O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti abdirashidov A., Babayarov A. I

 
6-misol.
Ushbu 
a
b
y

; funksiyaning berilgan 
A
= 4

0,01; 
B
= 7

0,04 
qiymatlardagi chegaraviy absolyut xatoligini toping. 
Yechish. 
 
 
.
0975
,
0
08
,
0
0175
,
0
04
,
0
4
01
,
0
4
2
1
7
2
1




















b
a
b
b
a
a
y
a
a
b
a
b
a
b
7-misol.
Ushbu 
c
b
a
y


funksiyaning berilgan
A
= 4 

0,01;
B
= 7 

0,04 va
C
= 5 

0,1 qiymatlardagi absolyut va nisbiy xatoliklarini toping.
 
Yechish. 
;
5941
,
0
1
,
5
04
,
7
01
,
4
)
(
))
(
(
))
(
(
))
(
),
(
),
(
(


















c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
a
y
;
6061
,
0
9
,
4
96
,
6
99
,
3
)
(
))
(
(
))
(
(
))
(
),
(
),
(
(


















c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
a
y
;
006
,
0
2
)
6061
,
0
(
5941
,
0
2
))
(
),
(
),
(
(
))
(
),
(
),
(
(
)
(





















c
c
b
b
a
a
y
c
c
b
b
a
a
y
y
;
6
,
0
5
7
4
)
,
,
(






c
b
a
c
b
a
y
%;
1
01
,
0
6
,
0
006
,
0
)
(
)
(






y
y
y


---

34 
8-misol.
Ushbu 1) 
b
a
a
y


; 2) 
b
a
y

funksiyalarning berilgan 
A
= 4 

0,01; 
B
= 7 

0,04 qiymatlardagi chegaraviy nisbiy xatoliklarini toping.
 
Yechish. 
.
0192
,
0
0167
,
0
0025
,
0
7
4
04
,
0
01
,
0
4
01
,
0
)
1
























b
a
a
b
a
a
b
a
a
b
a
a
b
a
a
y



.
0054
,
0
0029
,
0
0025
,
0
7
04
,
0
2
1
4
01
,
0
2
1
2
1
)
2















b
a
b
a
b
a
b
a
y





 
9-misol (to‘g‘ri masala). 
a
)
 
Hisoblanayotgan 
F
funksiyaning bajarilayotgan 
opeatsiyalari tartibini va ularning natijalari xatoliklarini yozing, 
F
funksiyaning 
izlanayotgan qiymatini hisoblang va bu hisob xatoligini baholang. 
b
) Natijaning 
ishonchli raqamlari sonini aniqlang. 
t
b
a
F
cos
3
2


;
02
,
0
3
,
28


a
;
01
,
0
45
,
7


b
;
0001
,
0
7854
,
0


t
. 
Yechish.
а
) Berilgan sonlarning absolyut xatoliklari: 

(
a
)
 = 
0,02;

(
b
)
 = 
0,01;

(
t
)
 = 
0,0001. Berilgan sonlarning nisbiy xatoliklari:

(
a
) = 0,02/28,3 = 0,00070671; 

(
b
) = 0,01/7,45 = 0,0013423; 

(
t
) = 0,0001/0,7854 = 0,00012732. U holda
a
2
= 800,89;

(
a
2
) = 2

(
a
) = 0,0014134;

(
a
2
)
 = 
800,89

0,0014134 = 1,132; 
b
3
= 413,49; 

(
b
3
) = 3

(
b
) = 0,0040269;

(
b
3
)
 =
413,49

0,0040269 = 1,6651; 
a
2
+ 
b
3
= 1214,4;

(
a
2
+ 
b
3
)
 = 

(
a
2
)
 
+ 

(
b
3
)
 =
2,7971;

(
a
2
+ 
b
3
)
 = 
2,7971/1214,4 = 0,0023033; 
;
70711
,
0
cos

t

 

;
0000707
,
0
sin
'
cos
cos









t
t
t
t
t

(cos
t
)
 
