8.21-Masala. Agar bo`lib, -differensiallanuvchi funksiya bo`lsa, ni toping. Bu masalani 40-punktdagi 7-teorema va (10)-tenglikdan foydalanib yechamiz. Teoremaning shartlari bajarilishi ko`rinib turibdi. (10)-formuladan ikki marta foydalanish natijasida talab qilingan hosilani topamiz:
9.21-Masala. Quyidagi
integralni -fiksirlangan bo`lganda tekis yaqinlashishga tekshiring. Berilgan integralning tekis yaqinlashishini Abel alomatidan ( -punktdagi 3-teorema) foydalanib, ko`rsatamiz. va deb belgilab, Abel alomatining shartlarini tekshiramiz.
funksiya har bir fiksirlangan uchun monoton va , to`plamda chegaralangan .
integral Dirixle alomatiga ko`ra to`plamda tekis yaqinlashuvchi. Abel teoremasining shartlari bajarildi. berilgan intengral to`plamda tekis yaqinlashadi.
10.21-Masala. Quyidagi
integral hisoblang. deb belgilab olib, bu integralni parametr bo`yicha differensiallash amalidan foydalanib hisoblaymiz. Buning uchun avval xosmas integrallarda parametr bo`yicha differensiallash mumkinligi haqidagi 60-punktda keltirilgan 3-teoremaning shartlari bajarilishini ko`rsatamiz.
va
deb belgilaymiz.
tengsizliklar va , integrallar yaqinlashuvchi ekanligidan Veyershtrass alomatiga ko`ra va integrallarning to`plamda tekis yaqinlashishini hosil qilamiz. Demak berilgan integraldan parametr bo`yicha xosila olish mumkin:
Bu integralda almashtirish bajarib,
bo`lishini topamiz. Bu tenglikdan ni topamiz. bo`lganda
Xuddi shu kabi bo`lganda ekanligini topamiz. Ikkala javobni umumlashtirsak, tenglikni hosil qilamiz.
