101-gurux talabasi Xursanmurodov Jamshidbekning Elementar matematika fanidan
Yüklə 359,75 Kb. Pdf görüntüsü
|
|
101-gurux talabasi Xursanmurodov Jamshidbekning Elementar matematika fanidan tayyorlagan Mustaqil ta’lim topshirig’i. Mavzu: Ko’rsatkichli va logarifmik tengsizliklar sistemasi. Ko'rsatkichli tengsizliklar sistemalari. Ta'rif: Ko'rsatkichli tenglamalardan tashkil topgan tengsizliklar sistemalari ko'rsatkichli tengsizliklar tizimi deyiladi. Ko‘rsatkichli tengsizliklar sistemalarining yechimini misollar yordamida ko‘rib chiqamiz. 3-misol Tengsizliklar sistemasini yeching 8-rasm Yechim: Bu tengsizliklar tizimi sistemaga ekvivalentdir 9-rasm Birinchi tengsizlikni yechish uchun eksponensial tengsizliklar uchun quyidagi ekvivalentlik teoremasini eslang: Teorema 1.$a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $ tengsizligi, bunda $a >0,a\ne 1$ ikkita tizim toʻplamiga ekvivalentdir. \U Bu erda $b$ ning roli oddiy raqam yoki undan ham qattiqroq bo'lishi mumkin. Misollar? Ha iltimos: \[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ to'rtlik ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(x))). \\\end(tekislash)\] Menimcha, ma'no aniq: $((a)^(x))$ eksponensial funksiyasi bor, u biror narsa bilan taqqoslanadi va keyin $x$ topishni so'raydi. Ayniqsa klinik holatlarda, $x$ o'zgaruvchisi o'rniga, ular $f\left(x \right)$ funktsiyasini qo'yishi va shu bilan tengsizlikni biroz murakkablashtirishi mumkin. :) Albatta, ba'zi hollarda tengsizlik yanada jiddiyroq ko'rinishi mumkin. Misol uchun: \[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\] Yoki bu ham: Umuman olganda, bunday tengsizliklarning murakkabligi juda xilma-xil bo'lishi mumkin, ammo ular baribir oddiy konstruktsiyaga tushadilar $((a)^(x)) \gt b$. Va biz qandaydir tarzda bunday dizayn bilan shug'ullanamiz (ayniqsa, klinik holatlarda, hech narsa xayolga kelmasa, logarifmlar bizga yordam beradi). Shuning uchun, endi biz bunday oddiy konstruktsiyalarni qanday hal qilishni o'rganamiz. Eng oddiy ko'rsatkichli tengsizliklarni yechish Keling, juda oddiy narsani ko'rib chiqaylik. Masalan, bu erda: \[((2)^(x)) \gt 4\] Shubhasiz, o'ngdagi raqam ikkining kuchi sifatida qayta yozilishi mumkin: $4=((2)^(2))$. Shunday qilib, asl tengsizlik juda qulay shaklda qayta yoziladi: \[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\] Va endi qo'llar $x \gt 2$ javobini olish uchun darajalar tagida turgan ikkiliklarni "chizib tashlash" uchun qichishadi. Ammo biror narsani chizishdan oldin, keling, ikkita kuchni eslaylik: \[((2)^(1))=2;\to'rt ((2)^(2))=4;\to'rt ((2)^(3))=8;\to'rt ((2)^( 4))=16;...\] Ko'rib turganingizdek, ko'rsatkichdagi raqam qanchalik katta bo'lsa, chiqish soni shunchalik katta bo'ladi. — Rahmat, kap! - deb baqiradi o'quvchilardan biri. Bu boshqacha sodir bo'ladimi? Afsuski, bu sodir bo'ladi. Misol uchun: \[((\left(\frac(1)(2) \o'ng))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ o'ng))^(2))=\frac(1)(4);\to'rt ((\left(\frac(1)(2) \o'ng))^(3))=\frac(1)(8) );...\] Bu erda ham hamma narsa mantiqiy: daraja qanchalik katta bo'lsa, 0,5 soni o'z-o'zidan ko'paytiriladi (ya'ni yarmiga bo'linadi). Shunday qilib, natijada raqamlar ketma-ketligi kamayadi va birinchi va ikkinchi ketma-ketliklar orasidagi farq faqat bazada bo'ladi: Agar daraja asosi $a \gt 1$ bo'lsa, u holda $n$ ko'rsatkichi o'sishi bilan $((a)^(n))$ soni ham o'sadi; Aksincha, agar $0 \lt a \lt 1$ boʻlsa, $n$ koʻrsatkichi oʻsishi bilan $((a)^(n))$ soni kamayadi. Ushbu faktlarni umumlashtirib, biz eksponensial tengsizliklarning butun yechimiga asoslangan eng muhim bayonotni olamiz: Agar $a \gt 1$ bo'lsa, $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ tengsizlik $x \gt n$ tengsizligiga ekvivalent bo'ladi. Agar $0 \lt a \lt 1$ bo'lsa, $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ tengsizlik $x \lt n$ tengsizligiga ekvivalent bo'ladi. Boshqacha qilib aytganda, agar baza birdan katta bo'lsa, uni oddiygina olib tashlashingiz mumkin - tengsizlik belgisi o'zgarmaydi. Va agar baza birdan kam bo'lsa, u ham olib tashlanishi mumkin, ammo tengsizlik belgisini ham o'zgartirish kerak bo'ladi. E'tibor bering, biz $a=1$ va $a\le 0$ variantlarini ko'rib chiqmadik. Chunki bu holatlarda noaniqlik mavjud. $((1)^(x)) \gt 3$ ko‘rinishdagi tengsizlik qanday yechilsin deylik? Har qanday kuchga bitta yana bittani beradi - biz hech qachon uch yoki undan ko'pini olmaymiz. Bular. yechimlar yo'q. Salbiy asoslar bilan bu yanada qiziqarli. Masalan, quyidagi tengsizlikni ko'rib chiqing: \[((\left(-2 \o'ng))^(x)) \gt 4\] Bir qarashda hamma narsa oddiy: To'g'rimi? Lekin yoq! Yechim noto‘g‘ri ekanligiga ishonch hosil qilish uchun $x$ o‘rniga bir juft juft va bir nechta toq sonlarni qo‘yish kifoya. Qarab qo'ymoq: \[\begin(align) & x=4\O'ng strelka ((\left(-2 \o'ng))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\O'ng strelka ((\chap(-2 \o'ng))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\O'ng strelka ((\chap(-2 \o'ng))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\O'ng strelka ((\chap(-2 \o'ng))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(hizalang)\] Ko'rib turganingizdek, belgilar bir-birini almashtiradi. Lekin hali ham kasr darajalari va boshqa qalay bor. Misol uchun, $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (minus ikkitasi yettining ildiziga koʻtarilgan) hisoblashni qanday buyurasiz? Bo'lishi mumkin emas! Shuning uchun aniqlik uchun biz barcha eksponensial tengsizliklarda (aytmoqchi, tenglamalarda ham) $1\ne a \gt 0$ deb faraz qilamiz. Va keyin hamma narsa juda oddiy hal qilinadi: \[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\O'ng strelka \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \o'ng), \\ & x \lt n\quad \chap (0 \lt a \lt 1 \o'ng). \\\end(tekislash) \o'ngga.\] Umuman olganda, yana bir bor asosiy qoidani eslang: agar eksponensial tenglamadagi asos birdan katta bo'lsa, uni oddiygina olib tashlashingiz mumkin; va agar asos birdan kichik bo'lsa, uni ham olib tashlash mumkin, lekin bu tengsizlik belgisini o'zgartiradi. Yechim misollari Shunday qilib, bir nechta oddiy eksponensial tengsizliklarni ko'rib chiqing: \[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(tekislash)\] Birlamchi vazifa hamma hollarda bir xil: tengsizliklarni eng oddiy shaklga keltirish $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Endi biz har bir tengsizlik bilan shunday qilamiz va shu bilan birga biz darajalar va eksponensial funktsiyaning xususiyatlarini takrorlaymiz. Shunday ekan, ketaylik! \[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\] Bu yerda nima qilish mumkin? Xo'sh, chap tomonda biz allaqachon namoyishkorona ifodaga egamiz - hech narsani o'zgartirish kerak emas. Ammo o'ng tomonda qandaydir axloqsizlik bor: kasr va hatto maxrajdagi ildiz! Biroq, kasrlar va kuchlar bilan ishlash qoidalarini unutmang: \[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(tekislash)\] Bu nimani anglatadi? Birinchidan, kasrni manfiy ko'rsatkichga aylantirish orqali osonlikcha qutulish mumkin. Ikkinchidan, maxraj ildiz bo'lganligi sababli, uni darajaga aylantirsa yaxshi bo'lardi - bu safar kasr ko'rsatkichi bilan. Keling, ushbu amallarni tengsizlikning o'ng tomoniga ketma-ket qo'llaymiz va nima sodir bo'lishini ko'ramiz: \[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac) 1)(3))) \o'ng))^(- 1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \o'ng)=((2)^ (-\frac(1)(3)))\] Shuni unutmangki, darajani bir darajaga ko'tarishda bu darajalarning ko'rsatkichlari qo'shiladi. Va umuman olganda, eksponensial tenglamalar va tengsizliklar bilan ishlashda, hech bo'lmaganda, kuchlar bilan ishlashning eng oddiy qoidalarini bilish mutlaqo kerak: \[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \o'ng))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(tekislash)\] Aslida, biz oxirgi qoidani qo'lladik. Shunday qilib, bizning dastlabki tengsizligimiz quyidagicha qayta yoziladi: \[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\O'ng strelka ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\] Endi biz taglikdagi deucedan qutulamiz. 2 > 1 bo'lgani uchun tengsizlik belgisi bir xil bo'lib qoladi: \[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(- \infty;\frac(2)(3) \o'ng]. \\\end(align)\] Bu butun yechim! Asosiy qiyinchilik umuman eksponensial funktsiyada emas, balki asl ifodani malakali o'zgartirishda: uni eng oddiy shaklga ehtiyotkorlik bilan va iloji boricha tezroq olib kelish kerak. Ikkinchi tengsizlikni ko'rib chiqing: \[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\] Yaxshi yaxshi. Bu erda biz o'nli kasrlarni kutmoqdamiz. Ko'p marta aytganimdek, vakolatli har qanday iboralarda siz o'nli kasrlardan xalos bo'lishingiz kerak - ko'pincha bu tez va oson yechimni ko'rishning yagona yo'li. Mana nimadan qutulamiz: \[\begin(align) & 0,1=\frac(1)(10);\quad 0,01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ o'ng)))^(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\O'ng strelka ((\left(\frac(1)(10) \o'ng))^(1-x)) \lt ( (\ chap (\ frac (1) (10) \ o'ng)) ^ (2)). \\\end(tekislash)\] Bizning oldimizda yana eng oddiy tengsizlik va hatto 1/10 bazasi bilan, ya'ni. birdan kam. Xo'sh, biz tagliklarni olib tashlaymiz, bir vaqtning o'zida belgini "kamroq" dan "kattaroq" ga o'zgartiramiz va biz quyidagilarni olamiz: \[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end (tekislash)\] Biz yakuniy javobni oldik: $x\in \left(-\infty;-1 \right)$. E'tibor bering, javob aniq to'plamdir va hech qanday holatda $x \lt -1$ shaklini qurish mumkin emas. Chunki formal ravishda bunday konstruksiya umuman to‘plam emas, balki $x$ o‘zgaruvchisiga nisbatan tengsizlikdir. Ha, bu juda oddiy, lekin bu javob emas! Muhim eslatma. Ushbu tengsizlikni boshqa yo'l bilan - ikkala qismni birdan kattaroq quvvatga kamaytirish orqali hal qilish mumkin. Qarab qo'ymoq: \[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\O'ng strelka ((\chap(((10)^(-1)) \o'ng))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \o'ng))^(2))\O'ng strelka ((10)^(-1\cdot \left(1-x \o'ng)))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\] Bunday o'zgartirishdan so'ng, biz yana eksponensial tengsizlikka ega bo'lamiz, lekin asosi 10 > 1. Bu shuni anglatadiki, siz shunchaki o'ntalikni kesib tashlashingiz mumkin - tengsizlik belgisi o'zgarmaydi. Biz olamiz: \[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt-2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(tekislash)\] Ko'rib turganingizdek, javob aynan bir xil. Shu bilan birga, biz o'zimizni belgini o'zgartirish zaruratidan xalos qildik va u erda ba'zi qoidalarni eslaymiz. :) \[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\] Biroq, bu sizni qo'rqitishiga yo'l qo'ymang. Ko'rsatkichlarda nima bo'lishidan qat'i nazar, tengsizlikni hal qilish texnologiyasi bir xil bo'lib qoladi. Shuning uchun biz birinchi navbatda 16 = 2 4 ekanligini ta'kidlaymiz. Keling, ushbu faktni hisobga olgan holda dastlabki tengsizlikni qayta yozamiz: \[\begin(align) & ((2)^((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\] Xayr! Biz odatdagi kvadrat tengsizlikni oldik! Belgisi hech qanday joyda o'zgarmadi, chunki asos ikkilik - birdan katta raqam. Raqamlar qatoridagi funksiya nollari Biz $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ funksiyaning belgilarini joylashtiramiz - aniqki, uning grafigi shoxlari yuqoriga ko'tarilgan parabola bo'ladi, shuning uchun "plyuslar" bo'ladi. ” yon tomonlarida. Biz funktsiya noldan kichik bo'lgan mintaqaga qiziqamiz, ya'ni. $x\in \left(2;5 \right)$ asl masalaga javobdir. Va nihoyat, boshqa tengsizlikni ko'rib chiqing: \[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\] Yana biz asosda o'nli kasrli eksponensial funktsiyani ko'ramiz. Keling, bu kasrni oddiy kasrga aylantiramiz: \[\begin(align) & 0,2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0) ,2)^(1+((x)^(2))=((\left(((5)^(-1)) \oʻng))^(1+(x)^(2) )))=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \o'ng)))\end(hizala)\] Bunday holda, biz ilgari aytilgan izohdan foydalandik - keyingi qarorimizni soddalashtirish uchun biz bazani 5\u003e 1 raqamiga qisqartirdik. Keling, o'ng tomon bilan ham xuddi shunday qilaylik: \[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \o'ng))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ o'ng))^(2))=(5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\] Ikkala transformatsiyani ham hisobga olgan holda asl tengsizlikni qayta yozamiz: \[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\O'ng strelka ((5)^(-1\cdot \chap(1+) ((x)^(2)) \o'ng)))\ge ((5)^(-2))\] Ikkala tomonning asoslari bir xil va birdan katta. O'ng va chap tomonda boshqa atamalar yo'q, shuning uchun biz faqat beshlikni "chizamiz" va biz juda oddiy iborani olamiz: \[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\to'rt \chap| \cdot \left(-1 \o'ng) \o'ng. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\] Bu erda siz ehtiyot bo'lishingiz kerak. Ko‘pgina talabalar tengsizlikning har ikki tomonining kvadrat ildizini olib, $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$ kabi yozishni yaxshi ko‘radilar. Siz buni hech qachon qilmasligingiz kerak, chunki aniq kvadratning ildizi moduldir va hech qanday holatda asl o'zgaruvchi emas: \[\sqrt(((x)^(2)))=\chap| x\right|\] Biroq, modullar bilan ishlash eng yoqimli tajriba emas, to'g'rimi? Shunday qilib, biz ishlamaymiz. Buning o'rniga, biz shunchaki barcha shartlarni chapga siljitamiz va odatdagi tengsizlikni intervalli usul yordamida hal qilamiz: $\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \o'ng)\left(x+1 \o'ng)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\to'rt ((x)_(2)) =-1; \\\end(align)$ Yana, biz olingan nuqtalarni raqamlar chizig'ida belgilaymiz va belgilarga qaraymiz: Iltimos, diqqat qiling: nuqtalar soyali. Biz qat'iy bo'lmagan tengsizlikni hal qilganimiz sababli, grafikdagi barcha nuqtalar soyali. Shuning uchun javob quyidagicha bo'ladi: $x\in \left[ -1;1 \right]$ interval emas, balki segmentdir. Umuman olganda, shuni ta'kidlashni istardimki, eksponensial tengsizliklarda murakkab narsa yo'q. Bugun biz amalga oshirgan barcha o'zgarishlarning ma'nosi oddiy algoritmga tushadi: Biz barcha darajalarni kamaytiradigan bazani toping; $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ko'rinishdagi tengsizlikni olish uchun o'zgartirishlarni ehtiyotkorlik bilan bajaring. Albatta, $x$ va $n$ oʻzgaruvchilari oʻrniga ancha murakkab funksiyalar boʻlishi mumkin, lekin bu maʼnoni oʻzgartirmaydi; Darajalar asoslarini kesib tashlang. Bunda tengsizlik belgisi o'zgarishi mumkin, agar asos $a \lt 1$ bo'lsa. Aslida, bu barcha tengsizliklarni yechish uchun universal algoritmdir. Va bu mavzu bo'yicha sizga aytiladigan barcha narsalar faqat o'zgartirishni soddalashtirish va tezlashtirish uchun o'ziga xos fokuslar va fokuslardir. Mana biz hozir gaplashadigan fokuslardan biri. :) ratsionalizatsiya usuli Boshqa tengsizliklar to'plamini ko'rib chiqing: \[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi) \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \o'ng))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \o'ng))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \o'ng))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\] Xo'sh, ularda nimasi o'ziga xos? Ular, shuningdek, engil vaznga ega. Garchi, to'xtang! Pi quvvatga ko'tariladimi? Qanday bema'nilik? Va $2\sqrt(3)-3$ sonini qanday qilib kuchga oshirish mumkin? Yoki $3-2\sqrt(2)$mi? Muammolarni tuzuvchilar ishga o'tirishdan oldin juda ko'p "Do'lana" ichishgan. :) Aslida, bu vazifalarda hech qanday yomon narsa yo'q. Sizga eslatib o'taman: eksponensial funktsiya $((a)^(x))$ ko'rinishining ifodasidir, bunda $a$ asosi istalgan musbat sondir, bittadan tashqari. p soni ijobiy - biz buni allaqachon bilamiz. $2\sqrt(3)-3$ va $3-2\sqrt(2)$ raqamlari ham ijobiydir - agar ularni nol bilan solishtirsak, buni tushunish oson. Ma'lum bo'lishicha, bu "dahshatli" tengsizliklarning barchasi yuqorida muhokama qilingan oddiylardan farq qilmaydi? Va ular buni xuddi shunday qilishadimi? Ha, mutlaqo to'g'ri. Biroq, ularning misolidan foydalanib, men mustaqil ish va imtihonlarga ko'p vaqtni tejaydigan bitta hiyla-nayrangni ko'rib chiqmoqchiman. Biz ratsionalizatsiya usuli haqida gapiramiz. Shunday qilib, diqqat: $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ko‘rinishdagi har qanday ko‘rsatkichli tengsizlik $\left(xn \right)\cdot \left(a-1 \) tengsizligiga ekvivalentdir. o'ng) \gt 0 $. Bu butun usul. :) Keyingi o'yin bo'ladi deb o'ylaganmidingiz? Bu kabi hech narsa! Ammo bir satrda tom ma'noda yozilgan bu oddiy fakt ishimizni ancha soddalashtiradi. Qarab qo'ymoq: \[\begin(matritsa) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^((x)^(2))-3x+2)) \\ \Pastga qarab \\ \chap(x+7-\chap(((x)^(2)) -3x+2 \o'ng) \o'ng)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matritsa)\] Bu erda boshqa eksponensial funktsiyalar yo'q! Va belgi o'zgaradimi yoki yo'qligini eslab qolish shart emas. Ammo yangi muammo tug'iladi: \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\] lanatli multiplikator bilan nima qilish kerak? Pi ning aniq qiymati nima ekanligini bilmaymiz. Biroq, kapitan aniq bir narsaga ishora qilganga o'xshaydi: \[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\taxminan 3,14... \gt 3\O'ng strelka \text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 3-1=2\] Umuman olganda, p ning aniq qiymati bizni unchalik bezovta qilmaydi - bu biz uchun har qanday holatda ham $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 ekanligini tushunish muhimdir. $, t.e. musbat doimiy bo‘lib, tengsizlikning ikkala tomonini unga bo‘lishimiz mumkin: \[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \o'ng) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \chap| \cdot \left(-1 \o'ng) \o'ng. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \o'ng)\left(x+1 \o'ng) \lt 0. \\\end(hizala)\] Ko'rib turganingizdek, ma'lum bir nuqtada biz minus birga bo'lishimizga to'g'ri keldi va tengsizlik belgisi o'zgardi. Oxirida men kvadrat trinomialni Vyeta teoremasiga ko'ra kengaytirdim - ko'rinib turibdiki, ildizlar $((x)_(1))=5$ va $((x)_(2))=- ga teng. 1$. Keyin hamma narsa oraliqlarning klassik usuli bilan hal qilinadi: Tengsizlikni intervallar usuli bilan yechamiz Barcha nuqtalar teshiladi, chunki dastlabki tengsizlik qat'iydir. Bizni manfiy qiymatlari bo'lgan hudud qiziqtiradi, shuning uchun javob $x\in \left(-1;5 \right)$. Bu yechim. :) Keling, keyingi vazifaga o'tamiz: \[((\left(2\sqrt(3)-3 \o'ng))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\] Bu erda hamma narsa oddiy, chunki o'ng tomonda birlik mavjud. Va biz eslaymizki, birlik nol darajasiga ko'tarilgan har qanday raqamdir. Agar bu raqam irratsional ifoda bo'lsa ham, chap tomonda joylashgan: \[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3\right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3) \right)))^(0)); \\\end(tekislash)\] Shunday qilib, keling, ratsionalizatsiya qilaylik: \[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \o'ng)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \o'ng) \lt 0. \\\end(align)\ ] Faqat belgilar bilan shug'ullanish qoladi. $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ koʻpaytuvchisi $x$ oʻzgaruvchisini oʻz ichiga olmaydi - bu shunchaki doimiy miqdor va biz uning belgisini aniqlashimiz kerak. Buning uchun quyidagilarga e'tibor bering: \[\begin(matritsa) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \pastga qarab \\ 2\chap(\sqrt(3)-2 \o'ng) \lt 2\cdot \left(2) -2 \o'ng)=0 \\\end (matritsa)\] Ma’lum bo‘lishicha, ikkinchi omil shunchaki doimiy emas, balki manfiy konstantadir! Va unga bo'linganda, asl tengsizlikning belgisi teskarisiga o'zgaradi: \[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \o'ng) \gt 0. \\\end(hizala)\] Endi hamma narsa aniq bo'ladi. O'ng tarafdagi kvadrat trinomning ildizlari $((x)_(1))=0$ va $((x)_(2))=2$. Biz ularni raqamlar qatorida belgilaymiz va $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$ funksiyaning belgilariga qaraymiz: Bizni lateral intervallar qiziqtiradigan holat Bizni ortiqcha belgisi bilan belgilangan intervallar qiziqtiradi. Javobni yozishgina qoladi: Keling, keyingi misolga o'tamiz: \[((\left(\frac(1)(3) \o'ng))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ o'ng))^(16-x))\] Xo'sh, bu erda hamma narsa aniq: asoslar bir xil sonli kuchlardir. Shuning uchun men hamma narsani qisqacha yozaman: \[\begin(matritsa) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \pastga \\ ((\chap(((3)^(-1)) \o'ng))^((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \o'ng))^(16-x)) \\\end(matritsa)\] \[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ chap (16-x\o'ng)))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \chap| \cdot \left(-1 \o'ng) \o'ng. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \o'ng)\left(x-4 \o'ng) \lt 0. \\\end(hizala)\] Ko'rib turganingizdek, transformatsiyalar jarayonida biz manfiy songa ko'paytirishimiz kerak edi, shuning uchun tengsizlik belgisi o'zgardi. Oxir-oqibat, kvadrat trinomialni faktorlarga ajratish uchun yana Viet teoremasini qo'lladim. Natijada, javob quyidagicha bo'ladi: $x\in \left(-8;4 \right)$ - xohlovchilar buni raqamlar chizig'ini chizish, nuqtalarni belgilash va belgilarni sanash orqali tekshirishlari mumkin. Shu bilan birga, biz "to'plam" dan oxirgi tengsizlikka o'tamiz: \[((\left(3-2\sqrt(2) \o'ng))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\] Ko'rib turganingizdek, taglik yana irratsional son va