O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti abdirashidov A., Babayarov A. I

 
3.1-jadval. 
k 
x
k 
y
k 
X
X

k
 
2
1
/



k
k
X
X
 
0 
2,000000000 
2,000000000 
1,414213562 
- 
1 
1,693548387 
0,890322581 
0,702167004 
0,351 
2 
1,394511613 
0,750180529 
0,466957365 
0,947 
3 
1,192344147 
0,82284086 
0,261498732 
1,199 
4 
1,077447418 
0,918968807 
0,112089950 
1,639 
5 
1,022252471 
0,976124950 
0,032637256 
2,598 
6 
1,002942200 
0,996839728 
4,317853366E-3 
4,054 
7 
1,000065121 
0,999930102 
9,553233627E-5 
5,124 
8 
1,000000033 
0,999999964 
4,871185259E-8 
5,337 
9 
1,000000000 
1,000000000 
1,272646866E-14 
5,363 
Jadvalning oxirgi ustunidagi sonlar usulning kvadratik yaqinlashishga ega ekan-
ligini tasdiqlaydi. Haqiqatan ham,
2
1




k
k
C
X
X
 
bog‘lanish ildizning yetarlicha 
yaqin atrofida o‘rinli, bunda C o‘zgarmas esa yetarlicha katta: 
C

5,4. 
Agar tenglamalar sistemasida tenglamalar soni ko‘payib borsa, u holda Yakob 
matritsasini hisoblashning qiyinlashishi hisobiga Nyuton usulining hisoblash samara-
dorligi pasayib borishini ko‘rishimiz mumkin. Agar bir o‘lchovli holatni qaraydigan 
bo‘lsak, u yerda 
f
(
x
) va 
f 

(
x
) larni hisoblash qiyinchiligi deyarli bir xil. 
N
o‘lchovli 
holda esa 
f
i

(
x
) larni hisoblash uchun 
n
2
ta hisoblashlarni bajarish talab etiladi, bu esa 
f
i
 
(
x
) larni 
n
marta hisoblashga hisbatan bir necha marta qiyin demakdir.
2-Misol. 
Quyidagi 
 
 











0
4
,
0
1
2
,
3
2
3
y
xy
y
x
G
y
x
y
x
F
sistemaning yechimini Nyuton usulida taqribiy hisoblang. 
 
Yechish.
Grafik usulda yoki tanlov yo‘li bilan dastlabki yaqinlashish 
7
,
1
2
,
1
0
0


y
x
aniqlangan bo‘lsin. U holda 

---

116 


1
3
2
6
,
2
3
2
0
0



xy
y
y
x
y
x
J
, demak


910
,
97
40
,
9
91
,
4
40
,
3
64
,
8
7
,
1
;
2
,
1



J
(12) formulaga ko‘ra 





















.
6610
,
1
0390
,
0
7
,
1
1956
,
0
91
,
4
434
,
0
64
,
8
91
,
97
1
7
,
1
;
2349
,
1
0349
,
0
2
,
1
40
,
9
1956
,
0
40
,
3
434
,
0
91
,
97
1
2
,
1
1
1
y
x
Hisoblashlarni shu singari davom qilib,
6615
,
1
;
2343
,
1
2
2


y
x
ni topamiz va hisoblashlarni talab qilingan aniqlikkacha davom ettiramiz.
Ushbu 
misolda 
berilgan 
tenglamalar sistemasi bitta haqiqiy 
yechimga ega ekanligini quyidagi 
Maple 
dastur 
va 
grafiklardan 
ko‘rish mumkin (3-rasm): 
> plots[implicitplot]({2*x^3-y^2-
1=0,x*y^3-y-4=0},x=-2..2,y=-3..3); 
solve({2*x^3-y^2-1=0,x*y^3-y-
4=0},{x,y}); 
allvalues(%); evalf(%); 
{
}
,

x
1.234274484

y
1.661526467
3-misol. 
Quyidagi
 
nochiziqli 
tenglamalar
 
sistemasini 
Nyuton 
usulida taqribiy yeching: 
3-rasm. Misolda berilgan tenglamalar siste-
masidagi funksiyalarning Maple dasturida 
chizilgan grafiklari. 












;
1
2
;
5
,
0
3
2
1
2
2
2
1
x
x
x
x














;
0
1
2
)
,
(
;
0
5
,
0
3
)
,
(
2
1
2
2
1
2
2
2
1
2
1
1
x
x
x
x
f
x
x
x
x
f
.
1
;
5
,
0
)
0
(
2
)
0
(
1



x
x
Yechish: 
,
,
3
2
,
1
1
1
2
2
2
1
2
2
1
1
x
x
f
x
x
f
x
f
x
f














,
67
.
0
)
,
(
2
)
0
(
2
)
0
(
1
1



x
x
x
f
,
5
.
0
)
,
(
1
)
0
(
2
)
0
(
1
2



x
x
x
f
.
87
.
1
)
,
(
,
67
.
0
)
,
(
)
0
(
2
)
0
(
1
2
)
0
(
2
)
0
(
1
1





x
x
f
x
x
f

---

117 
,
36
.
2
)
,
(
,
53
.
1
)
,
(
;
3
.
2
;
36
.
2
;
12
.
1
5
.
0
;
84
.
0
67
.
0
;
87
.
1
)
1
(
1
)
5
.
0
(
5
.
0
;
67
.
0
)
1
(
67
.
0
)
5
.
0
(
1
1
)
1
(
2
)
1
(
1
2
2
)
1
(
2
)
1
(
1
1
)
1
(
2
)
1
(
1
2
1
2
1
2
1
2
1




































x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
.
4
)
,
(
,
6
.
3
)
,
(
)
1
(
2
)
1
(
1
2
)
1
(
2
)
1
(
1
1





x
x
f
x
x
f
,
ya’ni 
.
66
.
2
}
)
3
.
2
67
.
0
(
,
)
36
.
2
26
.
1
max{(
;
67
.
0
,
26
.
1
;
7
.
3
36
.
2
;
28
.
2
53
.
1
;
2
.
4
)
3
.
2
(
1
)
36
.
2
(
36
.
2
;
6
.
3
)
3
.
2
(
53
.
1
)
36
.
2
(
1
2
2
2
)
2
(
2
)
2
(
1
2
1
2
1
2
1
2
1




































n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

Ushbu misolda berilgan tenglamalar sistemasi ikkita haqiqiy yechimga ega 
ekanligini quyidagi Maple dasturidan ko‘rish mumkin: 
>
fsolve
({
x

y
^2/3 = 

0.5, 
x
^2/2+
y 
= 1}, {
x
,
y
}); 
allvalues
(%);
{
x 
= 2.895363758, 
y 
= 

3.191565646} 
{
x 
= 

0.1770315380, 
y 
= 0.9843299173} 
3.3. Takomillashtirilgan Nyuton usuli 
Nyuton hisob jarayoni (3.3) ni qurishda har bir qadamda teskari matritsa
 
)
(
1
k
x
W

ni hisoblash zarurati noqulaylik tug‘diradi. 
Agar 
 
x
W
1

matritsa izlanayotgan 
x
*
yechimning atrofida uzluksiz va 
boshlang‘ich yaqinlashsh 
x
0
izlanayotgan 
x
*
yechimga yetarlicha yaqin bo‘lsa, u 
holda taqriban ushbu
 
 
)
0
(
1
)
(
1
x
W
x
W



k
tenglikni o‘rinli deb qabul qilish yoki bu teskari matritsani bir qancha qadamlardan 
keyin qayta hisoblash mumkin. Bu esa iteratsion jarayonlardagi hisoblashlarni ka-
maytirib, quyidagi 
takomillashtirilgan Nyuton usuli
formulasini vujudga keltiradi:
   
)
(
)
0
(
1
)
(
)
1
(
k
k
k
x
f
x
W
ξ
ξ




, 
0,1, 2,
k

,
 
 
0
0
x


. (3.14) 
Shuni ta’kidlaymizki, (3.13) va (3.14) jarayonlar uchun dastlabki yaqinlashishlar 
x
(1)
va 
ξ
(1)
o‘zaro mos keladi, ya’ni
 x
(1)
= 
ξ
(1)
. 
Takomillashtirilgan Nyuton usulining algoritmi (blok-sxemasi 3.4-rasmda tas-
virlangan): 
1. 
x
(0)

boshlang‘ich yaqinlashish aniqlanadi. 
2. 
 
)
0
(
1
x
W

matritsani hisoblaymiz. 
3. (3.14) formula yordamida ildizni aniqlashtiramiz.
4. Agar (3.13) shart bajarilsa, u holda masala yechilgan bo‘ladi va 
x
(
k
+1)
(3.1

) 
vektor tenglamaning ildizi deb qabul qilinadi, aks holda 3-qadamga o‘tiladi. 
Agar Yakob matritsasidagi hosilalarni hisoblash murakkab yoki uni analitik yo‘l 
bilan hisoblash mumkin bo‘lmasa, u holda Nyuton usulini qo‘llash murakkablashadi. 

---

118 
Bunday holda oldingi qadamdagi iteratsiyadan olingan yaqinlashishdan foydalanib, 
xususiy hosilalar chekli ayirmalarga almashtirilib approksimatsiyalanadi, masalan, 
)
(
k
j
x
nuqtada chap ayirma bilan hosilani ikki nuqtali approksimatsiyalash formulasi
quyidagicha yoziladi: 

 

h
x
h
x
x
x
x
x
f
x
f
k
n
k
j
k
i
k
n
k
j
k
i
j
i
)
(
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
1
,...,
,...,
,...,
,...,





. 
Ana shu yo‘l bilan hisoblangan hosila qiymat-
larini Nyuton formulasidagi Yakob matritsasini 
hisoblashga qo‘llab, iteratsion jarayonlar hisobini 
osonlashtirish mumkin. Ammo bunda Yakob matrit-
sasi yomon shartlangan bo‘lib qolishi ehtimolligi 
mavjud. Shuni alohida ta’kidlaymizki, Yakob matrit-
sasining analitik ifodasidan foydalanish hisoblashlar 
va dasturlash jarayonini ancha osonlashtiradi.