65
.
,
)
(
2
1
1
2
2
1
1
1
,
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
x
x
x
агар
x
x
x
x
x
x
x
агар
x
x
x
x
x
N
(6)
Kvadratik:
;
)
)(
(
)
(
)
(
1
1
2
2
2
,
i
i
i
i
i
i
i
i
x
x
x
агар
x
x
x
x
x
x
x
N
;
)
)(
(
)
)(
(
)
)(
(
)
)(
(
)
(
2
1
1
2
1
3
1
3
1
2
2
1
2
,
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
x
x
x
агар
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
N
;
)
)(
(
)
(
)
(
3
2
2
3
1
3
2
3
2
,
i
i
i
i
i
i
i
i
x
x
x
агар
x
x
x
x
x
x
x
N
(7)
Birlashtiruvchi nuqtalarning L uzunlikdagi segmentlarda tekis joylashtirilsa,
keltirilgan ifodalar ancha soddalashadi.
Bu holda qulaylik uchun x
i
= iL deb va
me‘yorlangan o‗zgaruvchi kiritiladi.
u=(x-x
tc
)/L=x/L-i.
(8)
Natijada V-splaynlar ifodasi quyidagi ko‗rinishga keladi.
Tekis chiziqli:
2
1
2
1
0
)
)
((
1
,
u
агар
u
u
агар
u
L
u
i
U
i
(9)
Tekis kvadratik:
;
1
0
2
1
)
)
((
2
2
,
u
агар
u
L
u
i
U
i
;
2
1
2
3
4
3
)
)
((
2
2
,
u
агар
u
L
u
i
U
i
(10)
;
3
2
)
3
(
2
1
)
)
((
2
2
,
u
агар
u
L
u
i
U
i
Agar birlashtiruvchi nuqtalar tekis taqsimlangan bo‗lsa, (5) tenglamadan
bevosta foydalanib, kvadratik splayn formulasidan kubik splayn ifodasini olish
mumkin.
;
1
0
6
1
)
)
((
3
3
,
u
агар
u
L
u
i
U
i
66
;
2
1
)
2
(
)
2
(
2
1
3
2
)
)
((
2
3
3
,
1
u
агар
u
u
L
u
i
U
;
3
2
)
2
(
)
2
(
2
1
3
2
)
)
((
2
3
3
,
1
u
агар
u
u
L
u
i
U
;
4
3
)
4
(
6
1
)
)
((
2
3
,
u
агар
u
L
u
i
U
i
(11)
V-splaynlardan asos sifatida foydalanib, ixtiyoriy splayn ifodasini olamiz.
1
,
).
(
)
(
k
m
i
m
i
i
x
N
a
x
p
(12)
Bu tenglamada (k+m) ta parametr: a
m
, a
m+1
, … , a
k-1
bor. P(x)
splaynning har
bir kichik sohadagi qiymati ko‗pi bilan (m+1) ta V-splayn yig‗indisi bilan aniqlanadi,
ya‘ni lokallik xususiyatiga ega. (12) tenglamada ixtiyoriy koeffitsiyentini o‗zgartirish
egri chiziq ko‗rinishini faqat (m+1) ta bo‗lakda o‗zgarishiga olib keladi.
V-splaynlarni hisoblash xususiyatlari
. (5) tenglama V-splaynning x
nuqtadagi qiymatini aniqlashning sodda jarayonidir. Har bir [x
i
, x
i+1
] segment uchun
m darajali noldan farqli (m+1) ta splayn mos keladi. Bu segmentda
)
(
,
x
N
m
i
ning
qiymati
)
(
1
,
x
N
m
i
gagina bog‗liq, chunki
)
(
1
,
1
x
N
m
i
bu segmentda nolga teng.
)
(
,
1
x
N
m
i
(0
l
m) esa
)
(
,
x
N
m
l
i
ga ham,
)
(
1
,
1
x
N
m
l
i
ga ham bog‗liq bo‗ladi. Bu munosabatlar
4-chizmada ko‗rsatilgan. (splaynning har bir hadi yuqori
satrdagi bir yoki ikki
hadning me‘yorlangan yig‗indisini beradi, yo‗nalish ko‗rsatkichi hisoblash
yo‗nalishini,
vertikal
chiziqlar
(5)
tenglamadagi
birinchi
ko‗paytuvchiga
ko‗paytirishni bildiradi). m – darajli V-splaynning qiymatini aniqlash uchun
chizmadagi oldingi (m-1) bosqichni o‗tish va ularning har birida V-splaynning
)
(
,
x
N
j
m
j
i
va
)
(
,
x
N
j
m
l
i
bo‗yicha qiymatlarini aniqlash lozim. Bu yerda j V-splayn
darajasidir.
Interpolyatsion V-splaynlar
Faraz qilaylik, (t
1
,y
1
), (t
2
,y
2
), … , (t
n
,y
n
) interpolyatsiya ko‗p hadi yoki splaynni
qurish uchun berilgan nuqtalar bo‗lsin. Masalani yechishning turli yo‗llari ma‘lum.
