O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti abdirashidov A., Babayarov A. I

 
2.39-rasm. Steffensen usulining tenglama 
ikki karrali ildizini topishga qo‘llanilishi. 
 
Teskari kvadratik interpolyatsiya usuli. 
Usulning nomidan kelib chiqib, 
f
(
x
)=0 tenglamaning ildiziga yangi 
yaqinlashishni topish uchun 
y
=
f
(
x
) funksiyaga nisbatan teskari bo‘lgan 
x
=
g
(
y
) 
funksiyaning kvadratik interpolyatsiyasidan foydalaniladi. Ikkinchi darajali ko‘phad 

---

98 
bilan interpolyatsiyalash uchun (
x
,
y
) tekislikning uchta nuqtasi zarur, ularni ildizga 
yaqinlashuvchi uchta ketma-ket nuqtalarni tanlaymiz:
(
x
n
-2
, 
y
n
-2
=
f
(
x
n
-2
)), (
x
n
-1
, 
y
n
-1
=
f
(
x
n
-1
)) va (
x
n
, 
y
n
=
f
(
x
n
)). 
Bunday holda Lagranjning interpolyatsion formulasi quyidagicha yoziladi: 




















)
)(
(
)
)(
(
)
)(
(
)
)(
(
)
(
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
y
y
y
y
y
y
y
y
x
y
y
y
y
y
y
y
y
x
y
P
)
)(
(
)
)(
(
1
2
2
1
2









k
k
k
k
k
k
k
y
y
y
y
y
y
y
y
x
. (2.9) 
Bu ko‘phaddan keyinchalik foydalanish quyidagi farazlarga asoslangan. Agar 
x
=
g
(
y
) funksiya ma’lum bo‘lganda edi, u holda ildizni topish ushbu 
x
r
= 
g
(0) oddiy 
hisoblashga keltirilgan bo‘lardi. Ammo teskari funksiyani topish doimo tenglamani 
yechishdan ko‘ra murakkabroq. Ildiz atrofida 
g
(
y
) funksiya 
P
2
(
y
) ko‘phad bilan al-
mashtirishni taklif qilish mumkin. Bu bilan biz 
P
2
(0) ni hisoblab, dastlabki 
tenglamaning ildiziga yangi yaqinlashishni hosil qilamiz: 
x
k
+1
= 
P
2
(0). 
Shunday qilib, (2.9) ifodaga mos 
teskari kvadratik interpolyatsiya usuli
ning it-
eratsiyalarini quyidagi formula bo‘yicha hisoblash mumkin: 
)
)(
(
)
)(
(
)
)(
(
1
2
2
2
1
2
1
1
1
2
2
1
2
1
1
























k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
y
y
y
y
x
y
y
y
y
y
y
x
y
y
y
y
y
y
x
y
y
x
. (2.10) 
Teskari kvadratik interpolyatsiya usuli iteratsion jarayonlarining yaqinlashish 
tezligi 

=1,839 bo‘lib, bu kesuvchilar usulidagiga qaraganda kattaroq. Ammo bosh-
lang‘ich hisoblashlar uchun uchta 
x
0
, 
x
1
, 
x
2
qiymatlarni hisoblash talab etiladi. Agarda 
bu qiymatlar noo‘rin tanlansa, hisob algoritmi xaotik tus oladi. 
Kvadratik interpolyatsiyadan Myuller usulida ham foydalaniladi. Ammo bunda 
x
=
g
(
y
) teskari funksiya emas, balki 
y
=
f
(
x
) funksiya interpolyatsiyalanadi. Undan 
keyin esa interpolyatsion ko‘phadning ildizi dastlabki tenglamaga ildiziga yangi ya-
qinlashishni beradi, deb hisoblanadi. Ammo, ikkinchi darajali ko‘phad ikkita ildizga 
ega, hisoblashlarda esa ulardan birini tanlashga to‘g‘ri keladi. Agar ko‘phad kom-
pleks ildizlarga ega bo‘lib qolsa, u holda muammo yanada murakkablashadi. Shuning 
uchun Myuller usuli karrali bo‘lmagan ildizlar holida qulay va u teskari kvadratik in-
terpolyatsiya usuliga nisbatan ustunlikka ega emas. Bu usul 
y
=
f
(
x
) funksiya grafigi 
abssissa o‘qiga uringandagi ikki karrali ildizlarni topishga qulay. 
 
