Сборник тестов для студентов всех специальностей Белгород 2009 2

2. Математический анализ функции одной и 

нескольких переменных, дифференциальные 

уравнения, элементы комплексных  чисел 

 

   1.  Точка   

0

0

( ;

)

M x y

  называется  локальным  максимумом  функции 

( ; )

f x y

,  если  в  окрестности  этой  точки  для  всех  любых  других  точек 

выполняется условие: 

 

   1)

0

0

( ;

)

( ; )

f x y

f x y

≥

; 2)

0

0

( ;

)

( ; )

f x y

f x y

=

; 3)

0

0

( ;

)

( ; )

f x y

f x y

<

;      

 4) 

0

0

( ;

)

( ; )

f x y

f x y

≠

. 

 

   2.  Найти  частные  производные  функции 

2

ln(

)

z

x

x

y

=

+

  по 

переменной  x : 

 

   1) 2 ln(

)

x

x

y

+

;  2)

2 ln(

)

x

x

x

y

x

y





+

+





+





;  3) 

2

x

x

y

+

;  

4)

2

ln(

)

x

x

x

y

x

y





+

+





+





. 

 

   3.  Найти  частные  производные  функции 

2

2

cos

z

y

x y

xy

=

+

+

  по 

переменной  y : 

 

   1)  2

2

sin

y

xy

xy

+

−

; 2)

2

cos

x

xy

+

; 3)

2

2

sin

y

x

x

xy

+

−

; 4)  2

sin

y

x

xy

−

. 

 

   4. Найти полный дифференциал функции 

3

2

2

z

x y

xy

=

+

: 

 

   1) 

2

2

3

(6

)

(2

2

)

x y

y dx

x

xy dy

+

+

+

; 2) 

2

2

3

(

)

(

)

x y

y dx

x

xy dy

+

+

+

; 

3) 

3

2

(2

)

2

x

y dx

xydy

+

+

;  4) 

2

3

6

2

x dx

x dy

+

. 

 

   5. Найти значение градиента функции 

2

3

3

z

x y

y

=

−

 в точке 

(1;1)

M

: 

 

   1) 

{

}

3; 1

−

; 2) 

{ }

1;1 ; 3) 

{ }

6; 0 ; 4) 

{ }

0; 6 . 

 

   6. Градиент функции в точке - это  

 

 

18 

   1) вектор; 2) число; 3) направление; 4) длина пути. 

 

   7. Направление наибольшего роста функции задается: 

 

   1) производной по направлению; 2) пределом функции в точке; 

3) градиентом функции; 4) дифференциалом функции. 

 

   8. Найти модуль градиента функции 

2

3

z

x

y

=

+

 в точке 

(2;1)

M

: 

 

   1) 5; 2) 3; 3) 9; 4)  5 . 

 

   9. Необходимым условием наличия экстремума  в точке для функции 

нескольких переменных является: 

 

   1) наличие корней; 2) равенство градиента функции нулю;  

3)  отсутствие  производных;  4)  равенство  нулю  частных  производных 

функции по всем аргументам. 

 

   10. Найти стационарную точку функции 

2

2

4

6

z

x

x

y

y

=

−

+

−

: 

 

   1)  (2;3) ; 2)  (2; 6) ; 3)  ( 2; 3)

− −

; 4)  (8;3) . 

 

   11.  Условный  экстремум  функции  нескольких  переменных  можно 

найти методом:  

 

   1) Лейбница; 2) Гаусса; 3) Коши; 4) Лагранжа. 

 

   12. Найти первообразную функции 

2

cos

y

x

x

=

+

: 

    

   1) 

sin

C

x

x

+ −

; 2) 

3

sin

3

x

x

C

+

+

; 3) 

2

sin

x

x

C

−

+

;  4) 

3

sin

3

x

x

C

−

+

. 

    

    13.  Какие  из  выражений  являются  свойствами  неопределенного 

интеграла: 

 

   1)

( )

( )

f x dx

f x dx

α

α

=

∫

∫

;  2) ( ( )

( ))

( )

( )

f x

g x dx

f x dx

g x dx

+

=

+

∫

∫

∫

; 

 

19 

3) 

( )

( )

( )

( )

f x dx

f x dx

g x

g x dx

=

∫

∫

∫

; 4) 

( )

f x dx

dx

=

∫

∫

. 

