x
iteratsion formuladan 
foydalanib ildizni topamiz. Topilgan qiymatlar: 1,0; 1,260; 1,312; 1,322; 1,3243 
ekanligidan izlangan yechim 

=0,01 aniqlik bilan 

=1,324 ga tengligi kelib chiqadi. 
Xususan, 
f

(
x
)=3
x
2
–1; 
11
)
(
max
]
2
,
1
[



x
f
Q

k

Q
/2 

6; 

(
x
) = 
x

f
(
x
)/

=
 x
–(
x
3

x
–1)/6; 
)
(
1
n
n
x
x



munosabatlarga ko‘ra 1,0; 1,1667; 1,2631; 1,3044; 1,3186; 1,3229; 
1,3242 natijalarni olamiz. Demak, 

=1,324 berilgan tenglamaning taqribiy ildizi. 
2.37-rasm. Oddiy iteratsiyalar usulining blok-sxemasi. 
b
) Ushbu 
f
(
x
)=
x
3

x
+1=0 tenglama [-2;-1] kesmada yagona ildizga ega. Agar 
berilgan tenglamani 
3
1


x
x
deb o‘zgartirsak, u holda 

(
x
)=
3
1

x
va 
)
)
1
(
3
/(
1
)
(
3
2



x
x

. Bunda 
4
/
1
)
4
3
/(
1
)
(
0
3




x

tengsizlik barcha 
x

[-2;-1] 
lar uchun o‘rinli, demak iteratsion jarayon yaqinlashuvchi. Shunga ko‘ra 
3
1
1



n
n
x
x
iteratsion formuladan foydalanib ildizni topamiz. Topilgan qiymatlar: -
1,000; -1,2599; -1,3123; -1,3223; -1,3243; -1,3246 ekanligidan izlangan yechim 


92 

=0,001 aniqlik bilan 

=-1,3246 ga tengligi kelib chiqadi. Xususan, 
f

(
x
)=3
x
2
–1; 
11
)
(
max
]
1
,
2
[





x
f
Q

k

Q
/2 

6; 

(
x
) = 
x

f
(
x
)/

=
 x
–(
x
3

x
+1)/6; 
)
(
1
n
n
x
x



muno-
sabatlarga ko‘ra -1,0; -1,1667; -1,2631; -1,3044; -1,3186; -1,3229; -,3242 natijalarni 
olamiz. Demak, 

=-1,324 berilgan tenglamaning taqribiy ildizi. 
2-misol. 
Ushbu 
0
sin
)
/
1
(
cos


x
x
x
tenglamaning eng kichik musbat ildizini 
oddiy iteratsiyalar usuli bilan beshta ishonchi raqam bilan aniqlang. 
Yechish. 
Berilgan tenglamani 
x
x
tg

ko‘rinishda yozib olaylik. 
y
=
x
va 
y
=tg
x
funksiyalarning grafiklarini chizib, dastlabki yaqinlashishni 
x
0
= 1,5


4,7 deb 
olishimiz mumkin, ammo bu hol uchun 

(
x
) = (tg
x
)

= 1/cos
2


1 ekanligidan 
tanlangan iteratsion jarayonning uzoqlashuvchanligi kelib chiqadi. Shuning uchun 
bunda 
x
= arctg
x
deb olish maqsadga muvofiq, chunki 
x
≠ 0 da 

(
x
) = (arctg
x
)


=1/(1+
x
2
)<1. Demak 
x
n+
1
= arctg
x
n
formuladan 
x
0

4,7 uchun 
x

4,4934 yechimga 
kelamiz. 
3-misol.
Ushbu sin

– 2
x
+ 0,5 = 0 tenglamaning [0;

/2] kesmadagi ildizini 
oddiy iteratsiya usuli yordamida 

=0,001 aniqlik bilan toping. 
Yechish. 
Berilgan tenglamani unga teng kuchli bo‘lgan 

