O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti abdirashidov A., Babayarov A. I

1.4. Xatoliklar nazariyasining elementlari 
Amaliy masalani sonli yechish natijasi xatoliklarining manbalari va 
klassifikatsiyasi. 
Hisoblash usullari bilan olingan natijalar, odatda, taqribiy bo‘ladi, 
ya’ni ular biror xatolik bilan olinadi. 
 
Xatolik
deb natijaning aniqligini xarakterlovchi 
biror miqdor tushuniladi. Natijaning 
xatolik manbalari
: matematik model; 
boshlang‘ich ma’lumotlar; taqribiy yechish usuli; hisoblashlardagi yaxlitlash.
Matematik modelning xatoligi
dastlabki masalani tuzishda paydo bo‘ladigan 
fizik farazlar va soddalashtirishlardan hamda foydalanilayotgan matematik 
apparatdan bog‘liq.
Dastlabki axborotlardagi xatolik
ning sababi, masalan, noto‘g‘ri o‘lchash, biror 
miqdorlarni chekli kasrlarda ifodalab bo‘lmaslik bo‘lishi mumkin.
Bu har ikkala xatolik birgalikda 
yo‘qotib bo‘lmaydigan xatolik
deb ataladi.

---

20 
Usulning xatoligi
aniq operatorlarni va boshlang‘ich ma’lumotlarni taqribiysiga 
almashtirishdan paydo bo‘ladi, masalan, integralni yig‘indiga, hosilani chekli 
ayirmaga, funksiyani ko‘phadga almashtirishda va cheksiz iteratsion jarayon 
natijasini chekli iteratsiyalarda qurib olishda paydo bo‘ladi. Bu 
yo‘qotish mumkin 
bo‘lgan xatolik
bo‘lib, masalan, usul biror parametrga nisbatan quriladi, bu parametr 
biror limitga intilsa, u holda usulning xatoligi nolga intiladi.
Hisoblash xatoligi
oraliq va yakuniy natijalarni yaxlitlash natijasida paydo 
bo‘ladi. Shunday qilib, biror masalani kompyuterda yechish natijasining to‘la xatoli-
gi yo‘qotib bo‘lmaydigan (matematik modelning xatoligi; dastlabki axborotlardagi 
xatolik) va yo‘qotib bo‘ladigan (usulning xatoligi; hisoblashlardagi yaxlitlash xatoli-
gi) xatoliklar yig‘indisidan iborat ekan.
Quyida hisoblash xatoliklariga to‘xtalib o‘tilgan. Hozirgi zamonaviy 
kompyuterlar asrida bu masalaga to‘xtalib o‘tish o‘ta mayda-chuydalarga e’tiborni 
qaratishdek tuyiladi, aslida esa bu unday emas. Buni quyidagi ikkita misol orqali 
tushuntirish mumkin: 1) Bizga ma’lumki, sinus funksiyaning qiymati Teylor formu-
lasi bo‘yicha quyidagicha hisoblanadi: 
...
!
7
!
5
!
3
)
sin(
7
5
3





x
x
x
x
x
va agar barcha 
hisoblashlar absolyut aniq bajarilsa bu formula 
x
argumentning ixtiyoriy qiymatida 
aniq javobni beradi. Endi 
x
argumentning har xil qiymatlarida sinus funksiyani: ush-
bu qatorning 20 ta hadini ushlagan holda va maksimal aniqlikda hisoblagan holda 
(masalan, MS Excel dan foydalanga holda) hisoblaylik: 
x 
1 
10 
15 
Teylor formulasi bo‘yicha 
0,841470985 
–0,54402179 –1,4127068 
sin(
x
) ning aniq qiymati 
0,841470985 
–0,54402111 0,65028784 
Jadvalning oxirgi ustunidagi natijalar hech bir qolibga sig‘maydi. Bu hisoblash-
lar jarayonida yig‘ilgan xatoliklar natijasi. Agar qatorning 20 ta emas, balki 100 ta 
hadidan foydalansangiz ham ushbu xatoni to‘g‘rilay olmaysiz. Buni tekshirib 
ko‘ring. 2) Ushbu (
a 
– 
b
)/
c
= 
a
/
c
– 
b
/
c
formulani
a
= 1001;
b
= 1000,9999999999; 
c
= 0,0000000003 uchun hisoblaylik. Hisoblashlarni MS Excel da maksimal aniqlik 
bilan bajaraylik. Tenglikning chap tarafi natijasi 3333,3333249, o‘ng tarafi natijasi 
3333,333007, aniq javob 10000/3. Ko‘rinib turibdiki, har ikkala javob ham aniq 
javobdan farq qiladi, ayniqsa ikkinchisining farqi katta.