= 

(cos
t
)/

cos
t

 
= 0,0001;
F
= (
a
2
+ 
b
3
)/cos
t =
1214,4/0,70711 = 1717,413; 

(
F
)
 =

(
a
2
+ 
b
3
)
 
+ 

(cos
t
)
 
= 0,0023033 + 0,0001 = 0,0024033;
 

(
F
)
 =
1717,413

0,0024033 = 4,1274586629. 
б
) Ishonchli raqamlar sonini aniqlash uchun funksiyaning absolyut xatosi ta’rifi 
va bahosidan foydalanamiz: 
;
0466
,
80
cos
2




t
a
a
F
;
4776
,
235
cos
3
2




t
b
b
F
.
40725
,
1717
)
sin
(
cos
2
3
2







t
t
b
a
t
F

---

35 
Shunday qilib,
.
1274
,
4
)
(
)
(
)
(
)
(














t
c
F
b
b
F
a
a
F
F
Ma’lumki,
;
10
5
10
5
,
0
10
41274
,
0
1274
,
4
)
(
1
1
m
n
m
n
F











3
1717, 413 1,7174135 10
F



, 
bu yerda 
n
= 3 – sonning tartibi; 
m
– ishonchli raqamlari soni, ya’ni 
m
≤ 3 da
.
10
5
10
5
,
0
10
5
,
0
)
(
3
4
1
3
m
m
m
F











Demak, ishonchli raqamlar soni 
m
= 3 va 
F
= 172

10
1
. 
10-misol (teskari masala). 
Berilgan 
t
b
a
F
cos
3
2


funksiya uchun 
m
= 5 – 
ishonchli ma’noli raqamlar bilan natijani olish uchun zarur bo‘lgan 
a

28,3; 
b

7,45; 
t 

0,7854 – boshlang‘ich berilgan ma’lumotlarning xatoligini aniqlang. 
Yechish.
Dastlab quyidagilarni topamiz: 
2
800,89
a

, 
3
413, 49
b

, 
cos
0,70711
t

, 
2
3
1214, 4
a
b


, 
2
3
1214, 4
1717, 413
cos
0,7071
a
b
F
t




(dastlabki 5 ta raqam ishonchli deb faraz qilamiz). 
m
ta ishonchli belgi ta’rifiga ko‘ra absolyut xatolik quyidagiga teng: 
05
,
0
10
2
1
)
(
1





F
, bu yerda 
).
(
)
(
1
i
n
i
i
x
x
F
F







Teng ta’sir etish prinsipini qo‘llash uchun 
),
(
i
i
x
x
F



1,
,
i
n

qo‘shiluvchilarning 
barchasi o‘zaro teng deb olamiz. U holda barcha argumentlarning absolyut xatoliklari 
quyidagi formuladan aniqlanadi: 
n
i
F
x
F
n
x
i
i
...,
,
1
),
(
)
(
1














. 
Bunga ko‘ra quyidgilarni topamiz: 
0002
,
0
)
0446
,
80
3
(
05
,
0
)
(
3
)
(
1
















F
a
F
a
;














)
(
3
)
(
1
F
b
F
b
;
00007
,
0
)
4776
,
235
3
(
05
,
0



.
00000970
,
0
)
40725
,
1717
3
(
05
,
0
)
(
3
)
(
1
















F
t
F
t
12-misol: 
Quyida berilgan ifodaning qiymatini berilgan miqdorlarda hisoblang 
va hisoblash xatoligini aniqlang. 

