O’zbekiston respublikay va o’rta maxsus

3.PARAMETRGA BOG’LIQ INTEGRALLARNING
UMUMIY XOLI.
funksiya to’plamda berilgan. y
o’zgaruvchining [c,d] oraliqda olingan har bir tayin qimatida
funksiya o’zgaruvchining funksiyasi sifatida [a,b] oraliqda integrallanuvchi bo’lsin.
funksiyaning har biri [c,d] da berilgan va uchun
(7)
bo’lsin.
Ravshanki, ushbu

integral mavjud, y o’zgaruvchiga bog’liqdir:
(8)
haqiqqtdan ham (7) da bo’lganda (8) integral (1) ko’rinishdagi integralga aylanadi.



integralning xossalarini o’rganamiz.
5-Teorema. funksiya to’plamda uzluksiz , funksiyalarning har biri [c,d] da uzluksiz va ular (7) shartni qanoatlantirsin. U holda



funksiya ham [c,d] oraliqda uzluksiz.
Isbot. nuqtani olib unga shunday orttirma beraylikki, bo’lsin. U holda



(8)
bo’ladi. Bu tenglikning o’ng tomonini qo’shiluvchilarini baholaymiz.
funksiya M to’plamda uzluksiz , demak, Kantor teoremasiga asosan, tekis uzluksiz bo’ladi. U holda da funksiya o’z limit funksiya ga tekis yaqinlashadi .1-teoremaga ko’ra



(9)
bo’ladi.

8. 
   munosabatdagi
   

integrallar uchun quyidagi bahoga egamiz:
| |,
, (10)
bunda
Shartga ko’ra funksiyalarning har biri [c,d] da uzluksiz. Demak,

(11)
Yuqoridagi (9), (10), (11) munosabatlarni e’tiborga olib, (8) tenglikda da limitga o’tsak, unda

bo’lishi kelib chiqadi. Demak, funksiya da uzluksiz. Teorema isbot bo’ldi.
6-Teorema. funksiya to’plamda uzluksiz, hususiy hosilaga ega va u uzluksiz, funksiyalar esa hosilalarga ega hamda ular (7) shartni qanoatlantirsin. U holda

funksiya [c,d] oraliqda hosilaga ega va

bo’ladi.
Isbot. nuqtani olib unga shunday orttirma beraylikki bo’lsin.
(8) munosabatdan foydalanib quyidagini topamiz.
(12)
da
funksiya o’z limit funksiyasi ga [a,b] oraliqda tekis yaqinlashadi.Unda
(13)
integrallarga o’rta qiymat haqidagi teoramani qo’llab , ushbu




tengliklarni hosil qilamiz, bunda nuqta nuqtalar orasida esa nuqtalar orasida joylashgan. funksiyaning M to’plamda uzluksizligini, va funksiyalarning esa [c,d] oraliqda hosilaga ega bo’lishini e’tiborga olsak, u holda



(14)
ekanligi kelib chiqadi.
Yuqoridagi (12) munosabatda, da limitga o’tib, (13) va (14) tengliklarni e’tiborga olib ushbuni topamiz.

Demak,

Modomiki, nuqta nuqta [c,d] oraliqdagi ihtiyoriy nuqta ekan, u holda uchun

bo’lishi ravshandir. Bu esa teoremani isbotlaydi.
XULOSA.
Xulosa qilib shuni aytish mumkinki, biz ko’p o’zgaruvchili funksiyalar va ularni diferensial hisobini batafsil o’rganganmiz. Endi bunday funksiyalarning integral hisobi bilan shug’ullanamiz. SHuni aytish kerakki, ko’p o’zgaruvchili funksiyalarga nisbatan integral tushunchasi turlicha bo’ladi.
Mazkur mavzu ko’p o’zgaruvchili funksiyaning bitta o’zgaruvchisi bo’yicha integrali bilan tanishdik va uni o’rgandik.
Parametrga bog’liq integrallarda , funksiyaning limiti, uzluksizligi, differensiallanuvchiligi , integrallanuvchiligi, va boshqa funksional xossalariga ko’ra funksiyaning tegishli funksional xossalari o’rganildi .Bunday xossalarni o’rganishda limiti va unga intilishi xarakteri muhim rol o’ynaydi.
Parametrga bog’liq integrallarni parametr bo’yicha integralidan foydalanib, ushbu

integralni hisoblaymiz.
Ravshanki,

bo’ladi.Demak


Integral ostidagi funksiya
To’plamda uzluksizdir.U holda



bo’ladi.Ammo



bo’lganligidan



bo’ladi.Demak



Foydalanilgan adabiyotlar.

• 
  Matematik analiz. 2-qism. T.Azlarov, H.Mansurov. “O’zbekiston” nashriyoti.1993-yil.
  

• 
  Matematik analiz kursidan misol va masalalar to’plami. 2-qism. A.Sadullayev, X.Mansurov ,G. Xudayberganov,
  

A.Borisov,R.G’ulomov. Toshkent. “O’zbekiston” nashriyoti 1995-yil.

• 
  w.w.w.ziyonet.uz.
  
• 
  w.w.w.google.uz.