O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti abdirashidov A., Babayarov A. I

ε
x
f
x
f
ε
x
f
(3.4) 
(3.4) formuladan kelib chiqadiki, 
)
(
x
f

hosila deb 
1
2
,
,
,
n
x x
x

o‘zgaruvchilarga nisbatan 
1
2
,
,
,
n
f f
f

funksiyalar sistemasining quyidagi Yakob 
matritsasi tushuniladi: 
)
(
x
f

 
=
 W
(
x
) = 






































n
n
n
n
n
n
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
, 
yoki uni qisqacha vektor shaklida yozsak, 
)
(
x
f

 
=
 W
(
x
) = 










j
i
x
f
, ,
1,
i j
n

. 
(3.4) sistema bu xatolikni tuzatuvchi had 
)
(
k
i



1,
i
n

larga nisbatan 
W
(
x
)
matritsali chiziqli sistema. Bundan (3.4) formulani quyidagicha yozish mumkin: 
   
.
0
)
(
)
(
)
(


k
k
k
ε
x
W
x
f
Bu yerdan, 
 
)
(
k
x
W

maxsus bo‘lmagan matritsa deb faraz qilib, quyidagiga ega 
bo‘lamiz: 
   
)
(
)
(
1
)
(
k
k
k
x
f
x
W
ε



. 
Natijada ushbu 
   
)
(
)
(
1
)
(
)
1
(
k
k
k
k
x
f
x
W
x
x




,
0,1, 2,
k

.
(3.5) 

---

112 
Nyuton usuli
formulasiga kelamiz, bunda 
x
(0)

nolinchi yaqinlashish sifatida izla-
nayotgan ildizning qo‘pol qiymatini olish mumkin. 
Amaliyotda (3.1

) nochiziqli tenglamalar sistemasini bu usul bilan yechish 
uchun hisoblashlar (3.5) formula bo‘yicha quyidagi shart bajarilgunga qadar davom 
ettiriladi: 





)
(
)
1
(
k
k
x
x
. (3.6) 
Yuqoridagilardan kelib chiqib, Nyuton usulin-
ing algoritmini quyidagicha yozamiz: 
1. 
x
(0)

boshlang‘ich yaqinlashish aniqlanadi. 
2. Ildizning qiymati (3.5) formula bo‘yicha 
aniqlashtiriladi. 
3. Agar (3.6) shart bajarilsa, u holda masala 
yechilgan bo‘ladi va 
x
(
k
+1)

(3.1

) vektor 
tenglamaning ildizi deb qabul qilinadi, aks 
holda esa 2-qadamga o‘tiladi. 
Hisoblashlarda (3.1

) nochiziqli tenglamalar 
sistemasining 
f
(
x
) funksiyalari va ularning hosilalari 
matritsasi 
W
(
x
) aniq berilgan geymiz, u holda bu 
sistemani yechishning blok-sxemasi 3.2-rasmdagi 
ko‘rinishda bo‘ladi. 
f
(
x
) vektor-funksiya 
x
ildizi atrofida ikki mar-
tagacha uzluksiz differensiallanuvchi, Yakob matrit-
sasi 
W
(
x
) maxsus bo‘lmagan (aynimagan), ko‘p 
o‘lchovli Nyuton usuli kvadratik yaqinlashishga ega:
 
 
3.2-rasm. Nochiziqli 
tenglamalar sistemasini 
yechish uchun Nyuton usu-
lining algoritmi. 
2
)
(
)
1
(
x
x
x
x




k
k
C
. 
Shuni ta’kidlaymizki, usulning yaqinlashishini ta’minlash uchun boshlang‘ich 
yaqinlashishni muvaffaqiyatli tanlash muhim ahamiyatga ega. Tenglamalar sonining 
oshishi va ularning murakkabligi ortishi bilan yaqinlashish sohasi torayib boradi. 
Xususiy hol. 
Hisoblash amaliyotida 
n
=2 bo‘lgan hol ko‘p uchraydi. Buni, masa-
lan, 
f
(
z
)=0 nochiziqli tenglamaning kompleks ildizlarini topishda ham ko‘rish mum-
kin. Haqiqatan ham, agar ushbu 




jy
x
f
y
x
f


Re
)
,
(
1
va 




jy
x
f
y
x
f


Im
)
,
(
2
funksiyalarni kiritsak, 
z
- kompleks ildizning 
x
– haqiqiy qismi va 
y
– mavhum qismi 
quyidagi ikki noma’lumli ikkita nochiziqli tenglamalar sistemasini taqribiy 
yechishdan hosil bo‘ladi: 





,
0
)
,
(
;
0
)
,
(
2
1
y
x
f
y
x
f
(3.7) 

---

113 
bu taqribiy hisoblashni Nyuton usuli yordamida 

aniqlik bilan bajaraylik.
 