= 0,25 + 0,5sin
x


(
x
) tenglamaga almashtirib olamiz. Buning uchun 
x

[0;

/2] qiymatlarda 

(
x
)=0,5cos
x
va 



(
x
)

0,5<1 o‘rinli. Demak 
x
n
= 0,25 + 0,5sin
x
n
iteratsion 
jarayon 
x
0
= 0,5 boshlang‘ich qiymat uchun ketma-ket 0,4897; 0,4852; 0,4832; 
0,4823; 0,4819; 0,48175; 0,48165; 0,4816 qiymatlarni beradi. Bu yerdan berilgan 
tenglamaning talab qilingan aniqlikdagi yechimi 
x

0,4816 degan xulosaga kelamiz. 
4-misol.
Ushbu 
f
(
x
) =

– cos(
x
) = 0, tenglamani 
x
0
= 1 boshlang‘ich yaqinla-
shishda oddiy iteratsiyalar usuli yordamida 

=10
-10
aniqlik bilan Maple dasturi 
paketidan foydalanib yeching (kesuvchilar usuli mavzusidagi 2-misolga qarang). 
Yechish.
Misolni Maple dasturi paketidan foydalanib yechish (2.38-rasm): 
# Dastur paketini ishga tushirish, funksiyaning berlishi va yechimni topish 
with
(
Student
[NumericalAnalysis]): 
f
:=
 x
–cos(
x
); 
fsolve
(
f
);
0.7390851332 
# Dastur paketidan foydalanib yechimni topish
 
FixedPointIteration(f, x
=1

tolerance=10
−10
); 
0.7390851332 
# Iteratsiyalar natijalarini chop qilish 
FixedPointIteration(f, x
=0.739
, tolerance
=10
−5
,output=sequence, maxiterations
=20);
0.739, 0.7391424773, 0.7390465043, 0.7391111536, 0.7390676053, 0.7390969401, 
0.7390771799, 0.7390904906, 0.7390815244, 0.7390875642 
# Natijalarni grafikda ifodalash 
FixedPointIteration(f, x 
= 1
, toleranc
e =10
−5
, output = plot, stoppingcriterion = func-
tion_value, maxiterations
=20);


93 
# Natijalarni grafikda ifodalashning animatsiyasi 
FixedPointIteration(f, x 
= 1
, toleranc
e =10
−5
, output = animation, stoppingcriterion 
= absolyute, maxiterations
=20); 
2.38-rasm. Tenglamaning haqiqiy ildizini oddiy iteratsiyalar usuli bilan
 
topish. 
Mashqlar 
Quyida berilgan tenglamalarni oddiy iteratsiyalar usuli bilan yeching (bunda 
a

b

c


parametrlarni o‘zingiz har xil tanlash orqali turli variantlar hosil qiling): 
1. 
0
2
3




x
c
b
ax


= 1.11; 

= –10.11; 

= –2.02; 

= 7

10
-5

2. 
0
sin


x
bx
ax


= 2.01; 

= –1; 

= 10
-5

3. 
0
)
cos(
3



cx
b
x
a


= 2.13; 

= 3.62; 

= –4.12; 

= 2

10
-4

4. 
0
)
(
)
ln(
5




b
x
a
x


= 2.11; 

= 4.03; 

= 3

10
-5

5. 
0
cos
2


cx
bx
ax


= 2.93; 

= 3.01; 

= 2.1; 

= 7

10
-5

6. 
0
/


cx
be
x
a


= 2.37; 

= –0.99; 

= 0.56; 

= 5

10
-4

Izoh:
Dastlab funksiyaning grafigini matematik paketlardan birida (Maple, 
Matlab, Mathcad, Mathematica) yoki MS Excel dasturida chizing, haqiqiy ildizlar 
yotgan oraliqlarni aniqlab oling, hisoblashlarni qo‘lda va dastur yordamida bajaring. 

Yüklə 5,01 Kb.

Dostları ilə paylaş:
1   ...   43   44   45   46   47   48   49   50   ...   69




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin