O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti abdirashidov A., Babayarov A. I

Nisbiy xatolik
– bu sonning absolyut xatoligiga aniq qiymatining nisbati: 
.
/
)
(
)
(
X
x
x



Ma’lumki, amaliyotda 
X
– aniq qiymat ko‘p hollarda noma’lum 
bo‘ladi. Shuning uchun hisoblashlarda bu formula ushbu 
x
x
x
/
)
(
)
(



tenglik 
bilan almashtiriladi. Nisbiy xatolik ba’zida foizlarda o‘lchanadi, ya’ni 





x
x
x
/
)
(
)
(

%
100
. Nisbiy xatolik uchun ham 
x

– 
chegaraviy nisbiy xatolik
tushunchasi 
x
x
x
x
x
X
x
x
x









/
/
/
)
(
)
(
yoki 
x
x
x
x
X
x
x






kabi mavjud, chunki 
x
x
x
/



. Natijaning aniqligini uning nisbiy xatoligiga 
nisbatan xarakterlash ma’qul. Masalan, 1) π = 3,14 (π = 3,14159265...) uchun 

(π) = 
0,0016 va 

(π) = 0,0016/3,14 = 0,0005 yoki 0,05%. Shuning uchun tadqiqotchilar 

---

22 
hisoblashlarda verguldan keyingi ikkita ma’noli raqam bilan cheklanishadi. 2) 
l
= 
256795 va 

(
l
)= 1 ekanligi ma’lum, demak 

(
l
) = 0,0000039 yoki 0,00039%. Bunda 

(π) << 

(
l
) bo‘lishiga qaramasdan 
l
son π songa nisbatan aniqroq aniqlangan. 
Mashina hisobi xatoligi. 
Masalani ShEHM da yechishning xatoliklari uch 
turga bo‘linadi: kesish xatoligi; tarqatish xatoligi; yaxlitlash xatoligi. 
Kesish xatoligi
boshlang‘ich ma’lumotlarni aniqlash sababida yuzaga keladi. 
Masalan, masalaning shartida qaysidir parametrlar berilgan bo‘lsa, amaliyotda 
haqiqiy obyekt uchun bu parametrlar biror aniqlik bilan aniqlangan bo‘lishi mumkin. 
Xuddi shunday, ixtiyoriy fizik parametrlar, hisob formulasi va ularga kiruvchi sonli 
koeffisiyentlarning noaniqligi ham. 
Tarqatish xatoligi
masalani yechish uslubini qo‘llashdagi hisoblashlar 
natijasida (arifmetik amallarning xarakteri va sonidan bog‘liq yig‘ilgan xatoliklar) 
yuzaga keladi. Masalan, chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini Gauss yoki 
Kramer usuli bilan yechsak, nazariy jihatdan har ikkala usul ham aniq javobni 
beradi, ammo tenglamalar sistemasi kattalashganda Gauss usuli Kramer usuliga 
qaraganda kamroq xatolik beradi (hisoblashlar hajmi kamroq bo‘lganligi sababli). 
Yaxlitlash xatoligi
sonning haqiqiy qiynatini kompyuter xotirasida aniq saqlab 
qolishning imkoniyati yo‘qligidan yuzaga keladi.
Butun son
ning mashina xotirasida saqlanishini quyidagicha izohlaylik: masalan, 
5 + 7 = 12; 8 – 27 = - 19; 27 

3 = 81; 1 / 3 = 0; 4 / 2 = 2; 7 / (-3) = -2 (butun 
sonlarni bo‘lishda natijaning butun qismi olinadi, qoldiq tashlab yuboriladi) va 
hokazo. Agar butun sonlar ustida bajarilgan amallarning natijasi juda ham katta yoki 
juda ham kichik bo‘lsa, u holda kompyuter xotirasidagi natijaning oqibatini oldindan 
aytib bo‘lmaydi. Bunday holda kompyuter ba’zan xato haqida ma’lumot beradi va 
hisoblashni to‘xtatadi, ba’zan esa siklik qoidaga ko‘ra natija biror songa almashtirib 
ketiladi va xatoni ko‘rsatmasdan hisoblashlar davom etaveradi. Agar hisoblash 
natijasi kompyuter xoturasining sonli chegarasidan chiqib ketsa, u holda bunday 
natijaga ishonib bo‘lmaydi. Bu qoidalar ikkilik arifmetikada ham o‘rinli. Butun son 
modulining 32 razryadli (ulardan bittasi ishoraga ajratiladi) kompyuterdagi standart 
formatda yozilishining eng yuqori chegarasi 2
31
– 1 

