O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti abdirashidov A., Babayarov A. I

24.
Yuqori temperaturali
 
suyuqlikda 
P
(MPa) - bosim o‘zgarishini ifodalovchi holat 
tenglamasi 

(o‘lchamsiz parametr) - nisbiy zichlikka va 
T
(Kelvin) – 
temperaturaga nisbatan ushbu 
 
)
273
(
47
,
0
47
1
,
0
4




T
F
F
P




formula (N.Kuznetsov formulasi) bilan ifodalanadi, bu yerda
 

---

108 
;
09
,
1
1
27
,
7
2
5
,
3
1
6
6
2









F







3
2
1
270
1
66
1
10










.
Berilgan 
P
= 18,7 MPa va 
T
= 550 K parametrlar uchun 

ni toping. 
25.
Konussimon (yoki tekis spiral) prujinaning 
F
(N) – kuch ta’siridagi 
z
(mm) – de-
formatsiyalari (yoki 

(gradus) - buralish burchagi) ushbu 
a
) 
b
) 
formuladan hisoblanishi eksperimentlar natijasida aniqlangan, bunda 
A
, 
B
, 
C
, 
D
(yoki 
A
, 
B
, 
C
) – prujina qurilmasidan aniqlanuvchi o‘zgarmaslar bo‘lib, ushbu 
parametrlarning berilgan 
A = 
0,02; 
B
= 0,4; 
C
= 0,1; 
D
= 1,2; 
z
= 6 yoki 
A = 
2; 
B
= 1; 
C
= 0,5; 

= 10 qiymatlari uchun 
F
kuchni toping. 
26.
To‘g‘ri to‘rtburchak shaklidagi ikki parallel plastinka (yoki qo‘sh o‘qli ikki tekis 
disk)dan iborat tizimning elektr sig‘imi 
d
a

va 
d
b

(yoki 
1
/

R
L
) 
qiymatlarda ushbu 







































d
b
b
d
d
a
a
d
d
ab
C
a






2
ln
1
1
1
2
ln
1
1
1
)
0
1
b
) 













1
16
ln
0
1
L
R
L
R
R
C




formula bilan aniqlanishi mumkin, bunda 
1

- muhitning nisbiy dielektrik 
o‘tkazuvchanligi; 
12
0
10
85
,
8




F/m; 
a
va 
b
– plastinkaning o‘lchamlari (
R
– 
disklarning radiuslari); 
d
– plastinkalar orasidagi masofa (
L
– disklar orasidagi 
masofa); π = 3,14159… . Talab qilingan sig‘imni ta’minlovchi 
d
– bo‘shliqni (
R
– 
radiusini) parametrlarning berilgan ushbu
a
= 0,002 m; 
b
= 0,005 m; 
1

= 4,1;
C 
= 10 pF (
1

= 1; 
L
= 1 mm; 
C 
= 100 pF) qiymatlarida toping. 
27.
Ushbu
...
,
1
,
0
,
)
(
'
)
(
0
1




n
x
f
x
f
x
x
n
n
n
Nyutonning o‘zgartirilgan (modifikatsiya qilingan) usuli va 

---

109 


)
(
))
(
)
(
(
)
(
'
)
(
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
x








usulning yaqinlashish tartibini aniqlang, ular yordamida 7-misolni 

= 0,00001 
aniqlik bilan yeching va natijalarni taqqoslang. 
28.
P.L.Chebishevning 1838 yilda Moskva universiteti medaliga sazovor bo‘lgan 
talabalik ishida taklif qilgan ushbu 


3
2
1
)
(
2
)
(
)
(
'
'
)
(
'
)
(
n
n
n
n
n
n
n
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
x





usulining yaqinlashish tartibini aniqlang va uning yordamida 7-misolni

=10
-4
aniqlik bilan yeching va natijalarni taqqoslang. 
29. 
Qiyalik bo‘ylab pastga qarab ushbu 
x
(
t
)=9,81(sin(
at
) –
sh(
at
))/(2
a
2
) qonuniyat bilan siljiyotgan jism 
t
=1 sek da 
x
= 1,7 m masofaga ko‘chsa, u holda 
a
parametrning 
bunga mos qiymatini 

=10
-5
aniqlik bilan toping va 
d

(
t
)/
dt
= 
a
< 0 differensial tenglamani yeching. 
30.
Uzunligi 
L
= 10 m, ichki radiusi 
r
=1 m bo‘lgan silindrik quvur yotgan holida 
hajmining rasmda ko‘rsatilgandek 
V
= 12,4 m
3
qismi suv bilan to‘ldirilgan. 
Silindr markazidan suv sathigacha bo‘lgan 
h 
masofani ushbu 
V
= 
L
[0,5π
r
2
– 
r
2

arcsin(
h
/
r
)-
h
(
r
2
–
h
2
)
1/2
] tenglikdan 

= 0,001 aniqlik bilan toping. 
 
