Mövzu 10. TƏSadüFÜ seçİMİN ƏDƏDİ xarakteriSTİkalari

m
m
Şәkil 1. Müxtәlif ortalara vә dispersiyalara malik paylanmalar.
Bu paylanmaların әdәdi xarakteristikalar vasitәsilә ifadә edilә bilәn mühüm xüsusiyyәtlәri
ilә tanış olaq:
1. Şәkildәn göründüyü kimi hәr iki paylanmada yığımın elementlәri әlamәtin müәyyәn
mәrkәzi qiymәti әtrafında yerlәşmişlәr. Bu cür hal bütün statistik paylanmalara xasdır. Ona
görә dә statistik paylanmaların tәdqiqindә qarşıya çıxan birinci mәsәlә onların mәrkәzi
qiymәtinin, yәni orta sәviyyәsinin müәyyәn edilmәsindәn ibarәtdir. Bu mәqsәdlә
paylanmanın yerlәşmә xarakteristikaları (mәrkәzi meyl xarakteristikaları) hesablanılır.
2. Paylanmalar mәrkәzi qiymәtlәrlә yanaşı әlamәtin qiymәtlәrinin onun әtrafında
sәpәlәnmәsinә görә dә fәrqlәnirlәr.
Belәliklә, paylanma sıralarının tәdqiqindә ikinci mәsәlә әlamәtin sәpәlәnmә
xarakteristikalarının axtarılmasından ibarәtdir.
3. Müxtәlif formalı paylanma әyrilәrinin tәdqiqi göstәrir ki, onlar simmetriklik cәhәtdәn
fәrqlәnirlәr. Bununla әlaqәdar olaraq üçüncü mühüm mәsәlә paylanmaların asimmetriya
dәrәcәsini müәyyәn etmәkdәn ibarәtdir.
4. Müxtәlif paylanma әyrilәrinin normal әyri ilә müqayisәsi göstәrir ki, bәzi paylanma
әyrilәri normal әyriyә nisbәtәn absis oxu boyunca ’’sıxılmış’’, digәrlәri isә ’’dartılmış’’
olurlar. Ona görә dә paylanma әyrilәrinin normal әyriyә nisbәtәn yerlәşmә vәziyyәtinin
öyrәnilmәsi dә mühüm әhәmiyyәt kәsb edir.
2.Tәsadüfü seçimin әdәdi xarakteristikaları.
Ümumi şәkildә paylanma sıralarının statistik tәsviri yerlәşmә vә sәpәlәnmә
xarakteristikalarının hesablanmasından, paylanmanın asimmetriya dәrәcәsini müәyyәn
etmәkdәn ibarәtdir.
1
2
18.05.2023 14:00
Sayfa 4 / 20

---

Yuxarıda deyilәnlәri nәzәrә alaraq paylanma sıralarının statistik xarakteristikaları ilә tanış
olaq.
Tutaq ki, paylanma funksiyası olan baş yığımdan hәcmi n olan tәsadüfi seçimdir.
Tәrif 2.1. Tәsadüfi seçimi tәşkil edәn qiymәtlәrini uyğun olaraq ehtimalları ilә alan diskret
tәsadüfü kәmiyyәtin әdәdi xarakteristikalarına seçmәnin әdәdi xarakteristikaları deyilir.
Әdәdi xarakteristikaları üç qrupa – yerlәşmә, sәpәlәnmә vә empirik paylanmanın normal
paylanmaya nәzәrәn vәziyyәtini müәyyәn edәn әdәdi xarakteristikalara bölürlәr.
2. Yerləşmə xarakteristikaları
2.1.1. Seçmә orta. Üstlü orta vә onun xassәlәri.
Tәrif 2.2. Seçimin yerlәşmә xarakteristikası elә sabitә deyilir ki, seçmәnin bütün elementlәri
bu sabit әtrafında qruplaşmış olsun.
Riyazi gözlәmә, moda vә median әn çox istifadә edilәn yerlәşmә xarakteristikalarıdır.
Tәrif 2.1.-dәn istifadә edәrәk seçmәnin bu xarakteristikalarının hesablanması üçün uyğun
düsturları verәk.
Ehtimal nәzәriyyәsindәn mәlumdur ki, qiymәtlәrini uyğun olaraq ehtimalları ilә alan X
diskret tәsadüfü kәmiyyәtinin riyazi gözlәmәsi
düsturu ilә hesablanır.
Burada, nәzәrә alsaq ki, ixtiyari i= üçün ,
onda olduğunu alarıq.
Axırıncı düsturun sağ tәrәfindәki ifadә seçmә orta adlanır vә ilә işarә edilir.
Belәliklә,
Tutaq ki, tәsadüfü seçimin x , x , …,x elementlәri içәrisindә k (kz ,z ,…, z elementlәri vardır.Onda , vә olduğunu alarıq.
düsturuna seçmә ortanın sadә, düsturuna isә çәkili düsturu deyilir.
1 2
n
1 2
k
18.05.2023 14:00
Sayfa 5 / 20

