Переходного периода

 
Интервал с 650 по 776 наблюдение (09/04/98-08/10/98): интегрирован-
ный ряд первого порядка. 
Наконец, для интервала с 777 по 1294 наблюдение (09/10/98-31/10/00): 
интегрированный ряд первого порядка. 
Таким  образом,  построены  модели  ряда  Z
t
    для  пяти  интервалов,  по-
крывающих  в  совокупности  практически  весь  период  наблюдений  за  ис-
ключением  отрезка  с  538  по  544  наблюдения  –  с  27  октября  по  4  ноября 
1997 г., когда произошло первое наиболее серьезное падение индекса РТС-
1, связанное с развитием финансового кризиса. График поведения ряда X
t
 в 
окрестности указанного отрезка имеет вид: 
300
350
400
450
500
550
600
520
525
530
535
540
545
550
555
560
RTS1
 
Оценки  для  ряда  российского  фондового  индекса  соответствуют  об-
щим экономическим представлениям о характере поведения подобных фи-
нансовых  рядов.  Нестационарность  фондовых  индексов  и  курсов  отдель-

 
 
158 
ных акций является достаточно общим свойством как развитых, так и для 
развивающихся  рынков.  Наши  результаты  свидетельствуют,  что  как  на 
всем  периоде,  так  и  практически  на  всех  подпериодах  ряд  фондового  ин-
декса  РТС  соответствовал  процессу  «случайного»  блуждания.  Единствен-
ный  участок,  на  котором  гипотеза  о  стационарности  ряда  не  может  быть 
отвергнута,  относится  к  крайне  непродолжительному  периоду  начального 
этапа  финансового  кризиса  в  России  1998  года,  и  правомочность  выделе-
ния его  в самостоятельный подпериод может быть поставлена под сомне-
ние. 
Следование процессу «случайного блуждания» обычно интерпретиру-
ется в теории финансов и финансовых рынков как свидетельство в пользу 
гипотезы  эффективных  рынков  (в  слабой  форме).  На  наш  взгляд,  такой 
результат был бы крайне важен для анализа российских финансовых рын-
ков.  Однако  знание  характеристик  рынка  (капитализация  компаний,  стра-
тегия  основных  участников,  количество  торгуемых  акций,  ликвидность  и 
т.д.), не позволяют нам утверждать, что на основании полученных резуль-
татов гипотеза об эффективности рынка не отвергается. 
3.9. Обменный курс рубля 
Здесь  мы  опять  имеем  дело  с  дневными  данными.  График  ряда  X
t 
= 
Rubkurs (см. рис. 2-8 , раздел 2-1) имеет весьма сложную форму 
Мы  также  будем  проводить  анализ  ряда  логарифмов  Y
t
=lnX
t
,  график 
которого имеет вид 
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
200
400
600
800
1000
1200
1400
X_LOG
 

 
 
159 
В данном исследовании мы рассмотрели динамику ряда только за пре-
делами валютного коридора, существовавшего с июня 1995 года по август 
1998 года, когда режим валютного курса был плавающим (с 1992 года по 
май 1995 года, с сентября 1998 года по июль 2000 года). 
Полученные  результаты,  также  как  и  для  большинства  других  рас-
сматриваемых  рядов,  согласуются  с  общими  представлениями  макроэко-
номических и финансовых переменных в заданных условиях. Так, практи-
чески на всем рассматриваем участке, за исключением 1999 года,  – о чем 
будет  сказано  особо  –  динамика  курса  рубля  к  доллару  соответствовала 
нестационарному  процессу,  имеющему  единичный  корень.  Курс  рубля 
находился в свободном плавании, и в целом на периоде Центральный банк 
РФ мало влиял на темпы его изменения. 
На периоде 1999 года курс рубля является стационарным относительно 
линейного тренда. В частности, это связано с тем, что на данном временном 
интервале, несмотря на формальное действие режима плавающего обменного 
курса, существовали сильные ограничения на операции на валютном рынке. 
В частности, официальный курс российской валюты устанавливался на осно-
ве  результатов  торгов  на  утренней  сессии,  доступ  к  которой  имели  только 
участники внешнеторговых операций, и ситуация на которой полностью кон-
тролировалась Банком России. Как уже было показано в рамках предыдуще-
го проекта ИЭПП «Анализ макроэкономических и институциональных про-
блем финансового кризиса в России, разработка программы преодоления его 
последствий и достижение финансовой стабилизации. Взаимодействие меж-
ду финансовыми индикаторами и характеристиками реального сектора», ди-
намика курса на утренней сессии была стационарной относительно детерми-
нированного линейного тренда, тогда как движение курса на дневной сессии 
соответствовали процессу «случайного блуждания». 