   14.  Какие  методы  интегрирования  неопределенного  интеграла  Вы 

знаете: 

 

   1)  метод  обращения;  2)  интегрирование  по  частям;  3)  метод  замены 

переменной; 4) метод подведения под знак интеграла. 

 

   15. Найти интеграл 

ln x

dx

x

∫

: 

 

   1) 

2

1

C

x

+

; 2)  ln x

x

C

+ +

; 3) 

2

1

ln

2

x

C

+

; 4) 

2

ln x

C

+

. 

 

   16. Найти интеграл 

2

2

1

arctg x

dx

x

+

∫

: 

 

   1)

3

1

3

arctg x

C

+

; 2) 

3

arctg x

C

+

; 3)  2arctgx C

+

; 4) 

2

1

1

C

x

+

+

. 

 

   17. Какое из выражений является свойством дифференциала: 

 

   1) 

1

(

)

dx

d ax

a

=

; 2) 

(

)

dx

d x

a

=

+

; 3) 

0

dx

= ; 4) 

(

)

dx

d bx

a

=

+

. 

 

   18. Определенный интеграл – это 

 

   1) функция; 2) выражение; 3) число; 4) знак. 

 

   19. Как выглядит формула Ньютона-Лейбница:   

     

   1) 

( , )

F x y

; 2) 

( )

( )

F b

F a

−

; 3) 

( )

( )

F x

F y

−

; 4) 

( )

F x

. 

 

   20. К  свойствам определенного интеграла относятся: 

 

   1) 

( )

( )

b

a

a

b

f x dx

f x dx

= −

∫

∫

; 2) 

( )

( )

b

b

a

a

f x dx

f x dx

α

α

=

∫

∫

;  

 

20 

 3) 

( )

b

b

a

a

f x dx

dx

=

∫

∫

; 4) 

( )

( )

( )

b

c

b

a

a

c

f x dx

f x dx

f x dx

=

+

∫

∫

∫

. 

   21.  Под  геометрическим  смыслом  определенного  интеграла 

понимают: 

 

   1)  объем  продукции;  2)  длину  отрезка 

[

]

;

a b

;  3)  площадь 

криволинейной трапеции; 4) объем криволинейной трапеции. 

 

   22.  Какое  выражение  является  теоремой  о  среднем  значении 

функции: 

 

   1) 

( )

( )(

)

b

a

f x dx

f c b

a

=

−

∫

; 2) 

( )

b

a

f x dx

b

a

= −

∫

;  

3) 

( )

( )

( )

b

a

f x dx

F b

F a

=

−

∫

; 4) 

( )

b

a

f x dx

b

=

∫

. 

 

   23. Какая из формул является формулой интегрирования по частям: 

 

   1)  udv

vdu

=

∫

∫

; 2)  udv

uv

vdu

=

−

∫

∫

; 3)  udv

u

v

= +

∫

;  

 4)  udv

uv

du

=

+

∫

∫

. 

 

   24.Найти значение интеграла 

2

1

1

1

x

dx

x

−

+

−

∫

: 

 

   1) 2; 2) 0; 3) 1; 4) 3. 

 

   25. Найти площадь, ограниченную линиями: 

,

2 ,

2

y

x y

x x

=

=

=

: 

 

   1) 1; 2) 1,5; 3) 4; 4) 2. 

 

   26. С помощью определенного интеграла можно найти: 

 

   1) площадь; 2) длину дуги; 3) вес интеграла; 4) объем тела вращения;    

5) радиус действия интеграла. 

 

    27. Объем тела вращения можно посчитать по формуле: 

 

 

21 

   1) 

b

a

ydx

π

∫

; 2) 

2

b

a

y dx

π

∫

; 3)  2

b

a

dx

π

∫

; 4) 

b

a

ydx

∫

. 

   28. Найти интеграл 

1

4

0

x dx

π

∫

: 

 

   1) 

2

π

; 2)  x

π

; 3)  4

π

; 4) 

5

π

. 

 

    29. Несобственный интеграл – это: 

 

   1) 

2

1

1

dx

x

−

∫

; 2) 

1

ln xdx

∞

∫

; 3) 

2

2

0

(

1)

x

dx

+

∫

; 4) 

xdx

∞

−∞

∫

. 

 

   30. Найти интеграл 

2

0

dx

x

∞

∫

: 

 

   1) 1; 2) 

∞ ; 3) 2; 4) 0. 

 

   31. Дифференциальным уравнением называется  

 

   1)  равенство  нулю;  2)  уравнение,  в  котором  неизвестная  находится 

под  знаком  производной;  3)  уравнение,  содержащее  интеграл;  4) 

тождество для производной. 

 

    32. График решения дифференциального уравнения называется: 

 

   1)  производящей  функцией;  2)  кривой  Коши;  3)  интегральной 

кривой; 4) общим интегралом. 

 

   33.  Дифференциальное  уравнение  третьего  порядка  содержит  n  

постоянных: 

 

   1) 

3

n

= ; 2) 

1

n

= ; 3) 

2

n

= ; 4)  n

n

=

. 

 

   34.  Какие  уравнения  являются  уравнениями  с  разделяющимися 

переменными: 

 

 

22 

   1) 

2

1

y

dx

xydy

+

=

; 2)  x

y y

x

′

+ ⋅

= ; 3) 

2

2

(

1)

1

x

y

y

′

+

=

+ ;  

 4) 

2

2

y

xy

x

′ +

=

. 

   35.  Методы  решения  линейных  дифференциальных  уравнений 

первого порядка: 

 

   1)  метод  интегральных  кривых;  2)  метод  вариации  произвольной 

постоянной; 3) метод подстановки  y

uv

=

; 4) метод уничтожения. 

 

   36.  Какая  подстановка  используется  при  вычислении  интеграла 

3

4

5

1

x dx

x

+

∫

: 

 

   1) 

3

t

x

=

; 2) 

4

5

1

t

x

=

+ ; 3) 

4

t

x

=

; 4) 

4

5

1

t

x

=

+ . 

 

   37. Какие интегралы вычисляются по частям: 

 

   1) 

cos

x

e

xdx

∫

; 2) 

2

(

)

x

x dx

+

∫

; 3) 

2

x

x e dx

∫

; 4) 

3

2

x

x e dx

∫

. 

 

   38. 

Найти 

координаты 

вектора 

нормали 

к 

поверхности 

2

2

2

2

3

u

x

y

z

=

+

−

 в точке 

(1; 2;3)

M

: 

 

   1) 

{

}

1; 2; 3

−

; 2) 

{

}

2; 4; 6

−

; 3) 

{

}

1; 2;3 ; 4) 

{

}

0; 2;1 . 

 

   39. Найти интеграл 

5

3

4

dx

x

+

∫

: 

 

   1) 0; 2) 4; 3) 5; 4) 2. 

 

    40. Найти интеграл 

6

5

4

dx

x

−

∫

: 

 

   1) 0; 2) 6; 3)  ln 2 ; 4)  ln 6 . 

 

   41. Найти интеграл 

4

2

3

(

3)

x

dx

−

∫

: 

 

23 

 

   1) 1/ 3 ; 2) 0; 3) 1; 4) 9. 

   42.  Сопряженным  комплексным  числом  для  числа 

2 3

z

i

= −

 

является: 

 

   1) 2; 2) -3; 3)  4 9

i

−

; 4)  2 3

i

+

. 

 

   43.  Тригонометрической  формой  комплексного  числа 

3 4

z

i

= +

 

является число: 

 

   1) 

3

3

5 cos arccos

sin arccos

5

5

i













+

























;  2)  3 4

i

−

;  3)

3

3

cos

sin

5

5

i

 

 

+

 

 

 

 

;                                                                

4) 

3

5cos

5

 

 

 

. 

 

   44.  Записать  комплексное  число,  если  его  модуль  равен  3,  аргумент 

3

π

:     

 

   1)  3

3

i

π

+

; 2)   3

3

i

π

−

; 3)  3(cos

sin

)

3

3

i

π

π

+

; 4) 

(cos 3

sin 3)

3

i

π

+

. 

 

   45.  Записать  комплексное  число,  если  действительная  часть  равна 

3 , мнимая часть равна  ( 3)

−

: 

 

   1)  3 3

i

−

; 2)  3

3

i

+

; 3)  3

3

i

−

; 4)  3

3

i

+

. 

 

   46. Найти значение выражения  (3

)(2 3 )

i

i

−

+

: 

 

   1)  6 4

i

−

; 2)  9 7

i

+

; 3)  3 7

i

+

; 4)  5 2

i

−

. 

 

   47. Найти значение выражения  (2 4 ) 2(

4)

i

i

+

−

+

: 

 

   1)  2( 3

)

i

− +

; 2)  6 6

i

+

; 3)  4

i

; 4)  6 2

i

−

. 

 

    48. Сколько корней имеет уравнение 

4

6

0

z

− = : 

 

 

24 

   1) 2; 2) 1; 3) 4; 4) 3. 

 

   49. Какой области соответствует условие 1

3

z

i

≤

− ≤ : 

 

1)                                                           2)                  

     

                              

        

 

                                          

                       

3)                                                           4) 

       

                           

                             

    

    50. Найти 

4

z

, если 

3 2

z

i

= +

: 

 

   1) 

2

2

169(cos 0, 25

sin 0, 25

)

3

3

arctg

i

arctg

+

;  2) 

3

3

89(cos

sin

)

13

13

i

+

; 

 3)  81 16

i

+

; 4) 169 16

i

−

. 

 

      51.Записать  комплексное  число,  если  оно  задано  в  комплексной 

плоскости: 

 

 

25 

   1) 

2 2

0, 75

i

π

+

; 

2) 

2 2(cos 0, 75

sin 0, 75 )

i

π

π

+

; 

3) 

2 2

i

−

;  

4) 2 0, 74

i

π

−

. 

   52.  По  какой  формуле  вычисляется 

n

-ная  степень  комплексного 

числа: 

 

   1) 

n

z

; 2) 

(cos

sin

)

n

z

n i

n

ϕ

ϕ

+

; 3) 

n

z

; 4) 

n

n

z z

. 

    

   53. Какие из уравнений относятся к дифференциальным  уравнениям 

с разделяющимися переменными: 

 

   1) 

2

1

0

xy

y

′ +

+ =

; 2) 

2

1

y

y

y

′′

′

−

+

= ; 3) 

2

2

1

x y y

x

′ = + ;      

 4)

2

2

(

)

x

y y

x

y

′

+

=

+

. 

 

   54.Определите вид дифференциального уравнения: 

 

1) 

2

1

xy

y

′ =

+ ; 

1) уравнение Бернулли; 

2)

2

2

sin

xy

xy

y

x

+

=

;  2) уравнение с постоянными  коэффициентами; 

3)  2

3

0

y

y

y

′′

′

−

+

= ; 

3) уравнение с разделяющимися переменными; 

4) 

2

y

y

′′′

′′

=

+ ; 

4)уравнение, допускающее понижение порядка. 

    

   55.  Какие  из  уравнений  являются  уравнениями  с  постоянными 

коэффициентами: 

 

   1) 

3

2

0

y

y

y

′′

′

−

+

= ; 2) 

4

3

0

xy

y

′′

′

+

+ = ; 3)  2

6

3

0

y

y

y

′′

′

+

+

= ;     

 4)  2

3 sin

0

y

y x

y

x

′′

′

−

+

= . 

 

   56. Решить уравнение 

2

2

x dx

y dy

=

: 

 

   1) 

2

2

x

y

=

; 2) 

3

3

3

3

x

y

C

−

=

; 3)  x

y

C

+

=

; 4)

3

3

x

y

C

−

=

. 

 

   57. Решить уравнение  4

4

0

y

y

y

′′

′

+

+

= : 

 

   1) 

0,5

1

2

(

)

x

C

C x e

−

+

; 2) 

1

2

C

C x

+

; 3) 

0,5

2

x

C xe

−

; 4) 

0,5

1

2

x

C

C e

−

+

. 

