O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti abdirashidov A., Babayarov A. I

 
Usullar bo‘yicha end muhim xulosalar quyidagilar: 
1. 
Ildizlarni ajratish
. 

ildizlarni ajratish yagona ildiz yotgan oraliqni topish imkonini beradi, bu esa 
ildizlarni aniqlash usullarining ishlashi uchun imkoniyat yaratib beradi; 

funksiyaning hosilasi mavjud bo‘lmagan nuqtalari, ya’ni uzilish nuqtalari un-
ing kritik nuqtalariga kiradi, shuning uchun funksiyaning ildizlarini analitik 
usulda ajratish mumkin; 

izolyatsiyalangan ildiz yotgan interval topilgandan so‘ng hisoblashlarni ka-
maytirish maqsadida (masalan, bu intervalning chegaralaridan biri cheksizlik-
da yotgan bo‘lsa) argumentning ixtiyoriy qiymatini berish orqali bu intervalni 
qisqartirish mumkin va bunda funksiyaning ishorasini tekshirish lozim; agar 
shu intervalda yagona ildiz yotganligiga ishonch yo‘q bo‘lsa, bunday 
qilmagan ma’qul; 

ildizlarni analitik usulda ajratishning asosida yotgan kritik nuqtalar bu 
funksiyaning birinchi hosilasi nolga teng yoki u mavjud bo‘lmagan nuqtalar; 

agar shu intervalda funksiyaning bitta kritik nuqtasi mavjud bo‘lsa, unda bu 
intervalda shu funksiyaning: ikkita ildizi bor bo‘lishi mumkin (agar funksi-
yaning 
x

va 
x

-

dagi ishorasi bir xil va uning kritik nuqtasidagi 
ishorasiga qarama-qarshi bo‘lsa); bitta ildizi bor bo‘lishi mumkin (agar 
funksiyaning 
x

yoki 
x

-

dagi ishorasi uning kritik nuqtasidagi ishorasi 
bilan mos tushsa); ildizi bo‘lmasligi mumkin (agar funksiyaning yuqorida 
qayd qilingan barcha nuqtalarida ishoralari bir xil bo‘lsa); 

fuksiyaning kritik nuqtasini topish uchun 
f
'(
x
) = 0 chiziqli bo‘lmagan teng-
lamani yechish zarurati tug‘ilishi mumkin; bu albatta qiyin, chunki ildizlarni 
ajratishning bu holi xuddi dastlabki 
f
(
x
) = 0 chiziqli bo‘lmagan tenglamani 
yechish kabi hol degani. 

---

102 
2. 
Oraliqni teng ikkiga bo‘lish usuli. 

oraliqni teng ikkiga bo‘lish usulining geometrik ma’nosi bu ildiz yotgan 
oraliqni ketma-ket teng ikki qismga bo‘lib borishdan iborat; 

agar tenglamaning chap toponidagi chiziqli bo‘lmagan funksiya uzluksiz 
bo‘lsa, u holda oraliqni teng ikkiga bo‘lish usuli izlanayotgan ildizni berilgan 
aniqlikdagi xatolik topib beradi, chunki bunday holda masalani yechish ja-
rayoni funksiyaning xossasidan bog‘liq bo‘lmaydi; 

oraliqni teng ikkiga bo‘lish usulining keyingi qadamidagi kesmaning oxirlari-
dan biri doimo hisob jarayonidagi kesmaning o‘rtasida, ikkinchisi esa tan-
langan nuqtaga nisbatan 
f
(
x
) funksiya ishorasini almashtirgan kesmaning oxir-
ida yotadi; 

f
(
x
) = 0 tenglamani yechishni kafolatlash uchun 
f
(
x
) funksiyaning uzluksiz 
bo‘lishi yetarli; 

f
(
x
) = 0 tenglamaning hech bo‘lmaganda bitta haqiqiy ildizini oraliqni teng 
ikkiga bo‘lish usuli bilan topish uchun ildizlarni ajratish qoidasidan foyda-
lanish zarur, aks holda ildizni faqat oraliqni teng ikkiga bo‘lishlar jarayonida 
f
(
x
) funksiya bo‘laklangan oraliqning chetlarida ishorasini almashtiradigan 
holdagina topish mumkin bo‘ladi; 

agar ildiz intervalning chegarasida yotgan bo‘lsa ham bu usul uni topish im-
konini beradi. 
3. 
Vatarlar usuli
. 