 
 
160 
Заключение 
В последние годы большое внимание в эконометрической литературе 
уделяется  анализу  структурных  свойств  экономических  временных  рядов. 
Это  вызвано  тем,  что  далеко  не  всегда  значения  временного  ряда  форми-
руются под воздействием некоторых факторов. Нередко бывает, что разви-
тие  того  или  иного  процесса  обусловлено  его  внутренними  закономерно-
стями,  а  отклонения  от  детерминированного  процесса  вызваны  ошибками 
измерений  или  случайными  флуктуациями.  В  последнее  время  появилось 
достаточно  большое  количество  работ,  в  которых  рассматриваются  раз-
личные эконометрические аспекты развития Российской экономики. Одна-
ко в этих работах практически не уделяется внимания статистическим ха-
рактеристикам  самих  динамических  рядов,  определяющих  исходные 
данные моделей.  
Для  временных  рядов  главный  интерес  представляет  описание  или 
моделирование их структуры. Цель таких исследований, как правило, шире 
моделирования, хотя некоторую информацию можно получить и непосред-
ственно из модели, делая выводы о выполнении тех или иных экономиче-
ских законов (скажем, закона паритета покупательной способности) и про-
веряя  различные  гипотезы  (например,  гипотезу  эффективности 
финансовых рынков). Построенная модель может использоваться для экс-
траполяции  или  прогнозирования  временного  ряда,  и  тогда  качество  про-
гноза  может  служить  полезным  критерием  при  выборе  среди  нескольких 
моделей.  Построение  хороших  моделей  ряда  необходимо  и  для  других 
приложений, таких, как корректировка сезонных эффектов и сглаживание. 
Наконец,  построенные  модели  могут  использоваться  для  статистического 
моделирования  длинных  рядов  наблюдений  при  исследовании  больших 
систем,  для  которых  временной  ряд  рассматривается  как  входная  инфор-
мация. 
Для правильного решения различных содержательных задач экономи-
ческого  анализа  необходимо  рассматривать  различные  аспекты  каждого 
исследуемого  временного  ряда,  а  для  этого,  прежде  всего,  нужно  опреде-
лить его глобальную структуру, т.е. решить вопрос об отнесении каждого 
из  рассматриваемых  рядов  к  классу  рядов,  стационарных  относительно 
тренда – TS (trend stationary), или к классу рядов, остационариваемых толь-
ко путем дифференцирования ряда – DS (difference stationary) рядов.  

 
 
161 
Проблема  отнесения  макроэкономических рядов динамики, имеющих 
выраженный тренд, к одному из двух указанных классов активно обсужда-
лась в последние два десятилетия в мировой эконометрической и экономи-
ческой  литературе,  поскольку  траектории  TS  и  DS  ряды  отличаются  друг 
от друга  кардинальным образом. TS ряды имеют линию тренда в качестве 
некоторой  “центральной  линии”,  которой  следует  траектория  ряда,  нахо-
дясь, то выше, то ниже этой линии, с достаточно частой сменой положений 
выше-ниже.  DS  ряды  помимо  детерминированного  тренда  (если  таковой 
имеется)  имеют  еще  и  стохастический  тренд,  из-за  присутствия  которого 
траектория DS ряда весьма долго пребывает по одну сторону от линии де-
терминированного тренда (выше или ниже соответствующей прямой), уда-
ляясь от нее на значительные расстояния, так что по-существу в этом слу-
чае  линия  детерминированного  тренда  перестает  играть  роль 
“центральной”  линии,  вокруг  которой  колеблется  траектория  процесса.  В 
TS-рядах  влияние  предыдущих  шоковых  воздействий  затухает  с  течением 
времени,  а  в  DS-рядах  такое  затухание  отсутствует  и  каждый  отдельный 
шок  влияет  с  одинаковой  силой  на  все  последующие  значения  ряда.  По-
этому  наличие  стохастического  тренда  требует  определенных  политиче-
ских усилий для возвращения макроэкономической переменной к ее долго-
временной перспективе, тогда как при отсутствии стохастического тренда 
серьезных усилий для достижения такой цели не требуется – в этом случае 
макроэкономическая  переменная  “скользит”  вдоль  линии  тренда  как 
направляющей,  пересекая  ее  достаточно  часто  и не уклоняясь от этой ли-
нии сколько-нибудь далеко.  
Построение  адекватной  модели  макроэкономического  ряда,  которую 
можно  использовать  для  описания  динамики  ряда  и  прогнозирования  его 
будущих  значений,  и  адекватных  моделей  связей  этого  ряда  с  другими 
макроэкономическими  рядами  невозможно  без  выяснения  природы  этого 
ряда и природы рядов, с ним связываемых, т.е. без выяснения принадлеж-
ности ряда к одному из двух указанных классов (TS или DS).  

 
 
162 
Основной  результат,  полученный  в  проведенном  исследовании,  сум-
мирован в табл. 1 
Т
АБЛИЦА 
1.
 