birlik yana o'ng tomonda. Shuning uchun biz eksponensial tengsizlikni quyidagicha qayta yozamiz: \[((\left(3-2\sqrt(2) \o'ng))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ o'ng))^(0))\] Keling, ratsionalizatsiya qilaylik: \[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \o'ng)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \o'ng) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \o'ng)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \o'ng) \lt 0. \\\end(align)\ ] Biroq, $1-\sqrt(2) \lt 0$ ekanligi juda aniq, chunki $\sqrt(2)\taxminan 1,4... \gt 1$. Demak, ikkinchi omil yana manfiy konstanta bo'lib, unga ko'ra tengsizlikning ikkala qismini bo'lish mumkin: \[\begin(matritsa) \left(3x-((x)^(2))-0 \o'ng)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \o'ng) \lt 0 \\ \pastga qarab \ \\end (matritsa)\] \[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \chap| \cdot \left(-1 \o'ng) \o'ng. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \o'ng) \lt 0. \\\end(hizala)\] Boshqa bazaga o'ting Eksponensial tengsizliklarni echishda alohida muammo - bu "to'g'ri" asosni izlash. Afsuski, vazifaga birinchi qarashda, nimani asos qilib olish va bu asosning darajasi sifatida nima qilish kerakligi har doim ham aniq emas. Lekin tashvishlanmang: bu erda sehrli va "maxfiy" texnologiyalar yo'q. Matematikada algoritmlash mumkin bo'lmagan har qanday ko'nikma amaliyot orqali osonlik bilan rivojlantirilishi mumkin. Ammo buning uchun siz turli darajadagi murakkablikdagi muammolarni hal qilishingiz kerak bo'ladi. Masalan, bular: \[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \o'ng))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \o'ng))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \o'ng))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ tugatish(tekislash)\] Qiyinmi? Qo'rqinchlimi? Ha, bu asfaltdagi tovuqdan osonroq! Keling urinib koramiz. Birinchi tengsizlik: \[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\] Menimcha, bu erda hamma narsa aniq: Biz asl tengsizlikni qayta yozamiz, hamma narsani "ikki" bazasiga qisqartiramiz: \[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\O'ng strelka \chap(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \o'ng)\cdot \left(2-1 \o'ng) \lt 0\] Ha, ha, siz to'g'ri tushundingiz: men yuqorida tavsiflangan ratsionalizatsiya usulini qo'lladim. Endi biz ehtiyotkorlik bilan ishlashimiz kerak: biz kasr-ratsional tengsizlikka ega bo'ldik (bu maxrajda o'zgaruvchiga ega bo'lgan tengsizlik), shuning uchun biror narsani nolga tenglashtirishdan oldin hamma narsani umumiy maxrajga qisqartirish va doimiy omildan xalos bo'lish kerak. . \[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))- 16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\] Endi biz standart interval usulidan foydalanamiz. Numerator nollari: $x=\pm 4$. Maxraj faqat $x=0$ bo'lganda nolga tushadi. Hammasi bo'lib, raqamlar chizig'ida belgilanishi kerak bo'lgan uchta nuqta mavjud (barcha nuqtalar teshilgan, chunki tengsizlik belgisi qat'iy). Biz olamiz: Keyinchalik murakkab holat: uchta ildiz Siz taxmin qilganingizdek, lyukka chapdagi ifoda salbiy qiymatlarni qabul qiladigan intervallarni belgilaydi. Shunday qilib, ikkita interval bir vaqtning o'zida yakuniy javobga o'tadi: Intervallarning uchlari javobga kiritilmagan, chunki dastlabki tengsizlik qat'iy edi. Bu javobni boshqa tasdiqlash talab qilinmaydi. Shu nuqtai nazardan, eksponensial tengsizliklar logarifmik tengsizliklarga qaraganda ancha sodda: DPV yo'q, cheklovlar yo'q va hokazo. Yüklə 359,75 Kb. Dostları ilə paylaş:
|