bu usul avvaldan yakkalangan ildiznigina topish imkonini beradi; 

vatarlar usulining geometrik ma’nosi bu ajratilgan kesmada 
f
(
x
) chiziqli 
bo‘lmagan funksiyani shu kesmaning oxirlaridan o‘tuvchi chiziqli funksiya, 
ya’ni vatar bilan almashtirishdan iborat; 

yechimni berilgan xatolik bilan topish uchun, birinchidan, funksiya kesmada 
(hech bo‘lmaganda ildiz atrofida) monoton bo‘lishi lozim, ikkinchidan, u 
keskin egrilikka ega bo‘lmasligi zarur; 

vatarlar usulida 
f
(
x
) monoton funksiya uchun kesmaning chetlaridan biri 
qattiq mahkamlangan hisoblanadi, ikkinchisi esa vatarning 
Ox
abscissa o‘qi 
bilan kesishishidan topiladi; bu mahkamlangan chegara funksiyaning ishor-
asini va uning ikkinchi tartibli hosilasini intervalning chetlarida tahlil qilishda 
topiladi; 

f
(
x
) = 0 tenglamani vatarlar usuli bilan yechish uchun 
f
(
x
) funksiya uzluksiz 
va monoton bo‘lishi zarur; 

mahkamlangan chegara chiziqli bo‘lmagan tenglama funksiyasining xossasi-
dan bog‘liq va u har xil bo‘lishi mumkin. 
4. 
Nyuton usuli.

---

103 

Nyuton usulining geometrik ma’nosi bu ajratilgan kesmada 
f
(
x
) chiziqli 
bo‘lmagan funksiyani shu kesmaning oxirlaridan biriga urinma bo‘lib 
o‘tuvchi chiziqli funksiya bilan almashtirishdan iborat; 

Nyuton usulida 
х
0
boshlang‘ich yaqinlashishni shunday tanlash lozimki, 
х
0
nuqtada funksiya grafigiga o‘tkazilgan urinma ildiz yotgan interval ichida 
Ox
o‘qini kesib o‘tsin; bu jarayon funksiyaning ishorasi va uing ikkinchi tartibli 
hosilasi yoki tanlash va xatoliklar usuli bilan baholanadi; 

o‘ng chegara mahkamlangan bo‘ladi; 

f
(
x
) = 0 tenglamani Nyuton usuli bilan yechish uchun 
f
(
x
) funksiya uzluksiz 
va monoton bo‘lishi zarur; 

agar
f
(
x
) funksiya monoton bo‘lmasa, u holda Nyuton usuli klassik holda 
kafolatlangan natijani bermasligi mumkin. 
5. 
Iteratsiyalar usuli.

bu usulda 
f
(
x
) = 0 tenglama 
x
= 

(
х
) ko‘rinishga keltiriladi, bunda 

(
х
) 
funksiya 


 

(
х
) 

< 1 shartni qanoatlantirishi lozim; 

bu usulda yaqinlashish deb qadamlar soni oshgan sari ildizga ketma-ket ya-
qinlashish tushuniladi; 

ildizga yaqinlashish bir tomonlama (chapdan yoki o‘ngdan) va ikkala tomon-
dan bo‘lishi mumkin, ya’ni ildizga yaqinlashish tebranish jarayoni kabi; 

agar tanlangan kesmada ikkita ildiz mavjud bo‘lsa, u holda 
у
= 
х
to‘g‘ri 
chiziqning 
у
= 

(
х
) egri chiziq bilan ikkita kesishish nuqtasi bo‘lishi lozim; 
ulardan biri bilan yaqinlashish sharti bajariladi, ikkinchisi bilan esa yo‘q (agar 
у
= 

(
х
) uzilishlarga ega bo‘lmasa); 

iteratsion jarayonning yaqinlashmaslik sababi ildizning mavjud bo‘lmasligi 
yoki yaqinlashish shartining bajarilmasligi (keyingi holda 

(
х
) funksiyaning 
tuzilishini o‘zgartirish orqali dastlabki, ya’ni 
f
(
x
) = 0 tenglamani boshqa algo-
ritmdan foydalanib, iteratsiyalar uchun qulay ko‘rinishga keltirish); 

ildizga “tebranma” yaqinlashishda ildiz joylashgan kesmaning miqdorini 
nazorat qilish mumkin (u ikkita qo‘shni yaqinlashishlar ayirmaning moduli), 
bir tomonlama yaqinlashishda esa yaqinlashish shartiga 

(
х
) funksiyaning shu 
intervaldagi hosilasining maksimal qiymatidan bog‘liq ko‘paytuvchi kiradi.