К
ЛАССИФИКАЦИЯ РЯДОВ ПО СТАЦИОНАРНОСТИ
 
Ряд 
Периодичность 
наблюдений 
Интервал наблю-
дений 
Анализируемый 
интервал  
Предпочтительная 
модель (DS или TS) 
М1 
месяц 
1995:06 – 2000:07 
1995:06 – 2000:07 
DS 
М0 
месяц 
1990:12 – 2000:07 
1995:06 – 2000:07 
DS 
М2 
месяц 
1990:12 – 2000:07 
1995:06 – 2000:07 
DS 
EXPORT 
месяц 
1994:01 – 2000:04 
1994:01 – 2000:04 
TS 
IMPORT 
месяц 
1994:01 – 2000:04 
1994:01 – 1998:01 
Ясности нет 
IMPORT 
месяц 
1994:01 – 2000:04 
1998:10 – 2000:04 
Ясности нет  
(мало данных) 
DOKHFEDBUD 
месяц 
1992:01 – 2000:05 
1992:01 – 1993:09 
Ясности нет  
(мало данных) 
DOKHFEDBUD 
месяц 
1992:01 – 2000:05 
1993:10 – 1995:05 
Ясности нет 
 (мало данных) 
DOKHFEDBUD 
месяц 
1992:01 – 2000:05 
1996:01 – 2000:05 
DS 
NALOGDOKH 
месяц 
1992:01 – 2000:05 
1996:01 – 2000:05 
DS 
INFL 
месяц 
1991:01 – 2000:08 
1992:05 – 1998:07 
DS 
INTPROM 
месяц 
1990:12 – 2000:07 
1990:12 – 1998:08 
TS 
INTPROM 
месяц 
1990:12 – 2000:07 
1994:01 – 1998:08 
DS 
UNJOB 
месяц 
1994:01 – 2000:08 
1994:01 – 1998:04 
TS 
GDP 
квартал 
1994:2 – 2000:2 
1994:2 – 2000:2 
Результат не ясен 
RTS1 
день 
01/09/95 – 31/10/00  01/09/95 – 03/09/97  DS 
RTS1 
день 
01/09/95 – 31/10/00  05/11/97 – 08/04/98  TS 
RTS1 
день 
01/09/95 – 31/10/00  09/04/98 – 08/10/98  DS 
RTS1 
день 
01/09/95 – 31/10/00  09/10/98 – 31/10/00  DS 
RTS1 
день 
01/09/95 – 31/10/00  01/09/95 – 31/10/00  DS 
RUBKURS 
день 
01/07/92 – 01/11/00  01/07/92 – 26/08/94  DS 
RUBKURS 
день 
01/07/92 – 01/11/00  11/01/99-22/12/99 
Ясности нет 
RUBKURS 
день 
01/07/92 – 01/11/00  11/01/99-01/11/00 
TS 
RUBKURS 
день 
01/07/92 – 01/11/00  25/01/00-28/07/00 
DS 
Как  видно  из  приведенной  таблицы,  большинство  исследованных  ря-
дов  имеет  тип  DS,  т.е.  эти  ряды  являются  нестационарными  в  уровнях  и 
стационарными  в  разностях  и  не  относятся  к  классу  рядов,  стационарных 
относительно  детерминированного  тренда.  Только  лишь  ряды,  характери-
зующие  экспорт  и  безработицу,  могут  рассматриваться  на  исследованных 
периодах  времени  как  стационарные  относительно  детерминированного 
тренда. Ряд РТС-1  можно рассматривать как стационарный (относительно 

 
 
163 
тренда) в предкризисный период (05/11/97 – 08/04/98), но уже в кризисный 
период (09/04/98 – 08/10/98) он переходит в класс DS рядов. 
Практически все ряды имеют излом тренда, приходящийся на вторую 
половину 1998 г., что, по-видимому, связано с изменением условий эконо-
мического развития после августовского кризиса 1998 года. 
В  работе  отработана  методика  исследования  экономических  времен-
ных  рядов,  позволяющая  проводить  различение  между  TS  и  DS  рядами. 
Рассмотрена простейшая продукционная база знаний, которая может стать 
основой  для  последующей  разработки  экспертной  системы  анализа  вре-
менных  рядов.  Такая  экспертная  система  позволит  упростить  и  унифици-
ровать  анализ  временных  рядов  и  может  служить  основой  эконометриче-
ского анализа различных показателей экономической динамики. 
Развитие проведенного исследования по нашему мнению целесообраз-
но проводить в следующих направлениях. 
1.    Отбор  временных  рядов  для  последующего  эконометрического 
анализа на основе содержательных задач, решаемых в институте. 
2. Разработка на основе базы знаний, построенной в работе, информа-
ционно-советующей  экспертной  системы  эконометрического  анализа  вре-
менных рядов. 
3.  Разработка  методики  анализа  взаимосвязей  временных  рядов  для 
целей построения прогностических моделей. 
 

Приложения 
П1. Обзор процедур, используемых для различения 
TS 
и DS рядов 
П1.1. Критерий Дики

Фуллера и его обобщение  
П 1 . 1 . 1 .   К р и т е р и й   Д и к и - Ф у л л е р а  
Под  критерием  Дики-Фуллера  в  действительности  понимается  группа 
критериев, объединенных одной идеей,  предложенных и изученных в ра-
ботах [Dickey (1976)], [Fuller (1976)], [Dickey, Fuller (1979)], [Dickey, Fuller 
(1981)]. В критериях Дики-Фуллера проверяемой (нулевой) является гипо-
теза о том, что исследуемый ряд x
t
 принадлежит классу DS (DS-гипотеза); 
альтернативная  гипотеза  –  исследуемый  ряд  принадлежит  классу  TS  (TS-
гипотеза).  Критерий  Дики-Фуллера  фактически  предполагает,  что  наблю-
даемый  ряд  описывается  моделью  авторегрессии  первого  порядка  (воз-
можно, с поправкой на линейный тренд).  Критические значения зависят от 
того, какая статистическая модель оценивается и какая вероятностная мо-
дель в действительности порождает наблюдаемые значения. При этом рас-
сматриваются следующие три пары моделей (SM – статистическая модель, 
statistical model; DGP – модель порождения данных, data generating process). 
1) Если  ряд 
t
x
 