---

36 
2
)
(
)
)(
1
(
n
m
n
m
n
N




,
0001
,
0
0567
,
3


n
,
02
,
0
72
,
5


m
. 
Yechish:
Yuqorida keltirilgan formulalarga tayanib, quyidagilarni yozamiz: 
n
-1 = 2,0567(

0,0001);
m
+ 
n
= 3,0567(

0,0001) + 5,72(

0,02) = 8,7767(

0,0201); 
m
– 
n
= 3,0567(

0,0001) – 5,72(

0,02) = 2,6633(

0,0201);
N
= 2,0567

8,7767/2,6633
2
= 2,545 

2,55; 

(
N
) = 0,0001/2,0567 + 0,0201/8,7767 + 2

0,0201/2,6633 = 0,0175 = 1,75%; 

(
N
) = 2,55

0,0175 = 0,045;
N
= 2,55(

0,045);

(
N
) = 1,75%. 
13-misol.
Doiraning diametri 0,5 mm aniqlik bilan o‘lchanganda u 
d
= 0,728 m 
bo‘lsa, u holda shu doiraning yuzasini hisoblang. 
Yechish.
Doiraning yuzasini hisoblash formulasi 
S
= π
d
2
/4. Hisoblashlarda π 
sonini ixtiyoriy aniqlikda olish mumkin. Shuning uchun yuzani hisoblash xatoligi 
d
2
ni hisoblashning xatoligidan topiladi. Demak, 
d
2
ning nisbiy xatoligi 

(
d
2
) = 2

(
d
) = 
2/728 = 0,27%. π sonini yaxlitlash natijasida ushbu 

(
S
) = 

(π/4) +2

(
d
) nisbiy 
xatolikning oshmasligi uchun π sonini hech bo‘lmaganda to‘rtta, aniqrog‘i, beshta 
ishonchli raqam bilan olish lozim: 
S
= (3,1416/4)

0,728
2
m
2
= 0,7854

0,53 m
2
= 
0,4162 m
2
. Natijaning absolyut xatoligi: 

(
S
) = 
S

(
S
) = 0,4162

0,0027 = 0,0011. 
Yaxlitlash qoidasiga ko‘ra 
S
=0,416 m
2
; 

(
S
) = 0,001. 
14-misol.
Faraz qilaylik, o‘lchovlar natijasi 
x
= 1,5; uning chegaraviy absolyut 
xatoligi 

x
= 0,05 bo‘lib, uning barcha raqamlari qat’iy ma’noda ishonchli. tg
x
ning 
qiymatini hisoblang. 
Yechish. 
Hisoblashni mikrokalkulyatorda bajaraylik: tg1,5 = 14,10141994. 
Ishonchli raqamlarni aniqlash uchun funksiyaning absolyut xatoligini topamiz: 

tg
x
= 

x
/cos
2
x
=0,05/0,005 = 10. Bu esa tg1,5 = 14,10141994 hisobning birorta ham 
raqami ishonchli emasligini bildiradi. Demak, dastlabki 
x
ni aniqlashda aniqroq 
o‘lchov asbobidan foydalanish zarur ekan. Masalan, o‘lchovdan olingan natija 
x
= 
14923, 

x
= 0,0005 bo‘lsa, u holda tg
x
= tg1,4923 = 12,71327341, 

tg
x
< 
0,0005/0,006 < 0,09, ya’ni o‘lchovdan olingan natijaning 2 ta raqami qat’iy ma’noda 
ishonchli. Endi yakuniy natijani 12,7 deb yaxlitlab olish mumkin. 
15-misol.
Sharning radiusi taxminan 1 ga teng desak, uning hajmini 0,1 aniqlik 
bilan hisoblash uchun uning radiusi va π sonni qanday aniqlik bilan hisoblash lozim? 
Yechish. 
Sharning hajmini hisoblash formulasi: 
V
= 4π
R
3
/3. Absolyut xatoliklar 
chegarasi: 

π
= 0,1/(2

4R
3
/3

)=0,3/8 = 0,0375;

R
= 0,1/(2

4R
2

)=0,1/(8π) = 0,00398. 
16-misol.
1) Jismning og‘irligini o‘lchash natijasi: 
m
= 23,4

0,2 g. Jismning 
aniq og‘irligini baholang; 2) Tarvuzni tarozining pallasiga qo‘yib tortishmoqda. 
O‘lchov toshlarining eng kichigi 50 g. Tarozi tarvuzning og‘irligini 3600 g ko‘rsatdi. 
Bu son – taqribiy. Tarvuzning aniq og‘irligi noma’lum. Natijalarni taqqoslang. 