Sinov savollari 
1. Algebraik tenglama transendent tenglamadan nimasi bilan farq qiladi? 
2. Ildizlarni ajratishning ma’nosi va uning bajarilish ketma-ketligini ayting. 
3. Oraliqni teng ikkiga bo‘lish usulining yaqinlashishi kafolatlanganmi? 
4. Nyuton usulining boshlang‘ich yaqinlashishi qanday tanlanadi? 
5. Qanday funksiyalar uchun Nyuton usulini qo‘llash tavsiya etilmaydi? 
6. Takomillashtirilgan Nyuton usulining mazmuni, xususiyatlari va qo‘llanilishi. 
7. Vatarlar usulida tenglamaning ildizi izlanayotgan interval shu ildizdan bir tomonda 
yotishi mumkinmi? Kesuvchilar usulida tenglamaning ildizi izlanayotgan 
intervalni tanlash shartini ayting. 
9. Kesuvchilar va vatarlar usullarining birlashgan variantining ustunlik taraflari. 
10. Iteratsiya usuli uchun funksiyani qanday ko‘rinishga keltirish ma’qul? 

---

110 
3-BOB. 
NOCHIZIQLI
 
TENGLAMALAR
 
SISTEMASINI
 
YECHISHNING
 
SONLI
 
USULLARI 
Kalit so‘zlar: 
nochiziqli tenglamalar sistemasi; Nyuton, Nyuton-Rafson, oddiy iteratsiyalar, 
Zeydel, parametrlarni qo‘zg‘atish, Pikar iteratsiyalari, tezkor tushish, Broyden usullari. 
3.1. Dastlabki tushunchalar 
Ko‘plab amaliy masalalar nochiziqli tenglamalar sistemasini yechishga olib 
kelinadi. Umumiy holda 
n
noma’limli 
n
ta nochiziqli algebraik yoki transendent 
tenglamalar sistemasi quyidagicha yoziladi: 






1
1
2
2
1
2
1
2
,
,
,
0
,
,
,
0
,
,
,
0
n
n
n
n
f x x
x
f
x x
x
f
x x
x



 


 
.
(3.1) 
Ushbu (3.1) sistemani vektor shaklida quyidagicha yozish mumkin: 
f
(
x
) = 0.
(3.1

) 
bu yerda 
x
= (
x
1
, 
x
2
, …, 
x
n
)
T
– argumentlarning vektor ustuni; 
f
= (
1
2
,
,
,
n
f f
f
)
T
– 
funksiyalarning vektor ustuni; (…)
T
– transponirlash operatsiyasi belgisi. Bu sistema 
yechimini topishni geometrik talqinda 
3.1-rasmdagi ikki noma’lumli ikkita 
tenglamalar sistemasining fazoviy tas-
viri misolida tushuntirish mumkin. 
Nochiziqli 
tenglamalar 
sistemasi 
yechimini izlash – bu bitta nochiziqli 
tenglamani yechishga nisbatan ancha 
murakkab masala. Bitta tenglamani 
yechish uchun qo‘llanilgan usullarni 
nochiziqli 
tenglamalar 
sistemasini 
yechishga umumlashtirishjuda ko‘p hi-
soblashlarni talab qiladi yoki uni ama-
liyotda qo‘llab bo‘lmaydi. Xususan, bu 
3.1-rasm. Ikki noma’lumli ikkita tenglamalar 
sistemasining fazoviy tasviri. 
oraliqni teng ikkiga bo‘lish usuliga tegishli. Shunga qaramasdan, nochiziqli 
tenglamani yechishning bir qator iteratsion usullarini nochiziqli tenglamalar siste-
masini yechishga umumlashtirish mumkin. 
3.2. Nyuton usuli 
(3.1

) tenglamalar sistemasini yechish uchun ketma-ket yaqinlashish usulidan 
foydalanamiz. Faraz qilaylik, (3.1

) vektor tenglamaning izolyatsiyalangan 
x
= (
x
1
, 
x
2
, 
…, 
x
n
) ildizlaridan bittasi bo‘lgan ushbu 
k 
-inchi yaqinlashish

---

111 


)
(
)
(
2
)
(
1
)
(
...,
,
,
k
n
k
k
k
x
x
x

x
topilgan bo‘lsin. U holda (3.1

) vektor tenglamaning aniq ildizini ushbu 
)
(
)
(
k
k
ε
x
x


, 
(3.2) 
ko‘rinishda ifodalash mumkin, bu yerda 


)
(
)
(
2
)
(
1
)
(
...,
,
,
k
n
k
k
k




ε

xatolikni tuzatu-
vchi had (ildizning xatoligi). 
(3.2) ifodani (3.1

) ga qo‘yib, quyidagi tenglamani hosil qilamiz: 


.
0
)
(
)
(


k
k
ε
x
f
(3.3) 
Faraz qilaylik, 
f
(
x
) 

bu 
x
va 
x
(
k
)
larni o‘z ichiga olgan biror qovariq 
D 
sohada 
uzluksiz differensiallanuvchan funlsiya bo‘lsin. (3.3) tenglamaning o‘ng tarafini 
)
(
k
ε

kichik vektor darajalari bo‘yicha qatorga yoyamiz va bu qatorning chiziqli hadlari 
bilangina cheklanamiz: 

    
.
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(





k
k
k
k
k