O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi m. M. Mirsaidov, T. M. Sobirjonov nazariy mexanika

E. LAGRANJNING I-TUR TENGLAMALARI. 
Mumkin boʻlgan koʻchish prinsipiga asosan, ideal bogʻlanishli sistemaning 
mumkin boʻlgan koʻchishdagi aktiv kuchlarning bajargan elementar ishlarining
yigʻindisi nolga teng: 
yoki
mumkin boʻlgan koʻchishlar bir-biriga bogʻliq boʻlmaganligi uchun 
(5.19)
Shunday qilib, 
mexanik sistema muvozanatda bo‘lishining zaruriy va etarli 
sharti shundan iborat ekanki, sistema uchun tanlab olingan barcha umumlashgan 
koordinatalarga mos bo‘lgan umumlashgan kuchlarning har biri nolga teng 
bo‘lishi shart ekan.
Bu tenglamalardan koʻrinib turibdiki, muvozanat 
tenglamalarning soni
, 
sistemaning erkinlik darajasiga teng
ekan.
Potensial kuchlar ta’siridagi sistemaning muvozanat shartlari quyidagicha 
boʻladi 
(5.20) 
Demak 
mexanik sistema muvozanatda bo‘lishining zaruriy va etarli sharti shundan 
iborat ekanki, sistema uchun tanlab olingan barcha umumlashgan koordinatalarga 
mos bo‘lgan umumlashgan funksiyasidan mos koordinatalar boʻyicha olingan 
xususiy hosilalari nolga teng bo‘lishi shart ekan.
(5.19) va (5.20) tenglamalar 
sistema muvozanatining umumlashgan 
koordi-natalari koʻrinishidagi tenglamalari 
deb ataladi. 

---

291 
J. LAGRANJNING II-TUR TENGLAMALARI. 
Mexanik 
sistemaning 
umumlashgan 
koordinatalaridagi 
harakat 
tenglamalarini tuzish uchun dinamikaning umumiy tenglamasi (5.10) dan 
foydalaniladi: 
(5.21) 
Faraz qilaylik, ideal bogʻlanishlarga ega boʻlgan sistema ν-ta erkinlik 
darajasiga ega boʻlsin. U holda (5.17) formuladan
Inersiya kuchlarining bajargan ishlarini ham umumlashgan koordinatalarda 
ifodalaymiz: 
Oxirgi tengliklarni (5.21) ga qoʻyib, nolga tenglaymiz: 
(
(
(
(
mumkin boʻlgan koʻchishlar bir-biriga bogʻliq boʻlmaganligi uchun 
(5.22) 
Soddalashtirish uchun inersiya kuchlarining ishini kinetik energiya orqali 
ifodalaymiz: 
(5.15) formuladan umumlashgan inersiya kuchi 

---

292 
ifodaga teng. Bundan esa
. (5.23) 
Differentsiallarning oʻrnini almashtirib, 
= 
) = 
, 
umumlashgan tezlikni esa umumlashgan koordinatalar orqali yozib olib,
u holda
= 
ga teng boʻlar ekan. Demak
. 
oxirgi ifodalarni (5.23) ga qoʻyib,
hosilalarning yig‘indisi yig‘indining hosilasiga teng bo‘lishi va 
ekanligini e’tiborga olsak, (5.23) formuladan 
Bu amallarni butun sistema uchun yozish mumkin, u holda (5.22) tenglamadan: 

---

293 
(5.24) 
…………………… 
(5.24) 
formula, 
sistema 
harakatining 
umumlashgan 
koordinatalardagi 
differentsial tenglamalari yoki Lagranjningning II-tur tenglamalari 
deb ataladi
.
Tenglamalarning soni sistemaning erkinlik darajasiga teng bo‘ladi. Lagranj 
tenglamalari dinamika masalalarini bir xil, hamda sodda bo‘lgan yechimini 
yaratishga imkon beradi. Eng muhim tomonlaridan yana biri shuki, 
tenglamalarning ko‘rinishi va ularning soni, mexanik sistemani tashkil etuvchi jism 
(nuqta)larning soniga va ularning qanday harakatda ekanligiga bog‘liq bo‘lmas 
ekan, balki Lagranj tenglamalari soni faqat uning erkinlik darajasiga bog‘liq ekan. 
Agar sistemaga ta’sir etuvchi kuchlar potentsial kuchlardan tashkil topgan 
bo‘lsa, u holda (5.18) formuladan foydalanib, (5.24) tenglamalarning birinchisini 
quyidagicha yozib olishimiz mumkin bo‘ladi: 
0
1
1
1















q
P
q
T
q
T
dt
d

yoki
0
)
(
)
(
1
1














q
P
T
q
P
T
dt
d

Oxirgi tenglik o‘rinli bo‘ladi, chunki potentsial energiya P faqat umumlashgan q
1
, 
q
2
,...,q
s
koordinatalarga bog‘liq bo‘ladi xolos, umumlashgan tezliklarga bog‘liq 
bo‘lmaydi, shu sababli
0
/
1



q
P

bo‘ladi. 
(5.24) ning qolgan tenglamalarini ham shu tarzda o‘zgartiriladi. Quyidagi 
L=T-P 
(5.25) 
funktsiyani kiritamiz. Sistemaning kinetik va potentsial energiyasining 
ayirmasidan iborat bo‘lgan, hamda umumlashgan koordinatalarga va umumlashgan 
tezliklarga bog‘liq bo‘lgan L funktsiyani