имеет детерминированный линейный тренд (наряду с 
которым может иметь место и стохастический тренд), то в такой ситуации 
берется пара 
SM: 
  
,
 
,
,
2
 
,
 
 
1
T
t
t
x
x
t
t
t












 
DGP: 
  
. 
,
,
2
  
,
T
t
x
t
t







 
В обоих случаях 

t
  –  независимые  случайные  величины,  имеющие  оди-
наковое нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием..  
Методом наименьших квадратов оцениваются параметры данной SM и 
вычисляется  значение  t-статистики  t

  для  проверки  гипотезы  H
0
  : 

  =  0. 
Полученное значение сравнивается с критическим уровнем t
crit
, рассчитан-
ным в предположении, что наблюдаемый ряд в действительности порожда-
ется данной моделью DGP (случайное блуждание со сносом). DS-гипотеза 

 
 
165 
отвергается, если t

  <  t
crit
. Критические уровни, соответствующие выбран-
ным  уровням  значимости,  можно  взять  из  таблиц,  приведенных  в  книгах 
[Fuller (1976)], [Fuller (1996)], если ряд наблюдается на интервалах длины  
T  =  25,  50,  100,  250,  500.  Если  количество  наблюдений  T  другое,  то  тогда 
можно  вычислить  приближенные  критические  значения  статистики  t
crit
, 
используя формулы, приведенные в работе [MacKinnon (1991)]. 
2)  Если  ряд  x
t
  не  имеет  детерминированного  тренда  (но  может  иметь 
стохастический  тренд)  и  имеет  ненулевое  математическое  ожидание,  то 
берется пара 
SM: 
  
,
,
,
2
      
,
  
 
 
1
T
t
x
x
t
t
t










  
DGP: 
  
. 
,
,
2
      
,
  
 
T
t
x
t
t





 
Методом наименьших квадратов оцениваются параметры данной SM и 
вычисляется  значение  t-статистики  t

  для  проверки  гипотезы  H
0
  : 

  =  0. 
Полученное значение  сравнивается с критическим уровнем t
crit
, рассчитан-
ным в предположении, что наблюдаемый ряд в действительности порожда-
ется  данной  моделью  DGP  (случайное  блуждание  без сноса). DS-гипотеза 
отвергается, если t

  <  t
crit
. Критические уровни, соответствующие выбран-
ным  уровням  значимости,  можно  взять  из  таблиц,  приведенных  в  книгах 
[Fuller (1976)], [Fuller (1996)], если ряд наблюдается на интервалах длины  
T  =  25,  50,  100,  250,  500.  Если  количество  наблюдений  T  другое,  то  тогда 
можно  вычислить  приближенные  критические  значения  статистики  t
crit
, 
используя формулы, приведенные в работе [MacKinnon (1991)]. 
3) Наконец, если ряд x
t
 не имеет
 
детерминированного тренда (но может 
иметь  стохастический  тренд)  и  имеет  нулевое  математическое  ожидание, 
то берется пара 
SM:   
  
,
 
,
,
2
      
,
  
 
 
1
T
t
x
x
t
t
t








 
DGP:     
  
. 
,
,
2
      
,
  
 
T
t
x
t
t





 
Методом наименьших квадратов оцениваются параметры данной SM и 
вычисляется  значение  t-статистики  t

  для  проверки  гипотезы  H
0
  : 

  =  0. 
Полученное значение  сравнивается с критическим уровнем t
crit
, рассчитан-
ным в предположении, что наблюдаемый ряд в действительности порожда-
ется  данной  моделью  DGP  (случайное  блуждание  без сноса). DS-гипотеза 
отвергается, если t

  <  t
crit
. Критические уровни, соответствующие выбран-
ным  уровням  значимости,  можно  взять  из  таблиц,  приведенных  в  книгах 
[Fuller (1976)], [Fuller (1996)], если ряд наблюдается на интервалах длины  
T  =  25,  50,  100,  250,  500.  Если  количество  наблюдений  T  другое,  то  тогда 

 
 
166 
можно  вычислить  приближенные  критические  значения  статистики  t
crit
, 
используя формулы, приведенные в работе [MacKinnon (1991)]. 
Неправильный  выбор  оцениваемой  статистической  модели  может  су-
щественно  отразиться  на  мощности  критерия  Дики-Фуллера.  Например, 
если  наблюдаемый  ряд  порождается  моделью  случайного  блуждания  со 
сносом,  а  статистические  выводы  делаются  по  результатам  оценивания 
статистической модели без включения в ее правую часть трендовой состав-
ляющей,  то  тогда  мощность  критерия,  основанная  на  статистике  t