 

 

26 

   58. Решить уравнение 

5

6

0

y

y

y

′′

′

−

+

= : 

 

   1) 

2

1

2

x

C

C e

+

; 2) 

3

1

2

x

C

C e

+

; 3) 

3

2

1

2

x

x

C e

C e

+

; 4) 

3

2

1

2

x

x

C e

C e

−

−

+

. 

   59. Решить уравнение 

5

6

0

y

y

y

′′

′

−

−

= : 

 

   1) 

6

1

x

C e

; 2) 

1

x

C e

−

; 3) 

6

1

x

x

C e

e

−

+

; 4) 

6

1

2

x

x

C e

C e

−

+

. 

 

   60. Решить уравнение 

4

5

0

y

y

y

′′

′

−

+

= : 

 

   1) 

2

1

2

(

cos

sin )

x

e

C

x

C

x

+

;  2) 

1

2

cos

sin

C

x

C

x

+

;  3) 

2

(cos

sin )

x

e

x

x

−

;    

4) 

2

1

x

C e

. 

 

   61.  Для  понижения  порядка  в  дифференциальном  уравнении 

используются подстановки: 

 

   1) 

( )

y

z x

′ =

; 2) 

( )

y

z y

′ =

; 3) 

y

a

b

′ = + ; 4) 

y

uv

′ =

. 

 

   62.  Линейное  дифференциальное  уравнение  первого  порядка  имеет 

вид: 

 

   1) 

2

2

( )

1

y

x

′

=

+ ; 2) 

2

1

y

x

′ =

+ ; 3) 

( )

y

P x y

x

′ +

= ; 4)  ( )

0

y y

xy

′ ′′ +

=

. 

 

   63. Длина дуги кривой вычисляется по формуле: 

 

   1) 

( )

b

a

L

f x dx

=

∫

; 2) 

2

( )

b

a

L

f

x dx

=

∫

; 3) 

( ( ) 1)

b

a

L

f x

dx

=

−

∫

; 

4) 

2

1 (

( ))

b

a

L

f x

dx

′

=

+

∫

. 

 

   64.  Какая  тригонометрическая  подстановка  используется  для 

вычисления интеграла 

2

2

x

a dx

−

∫

: 

 

   1) 

sin

a

x

t

=

; 2) 

sin

x

a

t

=

; 3) 

cos

x

t

=

; 4) 

cos

a

x

t

=

. 

 

   65. Что такое универсальная тригонометрическая подстановка: 

 

27 

 

   1) 

sin

x

t

=

; 2) 

cos

x

t

=

; 3) 

2

t

x

tg

=

; 4) 

(

1)

x

tg t

=

+

. 

   66.  Указать  вид  специальной  правой  части  в  дифференциальном 

уравнении второго порядка с постоянными коэффициентами: 

 

   1)  ( )

2

x

f x

e

=

; 2)  ( )

1

x

e

f x

x

=

+

; 3)  ( )

f x

tgx

=

; 4)  ( )

cos

sin

f x

x

x

=

+

. 

 

   67. Какие уравнения относятся к дифференциальным уравнениям: 

 

   1) 

2

2

x

y

x

+

=

; 2) 

2

0

y

xy

′ −

= ; 3) 

2

y

xy

x

+

=

; 4) 

2

2

( )

2

1

y

xy

x

′ +

=

+ . 

 

   68.  Какое  из    дифференциальных  уравнений  является  линейным 

неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка: 

 

   1) 

x

y

e y

x

′ −

= ; 2) 

2

2

( )

1

y

x

′ +

= ; 3) 

cos

y

x

′′ =

; 4) 

cos

sin

y

y

x

x

′ −

=

. 

 

   69. Решить дифференциальное уравнение 

2

2

(

1)

(

1)

x

dy

y

dx

+

=

+

: 

 

   1)  ln

ln

x

y

C

−

=

; 2) arctg y – arctg x  = C; 3) 

3

3

3

3

x

y

x C

y

+ +

=

+

;      

4) 

2

2

2

x

y

+

= . 

 

   70. Решить дифференциальное уравнение  (

1)

(

1)

x

dy

y

dx

−

=

−

: 

 

   1) 

(

1) 1

y

C x

=

−

+ ; 2)  ln

y

Cx

=

; 3) 

ln

y

Cx

=

; 4)  y

Cx

=

.