2

109 

2147483647 va eng 
quyi chegarasi –2
31
. Demak, hisoblashlar natijasi ana shu chegaradan oshmasa uni 
aniq deb hisoblash mumkin. Agar hisob natijasi moduli shu chegaradan oshsa, u 
holda mashina moduli shu chegaradan kichik biror sonni olib, keyingi hisoblashlarni 
davom ettiradi.
Haqiqiy son
ning mashina xotirasida saqlanishini quyidagicha izohlaylik: 
masalan, 
π
= 3,14159... va 
e
= 2,71828... irratsional sonlarning ma’noli raqamlari 
soni mantissaga ajratilgan razryadlar sonidan oshib ketadi, bu kompyuter xotirasida 
berilgan sonlar ma’lum ma’noda aniq ifodalanmaydi, ya’ni oxirgi ma’noli raqam 
yaxlitlanib yoziladi yoki son cheksiz emas, balki chekli ratsional shaklga keltiriladi, 
degani. Shuning uchun ShEHMda yechilayotgan har qanday masalaning kiruvchi 

---

23 
parametrlari, oraliq natijalari va oxirgi javobi har doim kompyuterning xotirasi 
doirasida yaxlitlanadi. Ana shu hol sonning ShEHMda ifodalanish 
diapazoni
tushunchasi bilan bog‘liq. 
ShEHMning xotira qurilmasi 
r
ustivor holatga ega bir xil turdagi fizik 
qurilmalar joylashtirilishi asosida tuzilgan bo‘lib, bu qurilmalarning har biriga bir xil 
k
(son yozilishi uchun ajratilgan razryadlar soni) ta element mosligi qo‘yiladi. 
Tartiblashtirilgan elementlar mashina so‘zining razryad to‘rini hosil qiladi: har bir 
razryadda 0,1, ..., 
r
–1 (
r
– sanoq sistema asosi) bazis sonlardan birortasi yozilgan 
bo‘ladi va maxsus razryadda esa «+» yoki «–» ishora yoziladi. Fiksirlangan vergulli 
sonni yozishda 
r
(sanoq sistema asosi) va 
k
(son yozilishi uchun ajratilgan razryadlar 
soni)dan tashqari 
l
(sonning kasr qismi uchun ajratilgan razryadlar soni) parametrlar 
ko‘rsatiladi. Demak, 
x
musbat haqiqiy son quyidagi chekli ketma-ketlikda 
ifodalanadi:
x
= 

1
r
k-l
-1
+ 

2
r
k-l
-2
+ ... + 

k-l
r
0
+ 

k-l
+1
r
-1
+ ... + 

k-
1
r
-(
l-
1)
+ 

k
r
-l
, 
bu yerda 

l 

{0; 1; ...; 
r
–1}. 
Sonning bunday ko‘rinishda ifodalanish 
diapazoni
barcha razryadlardagi eng 
katta raqamlar soni bilan aniqlanadi, ya’ni eng kichik –(
r
–1)(
r
–1)...(
r
–1) dan eng 
katta (
r
–1)(
r
–1)...(
r
–1) gacha, ifodalinishning absolyut aniqligi esa yaxlitlash 
uslubidan bog‘liq baholashdir. Eng ko‘p tarqalgan pozitsion sanoq sistemalar 2, 8, 
16. Barcha kompyuterlar xotirasida son ikkilik sanoq sistemada ifodalanib saqlanadi. 
Bu ustivor hol 0 yoki 1 («o‘chirildi» yoki «ulandi»). 
Fiksirlangan vergulli haqiqiy son
ning absolyut xatoligi diapazonning ixtiyoriy 
qismida bir xil. Nisbiy xatolik esa son nolga yaqin yoki diapazon chegarasiga yaqin 
qilib olinishiga qarab ancha farq qilishi mumkin. Masalan, xotira qurilmasida 
k
= 7 
ta element va 
r
= 10 (
r
= 0, 1, ..., 9) bo‘lsin. Sonning kasr qismiga 
l 
= 3 ta razryad, 
ishoraga 1 ta razryad va butun qismiga 3 ta razryad ajratilgan bo‘lsin (1.3-rasm). Bu 
xotira qurilmasiga joylashishi mumkin bo‘lgan eng katta son +999,999 va eng 
kichigi esa –999,999. Ushbu xotira qurilmasida saqlanayotgan ixtiyoriy sonning 
verguldan keyin uchta raqami saqlanadi. Shuning uchun ushbu 
x
1
= 1,123456 va 
x
2
= 
999,123456 sonlarning absolyut xatoligi bir xil: 

1
= 1,123456 – 1,123 = 0,000456; 

2
= 999,123456 – 999,123 = 0,000456, ammo nisbiy xatoliklari har xil: 

1
= 

1
/
x
1
= 
0,4%; 

2
= 

2
/
x
2
= 0,5

10
-4
%.
Sonning
ishorasi Sonning butun qismi Sonning kasr qismi 
1.3-rasm. Fiksirlangan vergulli haqiqiy
 
sonning xotira qurilmasida ifodalanishi. 
Sonning qo‘zg‘aluvchan vergulli shaklda
yozilishi bu uning quyidagi 
eksponential shaklda yozilishidir (1.4-rasm): 
x = M

r
p
, bu yerda 
r
– asos; 
p
– tartib, 

---

24 
M
– mantissa (1/
r 
≤ 

M

≤ 1). Zamonaviy kompyuterlarda haqiqiy son ikkilik 
qo‘zgaluvchan vergulli (nuqtali) shaklda yozilib, normallashtirilgan sonning faqat 
ma’noli raqamlarigina kompyuter xotirasida saqlanadi va birinchi ma’noli raqam har 
doim 1 ga teng. Bu raqamni saqlashga hojat bo‘lmaganligi uchun iqtisod qilingan 
bitta ikkilik razryad mantissasi hissasiga qo‘shiladi. 
Dastlabki kompyuterlar bir biridan mantissa va tartibni saqlash uchun ajratilgan 
razryadlar soni, yaxlitlash uslubi va mashina arifmetikasi bilan farq qilar edi. 
Ko‘plab zamonaviy kompyuterlar (xususan, barcha shaxsiy kompyuterlar) 1985 
yilda ishlab chiqilgan IEEE – standart ikkilik arifmetika (IEEE Floating Point 
Standard) asosida qurilgan. Standart uslubda normallashtirilgan sonda IEEE 
arifmetikaning mantissasiga 24 ta razryad (ishora bilan), ikkilik tartibni saqlashga 8 
ta razryad ajratiladi. IEEE arifmetikasining odatdagi aniqligi 

10
-38
. 
Odatda, 
mashina noli
ning chegarasi 2
-64
(

10
-19
), 
mashina cheksizligi
2
63
. 
Hisoblangan sonning moduli ana shu 
mashina cheksizligi
chegarasidan chiqqan 
holda mashinada hisoblashning 
avariyali tugashi
yoki 
mashina xotirasining to‘lishi
(«
переполнение
») holati yuz beradi. Aksincha, sonning moduli ana shu 
mashina noli
chegarasidan kichik bo‘lgandan holda esa 
tartibning yo‘qotilishi
yuz beradi. Odatda, 
bu natija nol deb qabul qilinadi va hisoblashlar davom ettiriladi. Zamonaviy 
kompyuterlarda 
mashina noli
ning chegarasi 2
-127

10
-38
, 
mashina cheksizligi
2
127

10
38
. Yana bir tushuncha – bu 
mashina epsiloni
bo‘lib, u kompyuterda son 
ifodalanishining nisbiy aniqligini xarakterlaydi. ShEHMda 

m
- 
mashina 
epsiloni
ning miqdori birinchi tashlab yuboriladigan yoki oxirgi saqlab qolinadigan 
mantissa razryadidan aniqlanadi. 
Tartib 
ishorasi 
Tartib 
(
m
ta razryad) 
Mantissa 
ishorasi 
Mantissa
(
l
ta razryad) 
1.4-rasm. Mashina so‘zining tuzilishi
(qo‘zg‘aluvchan vergulli haqiqiy
 
sonning xotira qurilmasida ifodalanishi). 
Masalan, 1) 48 razryadli mashina so‘zining yozilishida 40 ta ikkilik razryadlar 
sonning mantissasiga, 6 tasi sonning tartibiga va 2 tasi mantissaning ishorasiga 
ajrtilgan bo‘lsin, ya’ni 
r
= 2; 
l
= 40; 
m
= 6. Natijada qo‘zg‘aluvchan vergulli haqiqiy
 
sonning ifodalanish aniqligi 2
-39
(

10
-12
) dan yomon emas. 2) 
x
= 20,5 sonni ikkilik 
normallashtirilgan son shaklida 
x
= 10100,1 yoki 
x
= (10100,1)
2
kabi, qo‘zg‘a-
luvchan vergulli shaklda esa 
x
= 0,101001

2
5
yoki 
x
= (0,101001)
2

2
5
kabi yozamiz, 
uning tartibi 5 ga teng. 3) Xuddi shunday, 
x
= 7,0625
10
= 111,0001
2
= 0,1110001

2
3
, 
sonning tartibi 3 ga teng. 4) Agar berilgan sonlarni qo‘zg‘aluvchan vergulli shaklda 
yozsak, masalan, 
x
1
= 0,1123456

10
1
va 
x
2
= 0,999123456

10
3
, u holda bu sonlarning 
8 ta elementli (5 ta razryad sonning kasr qismiga, 1 ta razryad uning ishorasiga 1 ta 

---

25 
razryad mantissa ishorasiga va 2 ta razryad uning tartibiga) va 10 asosli xotira 
qurilmasida saqlanish holati 1.5-rasmda tasvirlangan. 
Bu sonlarning absolyut va nisbiy xatoliklar:

1
= (0,1123123 – 0,11231)

10
1

(0,23

10
-5
) 

10
1
;

2
= (0,999123123 – 0,99912)

10
3

(0,31

10
-5
)

10
3
;

1
= 

1
/
x
1

(0,23

10
-5
) 

10
1
/(0,1123

10
1
) 

2

10
-3
%;

2
= 

2
/
x
2

(0,31

10
-5
) 

10
3
/(0,99912

10
3
) 

3

10
-3
%. 
Ikkilangan aniqlik
ni tushunishimiz uchun avvalo yana bir bor IEEE standartni 
qanoatlantiruvchi kompyuterlarning odatiy aniqligida normallashtirilgan son 
diapazoni 10
-38
dan 10
38
gacha ekanligini, mantissa razryadliligi kichik va mashina 
epsiloni 

m

10
-7
(bu o‘nlik arifmetikada mantissa 7 ta o‘nlik raqamdan iborat 
degani) ekanligini tushunishimiz lozim. Agar IEEE standartni qanoatlantiruvchi 
kompyuterda razryadlilik ikki marta orttirilgan bo‘lsa, u holda bu mashina aniqligini 
oshirishga olib keladi. 
+ 
0 
1 
+ 
1 
1 
2 
3 
1 
Sonning tartibi Sonning mantissasi 
+ 
0 
3 
+ 
9 
9 
9 
1 
2 
Sonning tartibi Sonning mantissasi 
1.5-rasm. Qo‘zg‘aluvchan vergulli 
x
1
va 
x
2
sonlarning xotira qirilmasida ifodalanishi. 
Masalan, IEEE standartni qanoatlantiruvchi kompyuterda sonning ikkilangan 
aniqlik bilan ifodalanishi bu uning mashina xotirasida 53 ta razryad (ishora bilan 
birga) va tartibni saqlash uchun esa 11 ta razriyad ajratildi, mashina noli 10
-308
ga va 
mashina cheksizligi 10
308
ga keltirildi degani, bunda mashina epsiloni

m

10
-16
ga 
olib kelinadi. Shuni eslatib o‘tamizki, bu kompyuterlarning odatiy aniqligi 

m

10
-7
. 
Demak, ikkilangan aniqlik haqida emas, balki aniqlik bir necha barobar tartibga 
oshirildi deb aytish kerak bo‘ladi. 
IEEE arifmetikada 
kengaytirilgan ikkilangan aniqlik
tushunchasi ham 
mavjudki, bunda mantissa uchun 65 ta razryab (ishora bilan birga) va tartib uchun 15 
ta razryad ajratiladi. Bu rejimda mashina noli 10
-4964
, mashina cheksizligi 10
4964
, 
mashina epsiloni 

m

10
-19
. Shuni ta’kidlash lozimki, ikkilangan yoki kengaytirilgan 
ikkilangan aniqlikdan foydalanish yaxlitlash xatoligini yo‘qota olmaydi, balki uning 
qiymatinigina kamaytiradi xolos. 
Normallashtirilgan sonning IEEE arifmetikasidan tashqari 
subnormal 
(
denormallashtirilgan
) 
son
tushunchasi ham mavjud. Hisoblash jarayonining natijasi 
bo‘lgan subnormal son mashina epsiloni diapazonidan kichik bo‘lib, uni 
normallashtirilgan ko‘rinishda ifodalab bo‘lmaydi. Bunday sonlar ham 
M

2
p

---

26 
ko‘rinishda ifodalanadi, ammo bunda birinchi ma’noli raqam 0 va mumkin bo‘lgan 
minimal ko‘rsatgich mashina noliga teng. Masalan, 
x
= 2

10
-130
sonni IEEE 
arifmetikada odatiy aniqlik, ya’ni normallashtirilgan son shaklida ifodalab 
bo‘lmaydi, uni subnormal shaklda 
x
= (0,00010...0)
2

2
-126
kabi ifodalash mumkin.