1 mavzu Axborot texnologiyalari va jarayonlarni matematik modellashtirish fan

 Teskari matritsa usuli 
 ;
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
3 3
3 2
3 1
2 3
2 2
2 1
1 3
1 2
1 1

;
 
 z
 y
 x
X

.
3
2
1
 
 b
 b
 b
B


---

CHATS ni yechisning iteratsiya usuli 
CHATS ni iteratsiya usulida yechish uchun berilgan 
tenglamalar sistemasi satrlarini shunday joylashtirish 
kerakki, koeffitsiyentlar matritsasi bosh diaganalida 
modul bo`yicha eng katta koeffitsientlarni joylashtirish 
kerak. Agar ushbu shart bajarilmasa, quyidagi usul 
yordamida sistemani shart bajariladigan holatga olib 
kelish mumkin. Ax = b teglamalar sistemasini quyidagi 
ko`rinishga keltiramiz: 0 = b-Ax; x = b-Ax + x; x = (b-
Ax) τ + x; x = (E- τ A) x + τb; x = Bx + τb, bu erda B = E- 
τA. Shunday τ sonni tanlash kerakki, quyidagi |B| <1 shart 
bajarilsin.

---

 
 

Sistemadagi 1-tenglamani

x
1
ga, 2- tenglamani
x
2
ga va 3-tenglamani
x
3
ga nisbatan echib quyidagi 
sistemaga ega bo’lamiz: 
 
Iteratsiya usuli 

















0
0
0
2
32
1
31
3
3
3
23
1
21
2
2
3
13
2
12
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x










---

 
 
Oxirgi sistemani ushbu
; 
matritsa va vektorlar yordamida quyidagi 
ko’rinishda yozib 
olamiz
X=
β+αX
( 2 )
 
Iteratsiya usuli 
;
0
0
0
3 2
3 1
2 3
2 1
1 3
1 2
α
α
α
α
α
α
α

;
3
2
1
β
β
β
β

;
z
y
x
X


---

(2) ni ketma-ket yaqinlashish usuli bilan echamiz:
 

Х
(0)
=

,
X
(1)
=β+αX
(0)
 , X
(2)
=β+αX
(1)
 .

Bu jarayonni quyidagicha ifodalaymiz:
Х
(0)
=

, 
X
(k)
=β+αX
(k-1)
,
k
=1,2 
( 3 )
Agar
{X
(k)
}
ketma-ketlikning
k → ∞ 
dagi limiti mavjud 
bo’lsa, bu limit (1) sistemaning echimi bo’ladi
Teorema.
Agar (2) sistema uchun
yoki shartlardan birortasi
bajarilsa, u holda (3) iteratsiya jarayoni boshlangich 
yaqinlashishni tanlashga bog’liq bo’lmagan holda yagona 
echimga yaqinlashadi.
Iteratsiya usuli 
,
,.... 
1
1



n
j
ij

1
1



n
i
ij


---

Jordan usuli.
Chiziqli algebraik tenglamalar tizimi quyidagi 
ko’rinishda berilgan bo’lsin: 

---

Yuqoridagi masala uchun dastlabki 
Jordan jadvalini tuzib olamiz:

x
2 
 
x
2
 
. . .
 
x
3
 
a
1
=
 
a
11
=
 
a
12
=
 
. . .
 
a
1n
=
 
a
2
=
 
a
21 
=
 
a
22
=
 
. . .
 
a
2n
=
 
. . .
 
. . .
 
. . .
 
. . .
 
. . .
 
a
m
=
 
a
m 1 
=
 
a
m 2
=
 
. . .
 
a
m n 
=
 

---

•
Jadvalning yuqori o’ng burchagidagi element hal qiluvchi 
element sifatida tanlab olinadi; 
•
Hal qiluvchi satrdagi va hal qiluvchi ustundagi 
o’zgaruvchilar o’rni almashtiriladi; 
•
Hal qiluvchi element o’rniga unga teskari son yoziladi; 
•
Hal qiluvchi ustun elementlari hal qiluvchi elementga 
bo’linib, mos kataklarga yoziladi; 
•
Hal qiluvchi satr elementlari hal qiluvchi elementga 
bo’linib, ishoralari o’zgartiriladi va mos kataklarga 
yoziladi; 
•
Qolgan kataklar to’rtburchak qoidasi bo’yicha to’ldiriladi.
 
Ushbu jadvaldan foydalanib, Jordan almashtirishlar quyidagi 
tartibda bajariladi va navbatdagi jadval to’ldiriladi:
 

---

•
Masalan, (
k
,
l
) katakni to’ldirish uchun quyidagi 
hisoblash bajariladi: 
•
Hal qiluvchi elementlar diagonal bo’yicha tanlanadi. 
Bu jarayon tanlangan elementning quyi o’ng 
qismidagi barcha elementlar nol bo’lguncha yoki 
jadval diagonalidagi oxirgi elementigacha davom 
ettiriladi. 

---

To'rtburchak usuli quyidagicha to'ldiriladi:
CHATS koeffitsiyentlarini o'z ichiga olgan kataklardan 
to'rtburchak tuziladi. To'rtburchakdagi hal qiluvchi element 
diagonal bo`icha joylashgan elementga ko'paytiriladi; 
ikkinchi diagonal elementlari ko'paytiriladi; ikkinchi 
ko`paytma birinchi ko`paytmadan ayiriladi; natija hal 
qiluvchi elementga bo'linadi va mos katakka yoziladi. 
Masalan, (2,2) katak quyidagi formula bilan to'ldiriladi:
11
12
21
22
11
1
22
a
a
a
a
a
a





---

Agar hisoblash jarayonida jadvalning quyi o’ng 
to’rtburchak qismida barcha elementlar nol bo’lsa, 
oхirgi 
jadval 
quyidagi 
ko’rinishga keladi: 

---

CHATS da tenglamalar soni 
m,
noma'lumlar soni 
n, ya’ni
n=m 
bo'lsa, CHATS yagona yechimga ega bo'lishi 
mumkin. Bu holda diagonal bo'ylab hal qiluvchi elementni 
tanlash jadval oxirigacha davom etadi va Jordan 
almashtirishlari 
n 
marta bajariladi. 
Oxirgi jadval quyidagi 
ko'rinishga 
keladi: 
Yuqoridagi jadval asosida 
tenglamalar sistemasining 
echimini quyidagi ko’rinishda 
yozamiz
: 















n
nn
n
n
n
n
n
n
n
a
b
...
a
b
a
b
x
..
..........
..........
..........
..........
a
b
...
a
b
a
b
x
a
b
...
a
b
a
b
x
2
2
1
1
2
2
22
1
21
2
1
2
12
1
11
1

---

Misol:
Quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar tizimini 
Jordan usulida yeching: 
 
 
 
 
Yechish: 
Yuqoridagi masala uchun dastlabki Jordan 
jadvalini tuzib olamiz: 
 

---

Jordan almashtirishlaridan keyin navbatdagi 
jadvallar quyidagi ko’rinishga keladi: 
Hal qiluvchi element sifatida ni olib, 
unga nisbatan jordan almashtirishlarini 
bajarib, navbatdagi jadvalni to’ldiramiz: 
 
-
16/3 

---

Hal qiluvchi element sifatida ni olib, unga nisbatan jordan 
almashtirishlarini bajarib, navbatdagi jadvalni to’ldiramiz: 
 
 
 
 
Oxirgi jadvaldan tenglamalarning ildizlarini topamiz: 
Тopilgan ildizlarni tenglamalarga qo’yib, yechimning to’g’riligini tekshirish 
mumkin. 
 
4 
1 
3 
X
1
= 
0 
1/4 
1/4 
X
2
= 
1/2 
-5/8 
-1/8 
X
3
= 
1/4 
1/16 
-3/16 

---

«Axborot texnologiyalari» kafedrasi 
dotsenti, 
[e-mail]
  
Raxmankulova Barna 
Oktamxanovna 
E’tiborlaringiz uchun rahmat!