O„zbekiston respublikasi oliy va o„rta maxsus ta‟lim vazirligi toshkent davlat iqtisodiyot universiteti

 
4.3.3. Kompyuter grafikasida V-splaynlarni qo„llanilishi 
Bez‘e ko‗p hadlari yordami bilan hosil qilingan o‗xshash egri chiziqlarni 
yasash uchun V-splaynlardan foydalanish mumkin. Agar 
p
i
(i=0,1,…,k) 
orientir-
nuqtalar to‗plami bo‗lsa, u holda splaynni quyidagicha aniqlash mumkin: 



k
i
m
i
i
t
N
p
t
p
0
,
).
(
)
(
(16) 
Endi t qiymatlarining diapozoni [0,1] segment bilan chegaralanish zarur emas. 
Birlashtiruvchi t
1
, t
2
, … t
k-1 
nuqtalar Bez‘e ko‗p hadi bo‗lgan holga nisbatan 
boshqacharoq berilishi kerak. Shuni aytish zarurki, (16) tenglama ikki (12) 
tenglamaga ekvivalent bo‗lib, bunda orientir-nuqtalar (12) tenglamaning a
i 
koeffitsiyentlariga mos keladi. Vektorlarni songa ko‗paytirilgan yig‗indisi (V-
splaynlar) n(t) funksiyani ifodalaydi. Ularning yig‗indisi o‗z navbatida birga teng. 
Undan quyidagi natija kelib chiqadi. 
Tasdiq 1. n(t) splayn eng ko‗pi bilan m+1 ta n
i
orientir-nuqtalarning qabariq 
sohasida yotadi. 

---

69 
m = 1 bo‗lgan holda unga mos ko‗pburchak orientir-nuqtalar bilan aniqlanadi. 
n(t) splaynning har bir qiymati ikki nuqtani tutushtiruvchi to‗g‗ri chiziqda yotadi. m = 
3 hol uchun ikki misol keltirilgan. Tepalikning n(t) egri chiziq yotgan qismi 
shtrixlangan uchburchaklar bilan belgilangan. 
Karrali nuqtalarning borligi sintez qilinayotgan egri chiziqni orientir-
nuqtalarga yaqinroq o‗tishga majbur qiladi. Bu ko‗p tomondan Bez‘e ko‗p hadi bilan 
bo‗lgan holga o‗xshab ketadi. Bir xil ikki nuqtaning borligi m = 2 bo‗lgan hol uchun 
ular 0 orqali egri chiziq o‗tishini ta‘minlovchi misolni ko‗rsatilgan mumkin. 
Splaynlarning joylashishiga yanada qattiq cheklanishlar qo‗yish mumkin edi. Ammo 
shtrixlangan soha bilan qavariq sohadagi hamma nuqtalarning taqqoslash 
ko‗rsatadiki, V-splaynlar qayta hosil qilinayotgan egri chiziqning formasini 
boshqarishni Bez‘e ko‗p hadiga nisbatan juda aniq amalga oshirishni ta‘minlaydi.
(16) tenglamaning ustunligi shundan iboratki, r splaynlar uch o‗lchamli 
vektorlar bilan ifodalanishi mumkin. Bunday usul fazoviy egri chiziqlarni olishni 
ham ta‘minlaydi. 
Agar n(t) va n
i 
kompleks son sifatida qaralsa, u holda (23) tenglamaning yana 
bir interpretatsiyasini (ma‘nosini) taklif qilish mumkin. Bunday holda (16) oddiy 
kompleks splayn bo‗ladi: 



k
i
m
i
i
t
N
z
t
z
0
,
).
(
)
(
(17) 
Splaynlar berilishining bu ikki xil ko‗rinishi ekvivalent. Chunki, kompleks 
sonlar geometrik ma‘noga ega bo‗lib, uning haqiqiy qismi x koordinataga, mavhum 
qismi esa – u koordinataga mos keladi. Splaynlarni kompleks formada ifodalash 
shriftlarni sintez qilishda Knut tomonidan ko‗p ishlatilgan [14]. 
Endi V-splaynlar yordami bilan tasvirlangan splaynlarning xossalariga batafsil 
to‗xtalib o‗tamiz. Faraz qilaylik, N
i,m
(t) t
i+j 

t 

t
i+j+1 
intervaldagi qiymati B
i,m,j
(t) 
bo‗lsin. Bunday holda (23) tenglamani quyidagi ko‗riishda yozish mumkin: 








m
j
i
i
j
m
j
i
j
i
t