2.5. Ko‘phad ildizlarini izlashning sonli usullari 
Ko‘phadlarning maxsus xossalari algebraik tenglamalarni yechishning juda ko‘p 
usullarini yuzaga keltirgan, masalan, Lin usuli, Lobachevskiy usuli, Fridman usuli, 
parabolalar usuli, tushish usuli, Myuller usuli, Ridder usuli, Brent usuli, Lagerr usuli 
va boshqa usullar. Shulardan ba’zilari bilan tanishaylik. 
Algebraik ko‘phad ildizlarini topishning Lobachevskiy usuli. 
Bu usulning 
eng qulay tomoni shundaki, u ildizlarning taqribiy yaqinlashishi qiymatini talab 
qilmaydi. Bu usul ko‘phad har xil haqiqiy ildizlarga ega bo‘lgan holda qo‘llaniladi. U 
ikki bosqichda qo‘llaniladi. Agar ko‘phadning ildizlari ushbu 
n
x
x
x



...
21
1

---

99 
tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda
a
0
x
n
+
a
1
x
n
-1
+ . . . + 
a
n-
1
x
+
a
n
ko‘phad ildizlarin-
ing taqribiy qiymatlari uning koeffisiyentlari orqali Viyetning quyidagi umumlashgan 
teoremasi formulalari bilan ifodalanadi: 
x
1
+
 x
2
+…+
 x
n
= -a
1
/
a
0
, 
x
1
x
2
+
 x
1
x
3
+…+
 x
n-
1
x
n
= a
2
/
a
0
, 
x
1
x
2
x
3
+
 x
2
x
3
x
4
+…+
 x
n-
2
x
n-
1
x
n
= -a
3
/
a
0
, 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 
x
1
x
2
… 
x
n
 = 
(-1)
n
 a
n
/
a
0
. 
Bu yerda ketma-ket quyidagilarni topamiz: 
;
...
1
0
1
1
0
1
1
1
3
1
2
1
a
a
x
a
a
x
x
x
x
x
x
x
n















...
;
...
1
0
2
2
0
2
2
1
1
2
1
3
2
2
1
a
a
x
a
a
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
n
n














; 
.
,...
2
,
1
,
,
1
n
i
x
a
a
x
i
i
i
i





 
Ko‘phad kompleks ildizlarini izlashning sonli usullari.
Argument 
x
ning fa-
qat butun darajalari yig‘indisini o‘z ichiga olgan chiziqli bo‘lmagan tenglama chiziqli 
bo‘lmagan algebraik tenglama deb ataladi va u
P
n
(
x
) = 
x
n
+
a
n
-1
x
n
-1
+ . . . + 
a
1
x
+
a
0
= 0 (2.11) 
kabi yoziladi. Chiziqli bo‘lmagan algebraik tenglamaning yechimi ko‘phadning ildizi 
deb ham ataladi. Bu 
n
-darajali ko‘phadning ildizlarini izlashda ularning soni 
n
ta 
ekanligini (ularning karralilarini ham hisobga olganda) va ular ham haqiqiy va ham 
kompleks bo‘lishi mumkinligini e’tiborga olish lozim. Agar ko‘phadning 
a
i
 
koeffisiyentlari haqiqiy desak, u holda kompleks ildizlar kompleks-qo‘shma juftlikni 
hosil qiladi. Ildizlar soni haqidagi ma’lumot muhim ahamiyatga ega. 
Yuqorida chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni yechishning umumiy algoritmlaridan 
ko‘phadlar ildizlarini topishga ham foydalanish mumkin. Bunda faqat algoritmlarning 
amaliy tadbiqini kompleks sonlar arifmetikasi doirasida o‘tkazish lozim bo‘ladi. 
Shunga qaramasdan, ko‘phadlarning hamma ildizlarini (haqiqiy va kompleks ildizla-
rini) izlashning maxsus usullari mavjud. Ana shu usullardan ba’zilari bilan quyida 
tanishaylik. 
Ko‘pgina usullar dastlabki ko‘phaddan kvadratik ko‘pytuvchini chiqarish 
prosedurasiga asoslangan, ya’ni 
P
n
(
x
) = (
x
2
+
px
+
q
)(
x
n
-2
+
b
n
-3
x
n
-3
+ . . . + 
b
1
x
+
b
0
). (2.12) 
Bizga ma’lumki, 
x
2
+
px
+
q
=0 kvadrat ko‘phadning ildizlarini analitik yo‘l bilan 
topish mumkin, demak dastlabki (2.11) tenglama tartibi ikkiga kamayadi va masala 
ushu 
x
n
-2
+
b
n
-3
x
n
-3
+ . . . + 
b
1
x
+
b
0
= 0 