,  стре-
мится к нулю с возрастанием количества наблюдений (см. [Perron (1988)]). 
С  другой  стороны,  оцениваемая  статистическая  модель  не  должна  быть  и 
избыточной,  поскольку  это  также  ведет  к  уменьшению  мощности  крите-
рия. 
Формализованная  процедура  использования  критериев  Дики-Фуллера 
с последовательной проверкой возможности редукции статистической мо-
дели  приведена  в  работе  [Dolado,  Jenkinson,  Sosvilla-Rivero  (1990)];  см. 
также [Enders (1995)].  
П 1 . 1 . 2 .   Р а с ш и р е н н ы й   к р и т е р и й   Д и к и - Ф у л л е р а .   В ы б о р  
к о л и ч е с т в а   з а п а з д ы в а ю щ и х   р а з н о с т е й  
Описанный  выше  критерий  Дики-Фуллера  фактически  предполагает, 
что наблюдаемый ряд описывается моделью авторегрессии первого поряд-
ка (возможно, с поправкой на линейный тренд). Если же наблюдаемый ряд 
описывается моделью более высокого (но конечного) порядка p и характе-
ристический многочлен имеет не более одного единичного корня, то тогда 
можно  воспользоваться  расширенным  (augmented)  критерием  Дики-
Фуллера. В каждой из трех рассмотренных выше ситуаций достаточно до-
полнить  правые  части  оцениваемых  статистических  моделей  запаздываю-
щими разностями 

x
t

j
, t = 2,…, p 

 1, так что, например, в первой ситуации 
теперь оценивается расширенная статистическая модель 
SM: 
  
. 
,
,
1
      
,
  
 
 
 
1
1
1
T
p
t
x
t
x
x
t
p
j
j
t
j
t
t




















 
Полученные  при  оценивании  расширенных  статистических  моделей 
значения t-статистик t

    для  проверки  гипотезы  H
0
  : 

  = 0  сравниваются  с 
теми же критическими значениями t
crit
, что и для рассмотренных выше (не-
расширенных) моделей. DS-гипотеза отвергается, если     t

 < t
crit
. 
Заметим, что расширенный критерий Дики-Фуллера может применять-
ся  и  тогда,  когда  ряд  x
t 
описывается  смешанной  моделью  авторегрессии-

 
 
167 
скользящего  среднего.  Как  было  указано  в  работе  [Said,  Dickey  (1984)], 
если ряд наблюдений x
1
,…, x
T
 порождается моделью ARIMA(p, 1, q) c q > 
0, то его можно аппроксимировать моделью ARI(p
*
, 1) = ARIMA(p
*
, 1, 0) с 
p
*
< T 
1/3
  и применять процедуру Дики-Фуллера к этой модели. 
Однако даже если ряд наблюдений x
1
,…, x
T
 действительно порождается 
моделью авторегрессии AR(p) конечного порядка  p, то значение  p обычно 
не известно и его приходится оценивать на основании имеющихся наблю-
дений, а такое предварительное оценивание влияет на характеристики кри-
терия. Поэтому при анализе данных приходится сначала выбирать значение  
p=p
max
  достаточно  большим,  так,  чтобы  оно  было  не  меньше  истинного 
порядка  p
0
  авторегрессионной  модели,  описывающей  ряд,  или  порядка  р
*
 
аппроксимирующей авторегрессионной модели, а затем пытаться понизить 
используемое значение р, апеллируя к наблюдениям.  
Такое  понижение  может  осуществляться,  например,  путем последова-
тельной  редукции  расширенной  модели  за  счет  исключения  из  нее  незна-
чимых (на 10% уровне) запаздывающих разностей (GS-стратегия перехода 
от общего к частному) или путем сравнения (оцененных) полной и редуци-
рованных моделей с различными р 

  p
max
  по  информационному  критерию 
Шварца  (SIC).  В  работах  [Hall  (1994)]  и  [Ng,  Perron  (1995)]  показано,  что 
если  p
max 

  p
0
,  то  тогда  в  пределе  (при  Т 

 

)  SIC  выбирает  правильный 
порядок модели, а стратегия GS выбирает модель с  р 

  р
0
; при этом факт 
определения  порядка  модели  на  основании  имеющихся  данных  не  влияет 
на асимптотическое распределение статистики Дики-Фуллера.  
При  практической  реализации  указанных  двух  подходов,  когда  мы 
имеем лишь ограниченное количество наблюдений, эти две процедуры мо-
гут  приводить к совершенно различным выводам относительно необходи-
мого  количества  запаздываний  в  правой  части  статистической  модели, 
оцениваемой  в  рамках  расширенного  критерия  Дики-Фуллера.  Так,  при 
анализе динамики валового внутреннего продукта (GDP) США по годовым 
данным на периоде с 1870 по 1994 гг. [Murray, Nelson (2000)], выбрав p
max 
= 
8, получили при использовании GS-стратегии значение р = 6, тогда как по 
SIC  было  выбрано  значение  р  =  1.  В  подобных  конфликтных  ситуациях 
можно  для  контроля  ориентироваться  также  на  достижение  некоррелиро-
ванности  по  LM-критерию  остатков  от  оцененной  модели  (см.  [Holden, 
Perman  (1994)]).  Заметим,  однако,  что  в  недавней  статье  [Taylor  (2000)] 
автор  приходит  в  выводам,  отличающимся  от  выводов  Ng  и  Perron:  при 
конечных выборках расширенные критерии Дики-Фуллера очень чувстви-
тельны  и  к  форме  детерминистских  переменных  и  к  принятой  структуре 

 
 
168 
запаздываний. Последняя, однако, недооценивается и GS-стратегией и SC-
критерием.  Это,  в  свою  очередь,  ведет  к  отклонениям  от  номинальных 
уровней значимости критериев Дики-Фуллера.  
П1.2. Критерий Филлипса-Перрона 
Этот критерий, предложенный в работе [Phillips, Perron (1988)], сводит 
проверку гипотезы о принадлежности ряда x
t
 классу DS к проверке гипоте-
зы H
0
 : 

 = 0 в рамках статистической модели 
SM:     
  
,
 
,
,
2
      
,
  
 
 
1
T
t
u
t
x
x
t
t
t











 
где,  как  и  в  критерии  Дики-Фуллера,  параметры 

  и 

  могут  быть  взяты 
равными  нулю.  Однако,  в  отличие  от  критерия  Дики-Фуллера,  случайные 
составляющие  u
t
  с  нулевыми  математическими  ожиданиями  могут  быть 
автокоррелированными (с достаточно быстрым убыванием автокорреляци-
онной  функции),  иметь  различные  дисперсии  (гетероскедастичность)  и  не 
обязательно  нормальные  распределения  (но  такие,  что 



C
u
E
t

  для 
некоторого 

 > 2). Тем самым, в отличие от критерия Дики-Фуллера, к рас-
смотрению допускается более широкий класс временных рядов. 
Критерий  Филлипса-Перрона  основывается  на  t-статистике  для  про-
верки гипотезы H
0 
:   

 = 0 в рамках указанной статистической модели, но 
использует вариант этой статистики Z
t
, скорректированный на возможную 
автокоррелированность  и  гетероскедастичность  ряда  u
t
.  При  вычислении 
статистики  Z
t
  приходится  оценивать  так  называемую  “долговременную” 
(“long-run”) дисперсию ряда u
t
, которая определяется как 


.
...
lim
2
1
1
T
2
 
T
u
u
E
T







 
Если 

t
u
  –  остатки  от  оцененной  (методом  наименьших  квадратов) 
статистической  модели 
  
,
 
,
,
2
      
,
  
 
 
1
T
t
u
t
x
x
t
t
t











то  в  каче-
стве оценки 
 

2
 

 для 

2
 можно взять оценку [Newey, West (1987)] 
 
,
 
 
 
1
1
2
 
 
1
0
2













j
l
j
l
j



 
где 









j
t
l
j
t
t
j
u
u
T
1
1
 
 
 

 

 
 
169 
j-я выборочная автоковариация ряда u
t
. Если и l и T стремятся к бесконеч-
ности, но так, что 
 
0
/
4
/
1

T
l
, то тогда 
 

2
 

 – состоятельная оценка для 

2
  (см.  [Phillips  (1987)])  и  асимптотические  распределения  статистики  Z
t
 
совпадают  с  соответствующими  асимптотическими  распределениями  ста-
тистики  t

  в  критерии  Дики-Фуллера.  Поскольку  реально  мы  имеем  лишь 
конечное  количество  наблюдений,  встает  вопрос  о  выборе  количества  ис-
пользуемых лагов l в оценке Newey-West (параметр l называют “шириной 
окна”  –  window  size).  Этот  вопрос  достаточно  важен,  т.к.  недостаточная 
ширина  окна  ведет  к  отклонениям  от  номинального  размера  критерия 
(уровня значимости). В то же время увеличение ширины окна для избежа-
ния отклонений от номинального размера критерия ведет к падению мощ-
ности критерия. Таким образом, выбор какой-то конкретной ширины окна 
является компромиссом между двумя этими противоположными тенденци-
ями. 
Целый ряд исследований в этом направлении (сюда относятся, напри-
мер, работы [Phillips, Perron (1988)], [Schwert (1989)]) не привел к какому-
либо  простому  правилу  выбора  значения  l.  В  этом  отношении  особняком 
стоит  работа  [Andrews  (1991)],  в  которой  при  построении  оценки 

2
  ис-
пользуются все T 

 1 оцененные автоковариации, но умножается 
 
 
 

j

 не 
на 







1
l
j
k
,  где 








,
 
случае
  
противном
 
в
       
0
  
1
z
   
для
    
1
)
(
l
l
z
z
k
  а  на 







1
l
j
k
,  
где 


2
5
/
 
6
3
)
(
z
z
k


. 
Однако и в этом случае остается задача подходящего выбора парамет-
ра  l.  
Часто при выборе этого параметра пользуются все же рекомендациями 
[Schwert (1989)], полагая l = [K

(T/100)
1/4
], где [a] – целая часть числа a, а 
значение K полагается равным 4 для квартальных и равным 12 для месяч-
ных данных. Другое правило выбора значения l  реализованное, в частно-
сти,  в  пакете  программ  статистического  анализа  EVIEWS  (Econometric 
Views), состоит в выборе значения l = [4

(T/100)
2/9
] ([Newey, West (1994)]). 
Некоторые авторы рекомендуют не опираться только лишь на длину ряда, 
а учитывать при выборе  l  количество значимых автокорреляций ряда. 

 
 
170 
Критические  значения  для  статистики  Z
t
  берутся  из  тех  же  таблиц 
[Fuller (1976)] или вычисляются по формулам [МacKinnon (1991)]. 
Заметим также, что если ряд x
t
  представляется  моделью  IMA(1,  q),  то 
тогда это значение  q и следует использовать в качестве параметра l в оцен-
ке Newey-West. Если при этом q = 1, так что 
1
1
 
 




t
t
t
b
x


, то при b
1
 > 0 
критерий  Филлипса-Перрона  имеет  более  высокую  мощность,  чем  крите-
рий  Дики-Фуллера,  при  одновременном  уменьшении вероятности ошибки 
первого рода. В то же время, при b
1
 < 0 высокая мощность критерия Фил-
липса-Перрона  достигается  за  счет  значительного  возрастания  ошибки 
первого рода, так что этот критерий не рекомендуется применять при b
1
 < 0 
(он будет слишком часто ошибочно отвергать гипотезу о принадлежности 
ряда классу DS). 
П1.3. Критерий Лейбурна 
В  работе  [Leybourne  (1995)]  предлагается  вычислять  значения  стати-
стики критерия Дики-Фуллера DF для исходного ряда x
t
 и для ряда, полу-
чаемого из исходного обращением времени, и затем взять максимум DF
max
 
из двух полученных значений. Лейбурн изучил асимптотическое распреде-
ление статистики DF
max
 и построил таблицы критических значений при T = 
25, 50, 100, 200, 400  для моделей с (линейным) трендом и без тренда. Таб-
лицы получены моделированием в предположении независимости и одина-
ковой  распределенности  ошибок  (инноваций).  Однако  автор  утверждает, 
что ими можно пользоваться и в рамках расширенного варианта критерия 
Дики-Фуллера.  Критерий  Лейбурна  обладает  несколько  большей  мощно-
стью по сравнению с критерием Дики-Фуллера. 
П1.4. Критерий Шмидта-Филлипса.  
В работе [Schmidt, Phillips (1992)] авторы строят критерий для провер-
ки гипотезы DS (в форме гипотезы единичного корня) в рамках модели 
t
t
w
t
x



 
 


, 
где   
t
t
t
w
w
 
 
1





 ,  
T
t
,...,
2

. 
Это удобно тем, что здесь в любом случае (

 = 1 или 

 

 1) параметр 

 
представляет уровень, а параметр 

  представляет  тренд.  При этом  распре-
деления статистик критерия и при нулевой (DS) и при альтернативной (TS) 
гипотезах  не  зависят  от  мешающих  параметров   

, 

  и 


.  Асимптотиче-
ские  распределения  выводятся  при  тех  же  условиях, что в критерии Фил-

 
 
171 
липса-Перрона и при ширине окна l порядка T
1/2
. Вместо линейного тренда 
в модели можно использовать и полиномиальный тренд. 
П1.5. Критерий DF-GLS.    
Этот  критерий,  асимптотически  более  мощный,  чем  критерий  Дики-
Фуллера, был предложен в работе [Elliott, Rothenberg, Stock (1996)]. Крите-
рий DF-GLS проверяет (см. [Maddala, Kim (1998)]) нулевую гипотезу  a
0
=0 
в модели 

y
d
t
= a
0
 y
d
t-1
+a
1

y
d
t-1
+

+ a
p

y
d
t-p
+error, 
где  y
d
t 
 - “локально детрендированный” ряд (подробности см. в цитирован-
ной работе). 
П1.6. Критерий Квятковского-Филлипса-Шмидта-Шина (KPSS) 
Этот критерий, предложенный в работе [Kwiatkowski, Phillips, Schmidt, 
Shin (1992)], в качестве нулевой берет гипотезу TS. Рассмотрение ведется в 
рамках модели 
Ряд  =  Детерминированный  тренд  +  Стохастический  тренд  +  Стацио-
нарная ошибка. 
Стохастический  тренд  представляется  случайным  блужданием,  и  ну-
левая гипотеза предполагает, что дисперсия инноваций, порождающих это 
случайное блуждание, равна нулю. Альтернативная гипотеза соответствует 
предположению о том, что эта дисперсия отлична от нуля, так что анализи-
руемый ряд принадлежит классу DS рядов. В такой формулировке предло-
женный  критерий  является  LM  критерием  для  проверки  указанной    нуле-
вой гипотезы. 
Как и в критерии Филлипса-Перрона, требования на ошибки здесь ме-
нее  строгие,  чем  в  критерии  Дики-Фуллера.  Однако  при применении дан-
ного критерия возникает проблема выбора ширины окна l в оценке Newey-
West, поскольку значения статистики критерия довольно чувствительны к 
значению  l.  Сами  авторы  в  цитируемой  статье  рассматривают  варианты 
выбора  ширины  окна,  следующие  рекомендациям  Шверта  (см.  [Schwert 
(1989)]). 