D
sohaga tegishli 
)
,
(
0
0
0
y
x
X

- nolinchi yaqinlashishni tanlab olamiz. (3.4) 
dan quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini tuzib olamiz: 
).
,
(
)
(
)
(
);
,
(
)
(
)
(
0
0
2
0
2
0
2
0
0
1
0
1
0
1
y
x
f
y
y
y
f
x
x
x
f
y
x
f
y
y
y
f
x
x
x
f


















(3.8) 
Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:
0
0
0
0
,
y
y
y
x
x
x






. 
(3.9) 
(3.8) sistemani 
0
0
,
y
x


larga nisbatan, masalan, Kramer usuli yordamida
yechamiz. Kramer formulalarini quyidagicha yozamiz: 
,
,
2
0
1
0
J
y
J
x






(3.10) 
bu yerda (8) sistemaning asosiy determinanti quyidagicha: 
0
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
0
0
2
0
0
1
0
0
2
0
0
1










y
y
x
f
y
y
x
f
x
y
x
f
x
y
x
f
J
, 
(3.11) 
(3.8) sistemaning yordamchi determinantlari esa quyidagicha: 
y
y
x
f
y
y
x
f
y
x
f
y
x
f








)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
0
0
2
0
0
1
0
0
2
0
0
1
1
;
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
0
0
2
0
0
2
0
0
1
0
0
1
2
y
x
f
x
y
x
f
y
x
f
x
y
x
f








. 
0
0
,
y
x


larning topilgan qiymatlarini (3.9) ga qo‘yib, (3.8) sistemaning 
)
,
(
1
1
1
y
x
X

- birinchi yaqinlashishi komponentalarini topamiz: 
0
0
1
0
0
1
,
y
y
y
x
x
x






. (3.12) 
Quyidagi shartning bajarilishini tekshiramiz: 




)
,
max(
0
0
y
x
. 
(3.13) 
Agar bu shart bajarilsa, u holda 
)
,
(
1
1
1
y
x
X

birinchi yaqinlashishni (3.8) sisteman-
ing taqribiy yechimi deb, hisoblashni to‘xtatamiz. Agar (3.13) shart bajarilmasa, u 
holda 
1
0
x
x

, 
1
0
y
y

deb olib, yangi (3.8) chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini 
tuzamiz. Uni yechib, 
)
,
(
2
2
2
y
x
X

- ikkinchi yaqinlashishni topamiz. Topilgan 
yechimni 

ga nisbatan (3.13) bo‘yicha tekshiramiz. Agar bu shart bajarilsa, u holda 
(3.8) sistemaning taqribiy yechimi deb 
)
,
(
2
2
2
y
x
X

ni qabul qilamiz. Agar (3.13) 
shart bajarilmasa, u holda 
2
1
x
x

, 
2
1
y
y

deb olib, 
)
,
(
3
3
3
y
x
X

ni topish uchun 

---

114 
yangi (3.8) sistemani tuzamiz va hokazo. Bu sistemani yechishning blok-sxemasi 3.3-
rasmda tasvirlangan. 
 
3.3-rasm. Ikki noma’lumli ikkita nochiziqli tenglamalar sistemasini
taqribiy yechishning Nyuton usuli blok-sxemasi. 
 
1-misol. 
Ushbu
 
 












0
2
,
0
1
,
2
2
3
5
1
y
y
x
y
x
f
xy
y
x
y
x
f
tenglamalar sistemasining nolinchi yaqinlashishni 
)
,
(
0
0
0
y
x

X
= (2; 2) deb olib, 
uning aniq yechimi
)
,
(
y
x

X
= (1; 1) ni Nyuton usuli yordamida aniqlang. 

---

115 
Yechish.
Misolning yechimi jarayonini, iteratsiyalardagi yaqinlashishlarni 
)
,
(
k
k
k
y
x

X
, orttirmalarni esa 
)
,
(
k
k
k
y
x




X
deb, quyidagi jadval shaklida 
ifodalaylik (3.1-jadval). Bu natijalar shuni ko‘rsatadiki, iteratsion jarayon juda tez 
yaqinlashadi – verguldan keyin ettita raqamgacha aniqlikdagi yechimga sakkista iter-
atsiyadan keyin erishilgan. Agar berilgan tenglamalar sistemasini







9
,
0
0
,
0
0
,
0
032
,
0
B
boshlang‘ich yaqinlashish bilan iteratsiya usuli bilan yechsak, u holda taqqos-
lanayotgan xatolik bilan olingan yechimga 247 ta iteratsiyadan keyin erishiladi.