Parametrga bog`liq bo`lgan xos integrallar va ularning funksional xossalari

3-Ta`rif. to`plamda berilgan funksiyaning dagi limit funksiyasi bo`lsin. Agar uchun topilsaki, tengsizlikni qanoatlantiruvchi lar uchun

bo`lsa, funksiya o`z limit funksiyasi ga da tekis yaqinlashadi deyiladi.
4-Ta`rif. to`plamda berilgan funksiyaning dagi limit funksiyasi bo`lsin. Agar , olinganda ham va tengsizlikni qanoatlantiruvchi topilsaki, ushbu

tengsizlik o`rinli bo`lsa, u holda funksiya ga notekis yaqinlashadi deyiladi.
1-Teorema. (Koshi kriteriyasi) funksiya da limit funksiya ga ega bo`lib, unga tekis yaqinlashishi uchun quyidagi shartning bajarilishi zarur va yetarlidir: uchun topiladiki, , tengsizliklarni qanoatlantiruvchi hamda uchun

tengsizlik bajariladi.
Endi parametrga bog`liq integrallarning funksional xossalarini keltiramiz.
2-Teorema. Agar

1. 
   fiksirlangan uchun
   
2. 
   da funksiya ga tekis yaqinlashsa,
   

u holda
(5)
bo`ladi.
3-Teorema. Agar funksiya

to`plamda uzluksiz bo`lsa, u holda

funksiya kesmada uzluksiz bo`ladi.
4-Teorema. Aytaylik funksiya

to`plamda aniqlangan va

1. 
   fiksirlangan uchun
   
2. 
   va
   

bo`lsin. U holda kesmada mavjud va ushbu
(6)
tenglik o`rinli bo`ladi.
5-Teorema. Agar funksiya 3-teorema shartlarini qanoatlantirsa, unda integral mavjud va
(7)
munosabat o`rinlidir.
Endi umumiy ko`rinishda berilgan parametrga bog`liq integrallarni keltiramiz.
Faraz qilaylik, funksiyalar da aniqlangan bo`lib, uchun
(8)
munosabat bajarilsin.
6-Teorema. funksiya ushbu

to`plamda aniqlangan bo`lib,

1. 
   
   
2. 
   
   

bo`lsin. U holda
(9)
funksiya ham oraliqda uzluksiz bo`ladi.
7-Teorema. (Leybnis formulasi) Agar

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   va
   

bo`lsa, u holda funksiya ham oraliqda hosilaga ega va
(10)
munosabat o`rinlidir.
6-teorema shartlari bajarilgan holda funksiyaning oraliqda integrallanuvchi ekanligi kelib chiqadi va (9)-funksiya uchun ham (7)-tenglik kabi tenglik o`rinli bo`ladi.