Parametrga bog`liq bo`lgan xos integrallar va ularning funksional xossalari

. Eyler integrallari (Beta va Gamma funksiyalar)
a) Beta funksiya (1-tur Eyler integrali) va uning xossalari


1-Ta`rif. Quyidagi
(15)
integralga Beta funksiya yoki 1-tur Eyler integrali deyiladi.
Beta funksiya quyidagi xossalarga ega.

1. 
   (15)-integral to`plamda yaqinlashuvchi, to`plamda esa tekis yaqinlashuvchi bo`ladi.
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   
   

Natija. Agar bo`lsa,
(16)
tenglik o`rinli bo`ladi.
(16) dan

5. 
   va uchun
   

(17)
tenglik o`rinli.
Natija.

b) Gamma funksiya (2-tur Eyler integrali) va uning xossalari.
2-Ta`rif. Quyidagi
(18)
integralga Gamma funksiya yoki 2-tur Eyler integrali deyiladi.
Gamma funksiya quyidagi xossalarga ega.

1. 
   
   
2. 
   (18)-integral oraliqda yaqinlashuvchi, kesmada esa tekis yaqinlashuvchi bo`ladi.
   
3. 
   va uchun
   

4) (19)
Natija.
Beta va Gamma funksiyalar orasidagi bog`lanishni quyidagi teorema ifodalaydi.
Teorema. uchun
(20)
tenglik o`rinli.
Natija. uchun
(21)
tenglik o`rinli bo`ladi.
Agar (21)-tenglikda desak
(22)
bo`ladi.
Eyler integrallari yordamida ko`pgina xosmas integrallarni hisoblash ancha osonlashadi.
Misollar.

1. 
   Eyler-Puasson integrali hisoblansin.
   

2. 
   xosmas integral hisoblansin.