---

37 
Yechish. 
Demak, 1) 

m
= 0,2 – absolyut va 

m
= 0,2/23,4 = 0,9% – nisbiy 
xatolik chegarasi; 2) Xuddi shunday, 

t
= 50; 

t
= 50/3600 = 1,4%. Demak, 

m
< 

t
. 
17-misol.
Millimetrlarga bo‘lingan lineyka yordamida qalamning uzunligi 
o‘lchandi. O‘lchash 17,9 sm ni ko‘rsatdi. Bu o‘lchashning chegaraviy misbiy xatolig-
ini ko‘rsating. 
Yechish.
Bu yerda 
x
= 17,9 sm; 

(
x
) = 0,1 sm; nisbiy xatolik 

(
x
) = 0,1/17,9 yo-
ki yaxlitlasak, 

(
x
) = 0,1/18 

0,6%. Bunday lineyka bilan nisbiy xatolikni yanada 
kamaytirishning iloji yo‘q. Agar yanada aniqroq o‘lchaydigan lineyka bilan bunday 
o‘lchashni bajarsak, u holda ko‘pi bilan 0,02 yoki 0,01 sm absolyut xatolikka er-
ishishimiz mumkin. 
18-misol.
Silindrik porshen 35 mm atrofidagi diametrga ega. Mikrometr 
yordamida o‘lchashning chegaraviy nisbiy xatoligi 0,05% bo‘lishi uchun uni qanday 
aniqlikda o‘lchash lozim? 
Yechish.
Misol shartiga ko‘ra 35 mm ning chegaraviy nisbiy xatoligi 

x
= 0,05% 
bo‘lishi kerak. Demak, chegaraviy absolyut xatolik 

x
= 36

(0,05/100) = 0,0175 (mm) 
yoki yaxlitlasak 0,02 (mm). Ma’lumki, 
x
= 35; 

x
= 0,0005 ekanligidan ushbu 

x
= 

x
/
x
formulaga ko‘ra 

x
= 35

0,0005 = 0,0175 (mm). 
19-misol.
A4 fomatdagi qog‘ozning uzunligi (29,7 

0,1) sm. Xorazmdan Tosh-
kentgacha bo‘lgan masofa (1100 

1) km. Birinchi holda absolyut xatolik 1 mm dan, 
ikkinchi holda esa 1 km dan oshmaydi. Bu o‘lchashlarning aniqligini taqqoslang. 
Yechish. 
Buni to‘g‘ridan to‘g‘ri taqqoslab, xulosa chiqarmaslik kerak. Birinchi 
holda 

x
= 0,1; 

x
= 0,1/29,7

100% = 0,33%. Ikkinchi holda esa 

y
= 1; 

y
= 
1/1100

100% = 0,091%, ya'ni 

x
> 

y
. Bu ikkinchi holda olchash birinchisiga qara-
ganda aniqroq bajarilganligini ko‘rsatadi. 
20-misol.
Ikkita har xil yuklarning og‘irliklarini o‘lchashda quyidagi qiymatlar 
olindi: 
x
= 357,456 tonna va 

(
x
) = 24,726 tonna; 
y
= 28,7673 tonna va 

(
x
) = 2,4652 
tonna. Qaysi yuk aniqroq o‘lchanganligini toping. 
Yechish.
Birinchi yukning absolyut xatoligini bitta raqamgacha yaxlitlaylik: 

(
x
) = 24,726 

30. Birinchi yuk og‘irligini o‘nliklargacha aniqlikda yaxlitlaylik: 
x
= 
357,456 

360. Demak, 
x
= (360

30) tonna. Nisbiy xatolikni hisoblaylik: 

(
x
) = 
30/360 

0,083 = 8,3%. Ikkinchi yukning absolyut xatoligini bitta raqamgacha 
yaxlitlaylik: 

(
y
) = 2,4726 

3. Ikkinchi yuk og‘irligini butun qiymatlar aniqligida 
yaxlitlaylik: 
y
= 28,7673 

29. Demak, 
y
= (29

3) tonna. Nisbiy xatolikni hisoblaylik: 

(
y
) = 3/29 

0,11 = 11%. Shunday qilib, 

(
x
) < 

(
y
), ya’ni birinchi yuk aniqroq 
o‘lchangan ekan. 
21-misol. 
Sferik qatlamning hajmini uning berilgan 
r
ichki radiusi va 
h
qatlami 
qalinligi bo‘yicha hisoblang, bu yerda 
r
>> 
h
.