---

Tәcrübәdә seçimin bütün elementlәri müxtәlif vә yaxud eyni tezliklәrә malik olduqda sadә,
әks halda isә çәkili düsturdan istifadә etmәk mәqsәdәuyğundur.
Qruplaşdırılmış seçmәlәr üçün riyazi gözlәmәni çәkili düstur ilә hesablamaq olar. Belә ki,
burada z i –ci qruplaşdırma intervalının orta nöqtәsi, n isә seçmәnin intervalda yerlәşәn
elementlәrinin sayı, yәni intervalın tezliyidir.
Teorem 2.1. Seçimin elementlәrinin seçmә ortadan kәnarlaşmaları cәmi sıfıra
bәrabәrdir.Yәni ,
Isbatı. Doğrudan da
olduğunu nәzәrә alsaq, olduğunu alarıq.
Ehtimal nәzәriyyәsindәn mәlumdur ki, qiymәtlәrini uyğun olaraq , ehtimalları ilә alan
diskret tәsadüfi kәmiyyәtin hәndәsi vә harmonik ortaları uyğun olaraq
;
düsturları ilә hesablanılır. İxtiyari üçün olduğunu nәzәrә alsaq
vә
olduğunu alarıq. Demәli, tәsadüfü seçimin hәndәsi ortası
harmonik ortası isә
düsturunun kömәyi ilә hesablanır.
Uyğun çәkili düstu lar vә
şәklindә olar.
Üstlü ortanın ümumi şәkli aşağıdakı kimidir:
k qüvvәtinin dәyişilmәsilә, seçmә ortasının müxtәlif növlәrini almaq olar:
k=-1 olduqda harmonik orta alınır:
Aydındır ki, k=0 olduqda hәndәsi orta aklnır:
=
i
i
hәn
18.05.2023 14:00
Sayfa 6 / 20

---

k=1 olduqda hesabı orta kәmiyyәt alınır.
k=2 olduqda isә kvadratik orta kәmiyyәt alınır.
Aydındır ki, eyni bir seçmә üçün hesablanmış müxtәlif orta kәmiyyәtlәr dә müxtәlif
olacaqdır. k qüvvәti artdıqca uyğun orta kәmiyyәt artır:
<
<
<
Üstlü ortaların bu xassәsi majorantlıq xassәsi adlanır. Bu münasibәti birinci dәfә A.Y.
Boyarski isbat etmişdir.
Orta kәmiyyәtin bu vә ya digәr növünün seçilmәsi tәdqiqatların mәqsәdindәn, ilkin
mәlumatların xarakterindәn vә orta kәmiyyәti hesablanan göstәricinin iqtisadi
mahiyyәtindәn asılıdır. Әlamәtin dәyişәn qiymәtlәr yığımını hәr hansı bir әdәdlә
xarakterizә etmәk zәrurәti yarandıqda әlamәtin paylanmada orta qiymәti göstәricisindәn
istifadә edilir. Bu zaman әlamәtin dәyişәn qiymәti onların seçmә ortası ilә әvәz edilir. Bu isә
o zaman mümkün olar ki, aparılan әmәliyyat öyrәnilәn әlamәtә görә yığımın әsas xassәsini
dәyişmәsin.
2.1.2. Tәsadüfi seçimin modası. Modanın hesablanmasl üçün xәtti interpolyasiya
düsturu.
Tәrif 2.3. Tәsadüfü seçimin әn böyük tezliyә malik olan elementinә seçmәnin modası deyilir.
Qruplaşdırılmamış seçmәlәr üçün modanı tәyin etmәk üçün heç bir hesablama aparmaq
lazım gәlmir. Belә ki, tәrifә әsasәn paylanma sırasında әn böyük tezliyә uyğun olan element
moda olacaqdır.
Qruplaşdırılmış seçmәlәr üçün
xәtti interpolyasiya düsturunun kömәyi ilә tәyin edilir.
Burada X –modal intervalın başlanğıc nöqtәsi, b- onun uzunluğu, n – modal intervalın,
n – modal intervaldan әvvәlki, n -isә modal intervaldan sonra gәlәn intervalın tezliyidir.
2.1.3.Tәsadüfi seçimin medianı vә kvartili. Median vә kvartilin hesablanmasl
üçün xәtti interpolyasiya düsturları.
Tәrif 2.4. Seçmәnin variasiya sırasını hәr birindә tәxminәn eyni sayda element olan iki
bәrabәr hissәyә ayıran elementә seçimin medianы deyilir.
Qruplaşdırılmamış seçmәlәr üçün bilavasitә tәrifә әsasәn median seçimin hәcmi n tәk әdәd
(n=2l+1) olduqda h=x
, cüt әdәd (n=2l) olduqda isә kimi hesablanır.
Qruplaşdırılmış seçmәlәr üçün medianı aşağıdakı iki tәqribi üsulla hesablamaq olar.
har hәn hes kv
0
2
1
3
(l+1)
18.05.2023 14:00
Sayfa 7 / 20