---

100 
tenglamani yechishga keladi. Bu tenglamaning o‘ng tarafidan yana bir bor kvadratik 
ko‘pytuvchini chiqarish mumkin, va hokazo. Ana shunday qilib ko‘paytuvchilarni 
chiqarish jarayoni ushbu 
x
2
+ 
b
1
x
+
b
0
= 0 kvadratik yoki 
x
+
b
0
= 0 chiziqli tenglama 
qolguncha davom ettiriladi. 
Kvadrat ko‘paytuvchilarni ajratish, ya’ni 
n
ta 
p
, 
q
, 
b
n
-1
, 
b
n
-2
, ..., 
b
1
, 
b
0
koeffisiyentlarni izlash haqidagi bu masalasi quyidagicha yechiladi. 
Dastlabki 
P
n
(
x
) ko‘phadning ikki xil (2.11) va (2.12) shakllaridagi bir xil darajali 
hadlari koeffisiyentlarini o‘zaro tenglashtirib, quyidagi ikkita tengliklar sistemasini 
hosil qilamiz: 
b
n
-3
+ 
p
= 
a
n
-1
, 
b
n
-4
+ 
pb
n
-3
+ 
q
= 
a
n
-2
, 
b
n
-5
+ 
pb
n
-4
+ 
qb
n
-3
= 
a
n
-3
, (2.13) 
……………………….. 
b
1
+ 
pb
2
+ 
qb
3
= 
a
3
, 
b
0
+ 
pb
1
+ 
qb
2
= 
a
2
va
q
= 
a
0
/
b
0
,
p
= (
a
1
-
qb
1
)/
b
0
. (2.14) 
Agar 
p
va 
q
koeffisiyentlarga ixtiyoriy qiymatlar berilsa, u holda (2.13) 
sistemadan noma’lum 
b
n
-1
, 
b
n
-2
, ..., 
b
2
keffisiyentlarni ketma-ket yo‘qotib, 
b
1
va 
b
0
larning qiymatlarini hisoblab olish mumkin, ya’ni (2.13) sistema quyidagi ikki 
argumentli ikki funksiyani topish imkonini beradi: 
b
0
 =
b
0
(
p
,
q
) va
b
1
 =
b
1
(
p
,
q
). (2.15) 
Endi (2.15) funksiyalardan (2.14) tengliklarning o‘ng taraflarida foydalanish 
mumkin, natijada qiyidagi ikkita chiziqli bo‘lmagan tenglamalar sistemasiga kelinadi: 
)
,
(
)
,
(
,
)
,
(
0
1
1
0
0
q
p
b
q
p
qb
a
p
q
p
b
a
q



. (2.16) 
Shuni ta’kidlash lozimki, (2.16) tenglamalar sistemasining o‘ng qismlari analitik 
shaklda berilmagan bo‘lib, har bir (
p
,
q
) argumentlar qiymatlari juftligi uchun 
b
1
va 
b
0
qiymatlarni hisoblash algoritmi shaklidadir. Ana shunday amaliy tadbiq ko‘plab 
amaliy masalalarni yechishda uchraydi. Tenglamalarni yozishda bunday analitik 
shakllarning berilmaslik holati ularni yechishga to‘sqinlik qilmaydi. 
Agar (2.16) tenglamalar sistemasi oddiy iteratsiya algoritmi bilan yechilsa, u 
holda dastlabki (2.11) tenglama uchun qo‘llaniladigan sonli usul 
Lin usuli
deb ataladi. 
Bunda (
p
0
,
q
0
) boshlang‘ich yaqinlashishdan bog‘liq iteratsiyalar quyidagi formulalar 
bilan bajariladi: 
)
,
(
)
,
(
,
)
,
(
0
1
1
1
0
0
1
k
k
k
k
k
k
k
k
k
q
p
b
q
p
b
q
a
p
q
p
b
a
q





. (2.17) 
Oddiy iteratsiyalar o‘rnida Zeydel algoritmidan foydalanish mumkin. U holda 
(2.17) iteratsion formulalardan ikkinchisi quyidagi ko‘rinishda yoziladi: 

---

101 
)
,
(
)
,
(
1
0
1
1
1
1
1






k
k
k
k
k
k
q
p
b
q
p
b
q
a
p
. 
Bu iteratsion jarayon har qanday holatda ham toki ushbu 







2
1
2
1
)
(
)
(
k
k
k
k
q
q
p
p
(bunda 

- yechimning aniqligini ifodalovchi kichik miqdor) shart bajarilgunga qadar 
yoki iteratsiyalar soni yetarlicha katta bo‘lgunga qadar davom ettiriladi. Oxirgi holat, 
ya’ni iteratsiyalar sonining juda katta bo‘lib ketishi iteratsiyalarning uzoqlashuvchi 
ekanligini va (2.16) sistema yechimga ega emasligini bildiradi. 
Bertstou usuli
ham xuddi yuqoridagidek kvadratik ko‘paytuvchini ajratishga 
asoslangan bo‘lib, bunda (2.16) ikkita tenglamalar sistemasi Nyuton usuli bilan 
yechiladi. Bu yerda ham iteratsiyalarning yaqinlashuvchanligi masalasi juda ham 
jiddiy holat.