---

38 
Yechish. 
Ma’lumki, izlanayotgan hajm 
)
)
((
3
4
3
3
r
h
r
V




. Ma’lumki, 
r
+ 
h
va 
r
qiymatlar bir biriga juda ham yaqin, ya’ni bu formulada aniqlik yo‘qotiladi. 
Shuning uchun, bu yerda 
)
3
3
(
3
4
3
2
2
h
rh
h
r
V




formuladan foydlangan ma’qul. 
Buni quyidagicha izohlash mumkin. Faraz qilaylik, 
r
= 1 va 
h
= 0,01. Soddalik uchun 
V
V

4
3
~

deb olaylik. U holda aniq qiymat 
030301
,
0
~

V
. Birinchi formula 
bo‘yicha: (
r
+
h
)
2
= 1,010

1,010 = 1,0201 

1,02; (
r
+
h
)
3
= 1,020

1,01 

1,030. 
030
,
0
000
,
1
030
,
1
~
*



V
. 
Birinchi 
formulaning 
absolyut 
xatoligi: 
4
*
10
01
,
3
)
~
(




V
. Ikkinchi formula bo‘yicha: 
*
~
V
= 3

1,0
2

(0,01) + 3

1,0

(0,01)
2
+ 
(0,01)
3
= 3,0

10
-2
+ 3,0

10
-4
+1,0

10
-6
= 3,0301

10
-2

3,03

10
-2
. Ikkinchi formulaning 
absolyut xatoligi: 
6
*
10
0
,
1
)
~
(




V
. Shunday qilib, ikkinchi formulaning absolyut 
xatoligi taxminan 300 marta kichik. 
22-misol.
Ushbu 
2
3
2
3
2








hisoblashni bajaring va xatolikni aniqlang. 
Yechish.
Hisoblashni quyidagi hollarda bajaraylik: 
005154776
,
0
3
56
97
)
3
4
7
(
)
3
2
(
3
2
3
2
2
4
2















. 
Hisoblash natijalarini jadval ko‘rinishida keltiraylik: 
2
3
2
3
2








4
)
3
2
(

2
)
3
4
7
(

3
56
97


3
1,7 
0,00657 
0,00810 
0,04000 
1,80000 

3
1,73 
0,00524 
0,00523 
0,00640 
0,12000 

3
1,732 
0,00516 
0,00516 
0,00518 
0,00800 

3
1,7321 
0,00515 
0,00515 
0,00513 
0,00240 
Jadvaldan ko‘rinib turibdiki, oxirgi formula juda ham sodda, ammo u eng 
noaniq natijani berdi. Jadvaldagi har bir hisoblashlarning xatoliklarini baholang. 
23-misol.
Havo oqimiga perpendikulyar qo‘yilgan kvadrat plastinkaning 
qarshilik kuchi 
P = kSv
2
formula bilan aniqlanadi, bu yerda 
P
– qarshilik kuchi; 
S
– 
plastinka yuzasi; 
v
– havo oqimining tezligi; 
k
– proporsionallik koeffisiyenti. 
k
mi-
qdor 5% , 
S
va 
v
esa 1% nisbiy aniqlik bilan olinganligini bilgan holda 
P
ning nisbiy 
aniqligini toping. 

---

39 
Yechish.
Ko‘paytmaning nisbiy aniqligini hisoblash formulasiga ko‘ra 

P
= 

k
+ 

S
+ 2

v
= 5% + 1% + 2% = 8%.