---

1) Seçmәnin elementi olaraq qruplaşdırma intervalının orta nöqtәsi götürülür vә median
seçmәnin hәcminin tәkliyi vә cütlüyündәn asılı olaraq yuxarıda göstәrilәn müvafiq
düsturlar vasitәsilә hesablanılır.
2)
Бу дцстур медианын щесабланмасы цчцн хятти интерполйасийа дцстурудур.
Burada X median intervalın başlanğıc nöqtәsi, n -onun tezliyi, S
isә median
intervaldan әvvәlki intervalların tezliklәri cәmidir.
Aydındır ki, birmodalı simmetrik paylanmalar üçün hesabi orta, moda vә median bir-birinә
bәrabәrdir. Bunu asimmetrik paylanmalar üçün demәk olmaz. K.Pirson paylanma
әyrilәrinin müxtәlif növlәrinin hamarlaşdırılması әsasında yerlәşmә xarakteristikaları
arasında aşağıdakı tәqribi bәrabәrliyin doğru olduğunu göstәrmişdir:
Hesabi orta vә medianın tәyini nisbәtәn asan olduğuna görә axırıncı bәrabәrlikdәn
modanın hesablanması üçün
vә ya
tәqribi düsturlarını alarıq.
Riyazi statistikada әlamәtin variasiyasını ölçmәk üçün dispersiya vә orta kvadratik
kәnarlaşma ilә yanaşı kvantil göstәricisindәn dә istifadә edilir. Bu göstәrici median
anlayışını bir qәdәr genişlәndirmәklә qurulur.
Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, median variasiya sırasını iki bәrabәr hissәyә ayırır. Alınmış
hissәlәri yenidәn iki bәrabәr hissәyә ayırmaqla, әlamәtin elә qiymәtlәrini tapmaq olar ki,
onlar variasiya sırasını dörd bәrabәr hissәyә ayırsın vә s. Әlamәtin variasiya sırasını eyni
sayda variantlardan ibarәt olan hissәlәrә ayıran qiymәtlәrinә kvantil vә yaxud qradiyent
deyilir. Kvartil, desil, sentil kvantilin xüsusi hallarıdır.
Әlamәtin variasiya sırasının dörd bәrabәr hissәyә ayıran qiymәtlәrinә kvartil deyilir. Desil
vә sentil uyğun olaraq әlamәtin variasiya sırasını on vә yüz bәrabәr hissәlәrә ayıran
qiymәtlәrinә deyilir.
Әlamәtin variasiya sırasını dörd bәrabәr hissәlәrә ayıran qiymәtlәrini Q , Q vә Q ilә işarә
edәk.
Aydındır ki, әlamәtin qiymәtlәrinin hissәsi birinci Q kvartilindәn solda, hissәsi isә ondan
sağ tәrәfdә yerlәşir. İkinci Q kvartili variasiya sırasını iki bәrabәr hissәyә ayırdığına görә o
median ilә üst-üstә düşür.
Variantların hissәsi Q -dәn solda, hissәsi Q vә Q arasında, hissәsi Q vә Q arasında, 
hissәsi isә Q –dәn sağda yerlәşir.
Qruplaşdırılmış seçmәlәr üçün әlamәtin kvartil qiymәtlәrini müәyyәn etdikdә
0
m
m-1
1
2
3
1
2 
1
1
2
2
3
3 
18.05.2023 14:00
Sayfa 8 / 20

---

interpolyasiya düsturlarından istifadә edilir.
Burada, vә uyğun olaraq Q vә Q kvartillәrini öz daxilindә saxlayan intervalların sol
uclarıdır; vә kvartil intervalların tezliklәridir; n- seçmәnin hәcmi, h isә qruplaşdırma 
intervallarının uzunluğudur; vә kvartil intervaldan әvvәlki intervalların tezliklәri cәmidir
(yığılmış tezlik).
2.1.4. Seçmә ortanın xassәlәri.Orta qiymәt haqqında teorem.
Tutaq ki, X vә й baş yığımları arasında й =X+b xәtti asılılığı vardır (burada a vә b ixtiyari
sabitlәrdir).
Teorem 2.2. й = X+b olduqda olar.
İsbatı. X vә й baş yığımları arasında й =X+b xәtti asılılığı olduğuna görә й =z +b, j=olar.
Tәrifә әsasәn
vә olduğunu nәzәrә alsaq,
olduğunu alarıq.
Teorem 2.2-dәn hesabi ortanın aşağıdakı хассялярини almaq olar.
Xassә 2.1. Seçmәnin elementlәrini eyni bir b kәmiyyәti qәdәr artırsaq (azaltsaq), hesabi orta
da b qәdәr artar (azalar).
Xassә 2.2. Seçmәnin elementlәrini dәfә artırsaq (azaltsaq) hesabi orta da dәfә artar (azalar).
2.1 vә 2.2 xassәlәrinә hesabi ortanın monotonluq xassәsi deyilir.
vә
işarә edәk. Aydındır ki,
olar. Yәni hesabi orta daxili ortadır.
Hesabi orta assosiativlik xassәsini dә ödәyir.
Xassә 2.3. Seçmәnin elementlәrinin bir hissәsini onların xüsusi ortası ilә әvәz etsәk hesabi
ortası dәyişmәz.
Xassә 2.4. Hesabi ortadan kiçik olan elementlәrin hesabi ortadan kәnarlaşmaları cәmi,
hesabi ortanın ondan böyük elementlәrdәn kәnarlaşmaları cәminә bәrabәrdir.
Xassә 2.5. Seçmәnin elementlәrinin tezliklәrini d dәfә artırsaq (azaltsaq) hesabi orta
dәyişmәz.
1
3
j
j
18.05.2023 14:00
Sayfa 9 / 20

---

Tutaq ki, l qrup elementlәr çoxluğu vardır. i-ci () qrupun elementlәri sayını n , seçmә
ortasını isә ilә işarә edәk. Bu qrupları birlәşdirdikdә alınan yeni yığımın seçmә ortasını ilә
işarә edәk. -lәrә () qrup ortaları, -ә isә ümumi orta deyilir.
Teorem 2.3 (orta qiymәt haqqında). Ümumi orta qrup ortalarının hesabı çәkili ortasına
bәrabәrdir. Yәni
İsbatı. Tutaq ki, qruplar aşağıdakı şәkildәdir.
1-ci qrup –
-ci qrup –
———————————
l-ci qrup –
onda , i=1,2,…,l olar.
olar.
Demәli,
3.Səpələnmə xarakteristikaları
3.1.Səpələnmə xarakteristikaları
Tәrif 2.5. Seçmәnin elementlәrinin onun hәr hansı yerlәşmә xarakteristikası әtrafında nә
dәrәcәdә sıx sәpәlәnmәsinin ölçüsünü göstәrәn sabit әdәdә onun sәpәlәnmә
xarakteristikası deyirlәr.
Aşağıda baxacağımız variasiya genişliyi, orta xәtti meyl, dispersiya, orta kvadratik meyl,
variasiya әmsalı seçmәnin sәpәlәnmә xarakteristikalarıdır.
Tәrif 2.6. Seçmәnin әn böyük elementi ilә әn kiçik elementi arasındakı fәrqә seçmәnin
variasiya genişliyi deyilir.
Variasiya genişliyini R ilә işarә etsәk,
i
i
i
2
(n) (1)
18.05.2023 14:00
Sayfa 10 / 20

---

R=x
-x
olduğunu yaza bilәrik. Belәliklә, variasiya genişliyi seçmәnin elementlәrinin bir – birindәn
tәrәddüdlәrinin әn yüksәk hәddini göstәrir.
İndi isә seçmәnin orta xәtti meylinin vә dispersiyasının hesablanması üçün uyğun
düsturları verәk. Ehtimal nәzәriyyәsindәn mәlumdur ki, x , x , …,x qiymәtlәrini uyğun
olaraq p =P(X=x ), ehtimalları ilә alan diskret tәsadüfi kәmiyyәtin orta xәtti meyli vә
dispersiyası uyğun olaraq.
vә
düsturları ilә hesablanır. Seçmә üçün olduğunu nәzәrә alsaq, seçmәnin orta xәtti meyli vә
dispersiyası üçün uyğun olaraq
düsturlarını alarıq. Seçmәnin elementlәri müxtәlif tezliklәrә malik olduqda orta xәtti meylin
çәkili düsturu
dispersiyasının çәkili düsturu isә
şәklindә yazılar.
Tәrif 2.7.
әdәdinә seçmәnin orta kvadratik meyli
әdәdinә isә onun variasiya әmsalı deyilir.
Tәrifә görә, variasiya әmsalı orta kvadratik meylin riyazi gözlәmәyә faizlә nisbәtidir. Başqa
sözlә, v kәmiyyәti s-nın -in neçә faizi olduğunu göstәrir.
Orta xәtti vә orta kvadratik meyl hadisәlәrin tәbii xüsusiyyәtlәrinә uyğun ölçü vahidlәri ilә
ifadә olunduqlarına görә, onlar müxtәlif kәmiyyәtlәrin orta tәrәddüd dәrәcәlәrini bir-biri ilә
müqayisә etmәyә imkan vermir. Variasiya әmsalı müxtәlif ölçü vahidlәri ilә ifadә olunan bir
neçә kәmiyyәtin orta tәrәddüd dәrәcәlәrini müqayisә etmәyә imkan verir.
Hәr hansı yığımda müxtәlif amillәrin vә yaxud bir amilin müxtәlif ortaya malik bir neçә
yığımlarda tәrәddüd dәrәcәlәrini müqayisә etmәk üçün nisbi variasiya göstәricilәrindәn
istifadә edilir. Bu göstәricilәr mütlәq variasiya göstәricilәrinin orta kәmiyyәtә (vә yaxud
mediana) nisbәti kimi hesablanır. Mütlәq göstәrici olaraq, variasiya genişliyini, orta
kvadratik kәnarlaşmanı vә kvartil kәnarlaşmanı götürmәklә nisbi variasiya göstәricilәrini
müәyyәn etmәk olar.
Osilyasiya әmsalı
(n) (1)
1 2
n 
i
i
2
18.05.2023 14:00
Sayfa 11 / 20

---

Nisbi xәtti kәnarlaşma
Variasiya әmsalı
Kvartil variasiyası
vә ya
Praktikada әn çox istifadә edilәn variasiya әmsalıdır. Bu göstәricidәn müxtәlif әlamәtlәrin
variasiyasını müqayisә etmәklә yanaşı, yığımın bircinsliyini müәyyәn etmәk üçün dә
istifadә edilir. Belә ki, normal paylanmaya vә yaxud ona yaxın olan paylanmaya malik
yığımlarda variasiya genişliyi 33% -i aşmadıqda onlar bircinsli hesab edilir.
Qeyd etmәk lazımdır ki, bәzi hallarda dispersiyanı
düsturunun kömәyi ilә hesablamaq әlverişli olur.
Doğrudan da, tәrifә әsasәn
vә
olduğunu nәzәrә alsaq, düsturun doğruluğu alınar.
3.2. Dispersiyanın xassәlәri.
Teorem 2.4. Tutaq ki, X vә y baş yığımları arasında y=aX+b xәtti asılılığı vardır. Onda
s
=a ·s
olar.
İsbatı: y=aX+b olduğuna görә
y =a z +b, olar.
Teorem (2.2) -yә әsasәn
Onda,
Belәliklә,
Teorem 2.4-dәn aşağıdakı nәticәlәrә gәlmәk olar.
Nәticә 2.1. Seçmәnin bütün elementlәrini eyni kәmiyyәt qәdәr artırsaq vә yaxud azaltsaq
dispersiya dәyişmәz. Yәni s = s
.
u
2 
2
x
2
i
i
2
x
2
x±A
2
18.05.2023 14:00
Sayfa 12 / 20

---

Nәticә 2.2. Seçmәnin bütün elementlәrini k dәfә artırsaq (azaltsaq) dispersiya k dәfә artar
(azalar). Yәni
vә
Nәticә 2.3. Elementlәrin tezliklәrini k dәfә artırsaq (azaltsaq) dispersiya dәyişmәz.
Doğrudan da,
Nәticә 2.4 (Dispersiyanın minimallıq xassәsi):
cәmi özünün әn kiçik qiymәtini =`x olduqda alыr.
Yәni,
Doğrudan da, . Buradan olduğunu alırıq. Axırıncı tәnlikdәn
olduğunu tapırıq.
3. 3. Alternativ әlamәtin dispersiyası
Statistik tәhlildә tez – tez alternativ әlamәtin dispersiyasına tәsadüf edilir. Statistika
әlamәtin variasiyasını öyrәnmәklә yanaşı әlamәtә malik olan vә ya olmayan vahidlәrin
hissәsini dә öyrәnir.
Tutaq ki, hәcmi n olan seçmәdә m sayda element әlamәtә malikdir, qalan n-m sayda
element isә әlamәtә malik deyildir. Onda әlamәtә malik olanların hissәsi , malik
olmayanlarınkı isә olar. Aydındır ki, p+q=1.
Alternativ әlamәtin variasiyasının kәmiyyәt ölçüsünü müәyyәn etmәk üçün şәrti olaraq
әlamәtin varlığını ’’1’’ ilә, yoxluğunu isә ’’0’’ ilә işarә edәk. Onda alternativ әlamәtin
paylanma sırasını aşağıdakı kimi tәsvir etmәk olar.
x
0
1
n
q
p
Alternativ әlamәtin orta qiymәti
olar. Dispersiya isә
olar. Alternativ әlamәtin orta kvadratik kәnarlaşması isә
olar. Eyni zamanda aydındır ki, pq hasili özünün maksimum qiymәtini p=q= ½ olduqda
alır. Ona görә dә alternativ әlamәtin dispersiyasının maksimal qiymәti 0,25 olar.
2
i
i
18.05.2023 14:00
Sayfa 13 / 20

---

3.4.. Dispersiyaların toplanması qanunu
Bir çox hallarda tәcrübәdә bir neçә qrupun birlәşmәsindәn alınan yığımı vә tәrsinә baş
yığımın ayrı-ayrı qruplara bölünmәsindәn alınan yığımları öyrәnmәk lazım gәlir. Eyni
zamanda baş yığımın vә onu tәşkil edәn qrupların xarakteristikaları arasındakı әlaqәni 
müәyyәn etmәk lazım gәlir. Biz riyazi gözlәmәlәr arasındakı әlaqәnin orta qiymәt (teorem
2.3 ) haqqında teorem vasitәsilә verildiyini isbat etdik. İndi isә dispersiyalar arasındakı
әlaqәni verәk. Bu әlaqә dispersiyaların toplanması qanunu ilә verilir.
Tutaq ki, бир qrup elementlәr çoxluğu verilmişdir:
. i-ci qrupdakı elementlәrin sayını n , i-ci qrupun riyazi gözlәmәsini vә dispersiyasını ilә
işarә edәk. i = 1,2,…,l olduqda -lәrә qrup ortaları, -lara isә qrupdaxili dispersiyalar deyilir.
Bu qruplara bir baş yığım kimi baxsaq, onun hәcmi olar. ilә baş yığımın riyazi gözlәmәsini,
s ilә isә dispersiyasını işarә edәk
ifadәsinә qruplararası dispersiya deyilir.
ifadәsi isә orta qrupdaxili dispersiya adlanır.
Teorem 2.6. Ümumi dispersiya orta qrupdaxili dispersiya ilә qruplararası dispersiyanın 
cәminә bәrabәrdir.
Yәni
Isbatı: Doğrudan da
Teorem 2.1 –ә әsasәn
Digәr tәrәfdәn
vә
Btlәliklә, olduğunu alarıq.
5. Riyazi gözlәmә vә dispersiyanın hesablanması üçün şәrti sıfır (moment) üsulu
Riyazi gözlәmә vә dispersiyanın düsturlarından aydın görünür ki, onları hesablamaq çox
zәhmәt tәlәb edir. Ona görә dә bu xarakteristikaları hesablamaq üçün şәrti sıfır üsulundan
istifadә edilir. Bu üsul onların mәlum xassәlәrinә әsaslanır.
Tutaq ki, X baş yığımından hәcmi n olan x , x ,…,x seçmәsi götürülmüşdür vә bu
seçmәnin paylanma sırası
i
2
1 2
n
18.05.2023 14:00
Sayfa 14 / 20

---

z
z
z
…
z
n
n
n
…
n
şәklindәdir.
u =z -c, әvәzlәmәsini aparaq. Burada c ixtiyari sabitdir. Әvәzlәmә nәticәsindә alınmış u ,
u ,…,u әdәdlәrinә
U= X-C
baş yığımından seçmә kimi baxmaq olar. Onda teorem 2.2-yә әsasәn
vә ,
teorem 2.4.-ә әsasәn isә
olar.
Qruplaşdırılmış seçmәlәrdә uyğun düsturları almaq üçün u = әvәzlәmәsi aparmaq lazımdır.
Burada, b- qruplaşdırma intervalının uzunluğu, z -isә qruplaşdırma intervalının orta
nöqtәsidir. Bu halda riyazi gözlәmә
dispersiya isә
düsturu ilә hesablanır. Bu düsturları açıq şәkildә aşağıdakı kimi yazmaq olar.
vә
Qeyd etmәk lazımdır ki, tәcrübәdә adәtәn C olaraq, ya seçmәnin modası, ya da ki, riyazi
gözlәmәyә yaxın әdәd götürülür. Belә ki, C-nin seçilmәsi konkret mәsәlәdәn asılıdır.
6.Tәsadüfi seçimin momenti.Mәrkәzi vә başlanğıc momentlәr.
Tutaq ki, X baş yığımından hәcmi n olan x , x , …,x seçmәsi alınmışdır vә onun paylanma
sırası
z
z
z
…
z
i
1
2
k
i
1
2
k
i
i
1
2
k
i
i
1 2
n
i
1
2
k
18.05.2023 14:00
Sayfa 15 / 20

---

n
n
n
…
n
şәklindәdir. c > o vә s natural әdәddir.
Tәrif 7.1. әdәdinә seçmәnin c әdәdinә görә s- tәrtibli momenti deyilir.
Seçmәnin elementlәri müxtәlif tezliklәrә malik olduqda s- tәrtibli moment üçün çәkili
düstur
şәklindә olar.
Tәrif 7.2: c=0 olduqda momentinә başlanğıc moment, c= olduqda isә mәrkәzi moment
deyilir.
(sadә düstur)
(çәkili düstur
Mәrkәzi moment üçün uyğun düsturlar aşağıdakı kimi olar.
(sadә düstur)
vә (çәkili düstur)
Başlanğıc vә mәrkәzi momentlәr arasında әlaqә düsturları aşağıdakı teoremin kömәyi ilә
verilir.
Teorem 2.7.
,
İsbatı. Doğrudan da istәnilәn a vә b әdәdlәri üçün yaza bilәrik:
Bu düstur, a әdәdinә görә s- tәrtibli momenti, b әdәdinә görә s-dәn kiçik tәrtibli
momentlәrlә ifadә etmәyә mkan verir.
Axırıncı düsturda әvvәlcә qәbul etsәk
,sonra isә qәbul etsәk düsturunu alarıq.
Xüsusi halda aşağıdaкы bәrabәrliklәr doğrudur:
i
1
2
k
18.05.2023 14:00
Sayfa 16 / 20

---

m =b -b
b =b +m
(m =2b -3b b +b
b =b +3b m +m
m =3b +6b b -
4b b +b
b =b +6b m +4b m +m
7. Empirik paylanmanın tәdqiqi.Asimmetriya vә ekses әmsalları.
Әgәr baxılan empirik paylanmanın nәzәri forması mәlumdursa, mәr kәzi meyl vә
sәpәlәnmә xarakteristikaları paylanmanın әsaslı xarakteristikalarıdır. Belәliklә, bu halda
birtәrtibli vә ikitәrtibli momentlәri bilmәk kifayәtdir. Belә ki, әgәr tәdqiq edilәn hadisә
kifayәt qәdәr yaxşı öyrәnilibsә vә onun normal paylanmaya malik olduğu mәlumdursa,
onda bu paylanma birinci iki mәrkәzi momentlә bir qiymәtli müәyyәn edilir.
Әgәr öyrәnilәn hadisә Puasson qanununa tabedirsә, onda paylanma bir momentlә
(birtәrtibli başlanğıc vә ya ikitәrtibli mәrkәzi) tamamilә müәyyәn edilir.
Ancaq әksәr hallarda paylanmanın nәzәri forması mәlum olmur. Ona görә dә empirik
paylanmaya әsasәn nәzәri paylanmanın bәzi xassәlәrinin öyrәnilmәsi mәsәlәsi yaranır.
Empirik paylanmanın qrafikini (poliqon vә ya histoqram) qurmaqla nәzәri paylanma
qanunu haqqında tәxmini tәsәvvür yaratmaq olar. Empirik paylanma isә baş yığımdan
götürülmüş seçmәyә әsasәn qurulur. Ona görә dә empirik mәlumatlar müәyyәn dәrәcәdә
qiymәti mәlum olmayan tәsadüfi xәtalarla bağlıdır. Bu tәsadüflәrin tәsiri әlamәtin
dәyişmәsinin әsas qanunauyğunluğunun dәrk edilmәsini çәtinlәşdirir. Seçmәnin hәcmi
artdıqca poliqon hamarlaşır vә sәlis әyriyә çevrilir. Alınmış әyriyә paylanma әyrisi deyilir.
Paylanma әyrisi baş yığımın paylanmasını (nәzәri paylanma) xarakterizә edir. 
Paylanmanın formasının tәdqiqi aşağıdakı üç mәsәlәnin hәllini nәzәrdә tutur:
1) Paylanmanın ümumi xarakterinin aydınlaşdırılması;
2) Empirik paylanmanın hamarlandırılması, yәni verilmiş formaya malik f(x) әyrisinin
qurulması;
2 
2 1
2
2
1
2
2
3 
1
2
1 2
3
3 
1
3
1 2
3
4 
1
4
1
2
2
1 3
4
4
1
4
1
2
2
1 3
4
18.05.2023 14:00
Sayfa 17 / 20

---

3) Tapılmış nәzәri paylanmanın empirik paylanmaya uyğunluğunun yoxlanılması.
Statistik tәdqiqatda müxtәlif növ paylanmalara tәsadüf edilir. Bircins yığımlar bir qayda
olaraq birtәpәli paylanmalara malik olurlar. Çoxtәpәlilik yığımın bircins olmamasına dәlalәt
edir. Paylanmanın ümumi xarakterinin aydınlaşdırılması onun bircinslik dәrәcәsinin
qiymәtlәndirilmәsini vә asimmetriya vә ekses әmsallarının hesablanmasını nәzәrdә tutur.
Simmetrik paylanmalarda mәrkәzdәn eyni uzaqlıqda yerlәşәn variantlar eyni tezliklәrә
malikdirlәr. Bu paylanmalar üçün hesabi orta, moda vә median bir-birinә bәrabәrdir. Ona
görә dә sadә asimmetriya göstәricisi olaraq bu göstәricilәrin fәrqini qәbul etmәk olar. fәrqi
nә qәdәr böyük olsa, paylanmanın asimmetriyası bir o qәdәr böyük olacaqdır.
Bir neçә yığımın asimmetriya dәrәcәsinin müqayisәli tәhlili üçün nisbi
göstәricisi hesablanır. Bu göstәrici müsbәt vә mәnfi qiymәtlәr ala bilәr.
A >0 olması sağ tәrәfli asimmetriyanın olduğunu göstәrir (sağ budaq maksimal ordinatına
görә sol budağa nisbәtәn daha çox uzadılmışdır).
Sağ tәrәfli asimmetriyada mәrkәzi meyl xarakteristikaları arasında
münasibәti doğrudur
A < 0 olması sol tәrәfli asimmetriyanın olduğunu göstәrir
Şәkil 2.2. Asimmetrik paylanma sırası.
1- sağ tәrәfli asimmetriya, 2-sol tәrәfli asimmetriya
Simmetrik paylanmalarda müsbәt vә mәnfi kәnarlaşmaların tәk dәrәcәlәri bir-birini yox
edir.
Belәliklә, tәk tәrtibli mәrkәzi momentlәrin sıfıra bәrabәrliyi paylananın simmetrikliyini
sübut edir. Bu momentlәrin sıfırdan fәrqli olması isә simmetriyadan kәnarlaşmanı, yәni
әyilmәni göstәrir. Ona görә dә әyilmәni xarakterizә etmәk üçün üç tәrtibli m mәrkәzi
momentindәn istifadә edilir.
Momentlәr qәbul edilmiş ölçü vahidlәrindәn asılı olduqlarına görә, әyilmәnin ölçüsü
olaraq standartlaşdırılmış nisbәtindәn istifadә edilir.
kәmiyyәtinә asimmetriya (әyilmә) әmsalı deyilir.
S
S
3
18.05.2023 14:00
Sayfa 18 / 20

---

Bu göstәricinin tәtbiqi asimmetriya dәrәcәsini tәyin etmәklә yanaşı әlamәtin baş yığımda
paylanmasında asimmetriyanın olub-olmamasını da müәyyәn etmәyә imkan verir.
Bu göstәricinin әhәmiyyәtlilik dәrәcәsi
düsturu ilә hesablanan orta kvadratik xәta vasitәsilә qiymәtlәndirilir. Belә ki, olduqda
asimmetriya әhәmiyyәtlidir vә әlamәtin baş yığımda paylanması simmetrik deyildir.
olduqda isә asimmetriya әhәmiyyәtsizdir vә onun varlığı ancaq tәsadüfi amillәrin tәsiri ilә
izah edilir.
Paylanma funksiyası qrafikinin normal әyriyә görә yuxarı vә aşağı olduğunu tәyin etmәk
üçün ekses әmsalından istifadә edilir.
Dörd tәrtibli mәrkәzi moment vasitәsilә tәyin olunan
kәmiyyәti eksesi daha dәqiq xarakterizә edir. Qeyd edәk ki, normal paylanmalar üçün .
Әmәli mәsәlәlәrin hәllindә qruplaşdırılmış seçmәlәr üçün asimmetriya vә ekses әmsallarını
aşağıdakı düsturların kömәyi ilә hesablamaq daha mәqsәdәuyğundur:
Burada şәrti variantlarının dispersiyası; b ,b ,b isә hәmin variantların uyğun tәrtibli
başlanğıc momentlәridir.
Şәkil . 2.3. Paylanmanın eksesi
Ekses empirik paylanmanın tәpә nöqtәsinin normal әyrinin tәpә nöqtәsinә nisbәtәn
yuxarıda vә ya aşağıda yerlәşmәsini göstәrir.
Eksesin orta kvadratik xәtası
düsturu ilә hesablanır
6.İkiölçülü tәsadüfü kәmiyyәtin tәsviri vә әdәdi xarakteristikaları.
Tutaq ki ikiölçülü tәsadüfü kәmiyyәtin müşahidәlәrinin hәcmi olan seçimdir. Baş yığımın
ilkin tәsvirini seçimin elentntlәrinin müstәvidә yerlәşmәsinә әsasәn әldә etmәk olar.
qiymәtlәrini uyğun olaraq ehtimaları ilә alan ikiölçülü diskret btәsadüfü vektorun
paylanmasına ikiölçülü tәsadüfü seçimim paylanması deyilir. Seçmә xarakteristikalar
uyğun diskret tәsadüfü vektorun xarakteristiaları kimi hesablanır.
Seçmә xarakteristikaların hesablamasını aşağıdakş ardıcıllıqla aparmaq
mәqsәdәuyğundur.Әvvәlcә
1 2 3 
18.05.2023 14:00
Sayfa 19 / 20

---

cәmlәri hesablanır.ş
Hesablamaların düzgünlüyü
eyniliyinin kömәyi ilә yoxlanılır.
Seçmә ortalar
kimi hesablanır.Sonra isә seçmә ortadan kәnarlaşmaların kvadratları cәmi, vә hasillәrin vә
seçmә ortadan kәnarlaşmaları cәmi hesablanır:
WordPress.com-da pulsuz sayt vә ya bloq yarat.
18.05.2023 14:00
Sayfa 20 / 20