Ulardan biri har bir nuqtani splayn tuguni deb hisoblashdan iborat. Splayn (k+m) ta
turg‗unlik darajasiga ega bo‗lishini
hisobga olsak, kichikroq m larda (odatda,
ko‗pincha shunday bo‗ladi) k = n – 1 deb t
1
, t
2
, … , t
n
larni esa bog‗lovchi nuqtalar
67
deb qarash mumkin. N holi uchun izlanayotgan egri chiziq berilgan nuqtalarni
tutashtiruvchi to‗g‗ri chiziqlar to‗plami bilan to‗liq aniqlanadi. m = 3 turg‗unlik
darajalari soni m+2 ta bo‗ladi. Natijada egri chiziq shu nuqtalardan o‗tishni
ta‘minlovchi cheklanishlar kiritilgandan so‗ng ikkita turg‗unlik darajasi
foydalanilmaydi. Amaliy masalalar echilganda chet nuqtalardan foydalanilmaydi va
ularda urinmalar berilmaydi.
Boshqacha yondoshishda birlashtiruvchi nuqtalar
berilgan nuqtalar bilan
galma-gal almashib keladi, ba‘zan k + m = n shart ham talab etilishi mumkin. Bu
holni interpolyatsion splayn koeffitsiyentlarini aniqlash uchun V-splaynlar
qo‗llanganda batafsilroq ko‗rib chiqaylik. Yuqorida aytilganidek, birlashtiruvchi
nuqtalar soni k-1 ta bo‗lsin. U holda x
i
t
i
x
i+1
uchun quyidagi tenglama o‗rinli.
a
i
N
i,m
(t
j
) + a
i-1
N
i-1,m
(t
j
) + … + a
i-j
N
i-j,j
(t
j
) = y
j
, 1
j
n.
(13)
Jami shunday (k + m) o‗zgaruvchida n ta tenglama bo‗ladi.
Har bir tenglama
(m + 1) hadga ega bo‗ladi, ya‘ni unga mos matritsa kamida m ta pastki va m ta
yuqorigi diognallar bilan aniqlanuvchi qatlamlarga bo‗lingan. Har bir nuqta (10) yoki
(11) tenglama bilan noldan farqli V-splaynlarning faqat m tasining qiymalari orqali
beriladi. Kvadratik splayn uchun parametrlar ifodasi quyidagicha bo‗ladi:
a
i
+ a
i-1
= 2y
i
, i = 1, 2, …, n,
Kubik splaynlar uchun esa ifoda quyidagicha bo‗ladi:
a
i
+ 4a
i-1
+ a
i-2
= 6y
i
, i = 1, 2, …, n
(14)
Bu tenglamalar tizimiga yana chetki nuqtalarga qo‗yilgan cheklanishlar ham
qo‗shiladi. Aks holda echim trivial bo‗ladi. Agar izlanayotgan egri chiziq davriy deb
faraz qilinsa, chetki nuqtalarga qo‗shimcha cheklanishlar qo‗shish o‗rniga
o‗zgaruvchilar soni a
0
= a
n
hisobiga kamayadi. Umumiy hol biroz murakkabroq. O‗z-
o‗zidan ravshanki, har bir segmentda berilgan nuqtalar soni (m+1)
dan oshmasligi
lozim. Aks holda tizimda ortiqchalik vujudga keladi. Agar berilgan va birlashtiruvchi
nuqtalar aralashib ketsa, bu hol uchun faqatgina (m+1) ta noldan farqli dioganal
bo‗lishi mumkin. Ular orasidagi (15) shart o‗rinli bo‗lishi muhimdir. Interpolyatsion
ko‗p had tuzish masalasi faqat
N
jm
(t
j
)
0, j = 1,2, … ,n
. (15)
68
bo‗lsagina yagona echimga ega bo‗ladi. Buni shunday tushuntirish mumkin.
Har bir oraliqda birlashtiruvchi nuqtalar orasida faqatgina (m+1) ta noldan farqli V-
splaynlar bor. (15) shart bajarilishi uchun bu oraliqda (m+1) tadan ortiq nuqta
berilishi mumkin emas. Bu tizimda ortiqchalik vujudga kelmaslikni ta‘minlaydi.
Yana
N
jm
(t
j
)
V-splayn (x
j
, x
j+m+1
) kichik sohada noldan farqli bo‗lishi va shu sababli
t
j
berilgan nuqtani o‗z ichiga olgan yagona kichik soha ekanligi ma‘lum. (12)
tenglamadagi V-splaynlar soni (n = k + m) ga teng bo‗lganligi sababli qo‗shimcha
cheklanish vujudga keladi. V-splaynlardan i-chisi faqat
birinchi berilgan biror
nuqtani o‗z ichiga oluvchi kichik sohadagina noldan farqli bo‗ladi. Xuddi shu gap
oxirgi kichik soha uchun ham o‗rinlidir. Agar birinchi kichik soha berilgan ikki
nuqtani o‗z ichiga olsa, ikkinchisi birorta ham nuqtani o‗z ichiga olmasligi mumkin.
Aks holda ikkinchi kichik soha hech bo‗lmaganda berilgan bitta nuqtani o‗z ichiga
oladi.
Dostları ilə paylaş: