O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti abdirashidov A., Babayarov A. I

Xatoliklar nazariyasining teskari masalasi
funksiyaning mumkin bo‘lgan 
xatoligiga ko‘ra argumentning mumkin bo‘lgan xatoligini topishdan iborat. 
Bir o‘zgaruvchili 
y
= 
f
(
x
) funksiya uchun chegaraviy absolyut xatolikni quyidgi 
formula bo‘yicha taqribiy hisoblash mumkin: 
y
x
x
f





1
)
(
, bu yerda 
0
)
(


x
f
. 
Ko‘p o‘zgaruvchili 


n
x
x
x
f
u
,...,
,
2
1

funksiya uchun bu masala ba’zi cheklovlarda 
yechiladi: agar argumentlardan birining qiymatini o‘lchash yoki berilgan aniqlikda 
hisoblash qiyin bo‘lsa, u holda aynan shu argument bo‘yicha xatolikni funksiyaning 
talab qilinayotgan xatoligi bilan moslashtirish lozim; agar barcha argumentlarning 
qiyatlarini ixtiyoriy aniqlikda aniqlash oson bo‘lsa, u holda teng ta’sir etish 
prinsipini qo‘llash, ya’ni barcha ushbu 
n
i
x
f
i
x
i
...,
,
2
,
1
,




qo‘shiluvchilarni 
o‘zaro teng deb olish lozim. Barcha argumentlarning chegaraviy absolyut xatoligi 
quyidagi formuladan aniqlanadi: 
n
i
x
f
n
y
i
x
i
,
...
,
2
,
1
,
1













. 
Ustivorlik, korrektlik, yaqinlashuvchanlik.
Agar boshlang‘ich ma’lumot-
larning kichik o‘zgarishlariga yechimning ham kichik o‘zgarishi mos kelsa, u holda 
bunday 
yechim ustivor
deyiladi. Ustivorlik bo‘lmagan joyda boshlang‘ich 
ma’lumotlarning ozgina o‘zgarishi ham yechimning juda katta xatoligiga yoki 
umuman noto‘g‘ri natijaga olib keladi. Bunday masalalar 
boshlang‘ich 
ma’lumotlarning xatoligiga sezgir masalalar
deyiladi. Masalan, 1) Ushbu (
x
–
a
)
n
 
= 

, 

---

31 
bunda 0 < 

< 1, ko‘phadning ildishlarini topish masalasida tenglamaning o‘ng 
tarafidagi 

tartibdagi qiymatga o‘zgarishi ildizning 

1/
n
tartibdagi xatoligiga olib 
keladi. Xususan, agar 
x
6
= 10
-6
tenglamaning o‘ng tomonini 7

10
-6
ga oshirsak, ya’ni 
x
6
= 8

10
-6
tenglamani qarasak, u holda ildiz 4

10
-2
ga (0,10 dan 0,14 gacha) oshadi. 
2) Ushbu 
P
(
x
) = (
x
–1)(
x
–2)...(
x
–20) = 
x
20
– 210
x
19
+ ... Uilkinson misoliga ko‘ra 
ko‘phadning ildizlari 
x
1
= 1, 
x
2
= 2, ..., 
x
n
= 20. Faraz qilaylik, ko‘phadning 
koeffisiyentlaridan biri biror kichik xatolik bilan hisoblangan. Masalan, 
x
19
ning 
oldidagi –210 koeffisiyentni 2
-37
(

10
-7
) ga oshiraylik. Agar hisoblashlar natijasini 
11 ta ma’noli raqamgacha aniqlik bilan hisoblasak, ildizlarning umuman boshqa 
qiymatlariga ega bo‘lamiz, bu ildizlarning yarmi mavhum bo‘lib qoladi. Bunday 
hodisaning sababi bu masalaning o‘zi noustivor ekanligida, chunki hisoblashlar 11 ta 
razryad aniqligida bajarildi va yaxlitlash xatoligi bunday natijalarga olib kelmaydi. 
Masalani qo‘yishning muhim jihati bu uning korrekt qo‘yilganligida. 
Masala 
korrekt qo‘yilgan
deyiladi, agar quyidagi uchta shart bajarilsa: istalgan boshlang‘ich 
ma’lumotlarda masalaning yechimi
 mavjud
, 
yagona
va 
ustivor
bo‘lsa. Agar ana shu 
shartlardan birortasi bajarilmay qolsa, bunday masala 
nokorrekt qo‘yilgan masala
deyiladi. Yuqorida keltirilgan ikkita noustivor masala nokorrekt qo‘yilgan masalalar. 
Bunday masalalarga sonli usullarni qo‘llash maqsadga muvofiq emas, chunki 
hisoblashlardagi yaxlitlash xatoligi hisoblash qadamlarida keskin oshib boradi va 
natijaning aniq yechimdan sezilarli chetlashishiga olib keladi. Ammo, shunga 
qaramasdan, bugungi kunda ba’zi nokorrekt masalalarni ham yechishning usullari 
ishlab chiqilgan. Bu, asosan, dastlabki masalani korrekt qo‘yilgan masalaga 
almashtirib olishga asoslangan bo‘lib, 
regulyarizatsiya usullari
deb ataladi.
Hisoblash jarayonining aniqligini baholashning yana bir muhim xarakteristikasi 
bu sonli usullarning 
yaqinlashuvchanligi
. Bu masalaning olinadigan sonli yechimi 
dastlabki 
yechimga 
yaqin 
ekanligini 
bildiradi. 
Iteratsion 
jarayonning 
yaqinlashuvchanligi va diskretlashtirish usulining yaqinlashuvchanligi tushunchalari 
bir-biridan farq qiladi. 
Iteratsion jarayonning yaqinlashuvchanligi tushunchasini qaraylik. Bu jarayon 
biror masalani yechish uchun ketma-ket yaqinlashishlar usulini qurishdan iborat. Bu 
jarayon (iteratsiyalar)ning ko‘p marotaba takrorlanishi natijasida 
x
1
, 
x
2
, ..., 
x
n
, ... 
ketma-ketlikka ega bo‘linadi. Bu ketma-ketlik 
x = a
aniq yechimga yaqinlashadi 
deyiladi, agar iteratsiyalar soni cheksiz oshganda bu ketma-ketlikning limiti mavjud 
va u 
a
ga teng bo‘lsa. Bu holda yaqinlashuvchi sonli usulga ega bo‘linadi (masalan, 
tenglamani sonli yechishning Nyuton usuli, iteratsiyalar usuli va hokazo). 
Diskretlashtirish usullarining yaqinlashuvchanligi tushunchasini qaraylik. Bu 
usullarning g‘oyasi uzluksiz paramerlarga ega masalani funksiyalari fiksirlangan 
nuqtalarda hisoblanadigan masalaga keltirishdan iborat. Bu yerda yaqinlashish 
deganda diskret model yechimlari qiymatining mos ravishda boshlang‘ich masala 

---

32 
yechimlari qiymatiga diskterlashtirish parametrlari nolga intilganda yaqinlashishi 
tushuniladi (masalan, kvadratur formulalar). 
Yaqinlashishni o‘rganishda uning eng muhim tushunchalari bu uning ko‘rinishi, 
tartibi va boshqa xarakteristikalari. Bu tushuncha quyida aniq sonli usullarni 
o‘rganishda qaraladi.
Shunday qilib, masalaning yechimini biror aniqlikda olish uchun uning 
qo‘yilishi korrekt bo‘lishi, uni yechish uchun qo‘llanilayotgan usul esa 
yaqinlashuvchanlikka ega bo‘lishi lozim ekan.