 
 
172 
П1.7. Критерий Перрона и его обобщение 
П 1 . 7 . 1 .   К р и т е р и й   П е р р о н а  
Предложенная  в  работе  [Perron  (1989a)]  процедура  проверки  нулевой 
гипотезы  о  принадлежности  ряда  классу  DS  обобщает  процедуру  Дики-
Фуллера на ситуации, когда на периоде наблюдений имеются структурные 
изменения  модели  в  некоторый  момент  времени  T
B
  либо  в  форме  сдвига 
уровня, либо в форме изменения наклона тренда, либо в форме сочетания 
этих  двух  изменений.  Важность  такого  обобщения  связана  с  тем  обстоя-
тельством,  что  если  DS-критерий  не  допускает  возможности  изменения 
структуры  модели,  тогда  как  такое  изменение  в  действительности  имеет 
место, то он имеет очень низкую мощность, т.е. практически всегда не от-
вергает DS-гипотезу (см., например, [Engle, Granger (1991)]). 
В критерии Перрона момент изменения структуры предполагается эк-
зогенным,  в  том  смысле,  что  он  выбирается  не  на  основании  визуального 
исследования  графика  ряда,  а  связывается  с  моментом  известного  мас-
штабного изменения экономической обстановки, существенного отражаю-
щегося на поведении рассматриваемого ряда. 
Трем указанным выше формам изменения структуры модели соответ-
ствуют три варианта регрессионных моделей, которые строятся путем вби-
рания в себя моделей, соответствующих нулевой и альтернативной гипоте-
зам (в правые части могут входить запаздывающие разности). 
A. Модель “краха” 
t
t
t
t
t
x
DTB
d
t
DMU
c
x
 
 
 
 
 
1











 
B. Модель “изменения роста” 
t
t
t
t
t
x
DTS
t
DMU
c
x
 
 
 
 
 
1












 
C. Модель, допускающая наличие обоих эффектов 
t
t
t
t
t
t
x
dDTB
DT
t
DMU
c
x
 
 
 
 
 
1













 
Здесь 
c 

 постоянная, 






   
случае
 
противном
 
в
    
0
1
   
для
    
1
B
t
T
t
DTB
; 
в модели A 






   
   
для
    
0
   
для
    
1
B
B
t
T
t
T
t
DMU
; 

 
 
173 
в модели B 







   
   
для
        
0
    
   
для
   
B
B
B
t
T
t
T
t
T
t
DTS
; 
в модели C 
.
  
   
для
      
  
,
 
1
,
  
   
для
 
          
0
B
t
t
B
t
t
T
t
t
DT
DMU
T
t
DT
DMU






 
Критические  значения  для  t-статистики  критерия  и  остальных  пара-
метров зависят от значения отношения T
B 
/T. 
Нулевые  гипотезы  единичного  корня  накладывают  следующие  огра-
ничения на истинные параметры моделей: 
Модель A. 
 
0
  
,
 
0
,
1
 




d



 
Модель B. 
0
  
,
 
0
,
1
 








 
Модель C. 
0
0
0
,
1







 , 
 ,  d
β
α 
 
Альтернативные  гипотезы  накладывают  следующие  ограничения  на 
истинные параметры моделей 
Модель A. 
 
0
  
,
 
0
 
,
 
0
 
,
1
 




d



 
Модель B. 
 
0
  
,
 
0
 
,
 
0
 
,
1
 








 
Модель C. 
.
0
,
0
  
,
 
0
 
,
 
0
 
,
1
 









d
 
В  такой  формулировке  нулевая  и  альтернативная  гипотезы  являются 
гнездовыми гипотезами. 
Асимптотические критические значения t-статистики критерия Перро-
на  зависят  от  типа  структурных  изменений,  параметра 

=T
B
/T  и  от  того, 
какая из моделей постулируется – модель с аддитивным выбросом (AO), в 
которой структурное изменение происходит внезапно, или модель с инно-
вационным выбросом (IO),  в которой структурное изменение происходит 
постепенно.  Приведенные  в  работе  [Perron  (1989a)]  таблицы  критических 
значений соответствуют моделям с инновационным выбросом. Как посту-
пать  в  случае  моделей  с  аддитивными  выбросами,  сообщается  в  работе 
[Perron, Vogelsang (1993)]. 

 
 
174 
П 1 . 7 . 2 .   О б о б щ е н н а я   п р о ц е д у р а   П е р р о н а   с   э н д о г е н н ы м  
в ы б о р о м   м о м е н т а   и з л о м а   т р е н д а .  
Здесь мы используем процедуру, описанную в работе [Perron (1997)], в 
которой выбор момента излома T
B
 эндогенным образом, т.е. только на ос-
нове  анализа  имеющейся  реализации  ряда,  безотносительно  к  какой-либо 
внешней информации о возможном моменте излома. При этом рассматри-
ваются  модели  IO1  –  с  инновационным  выбросом  с  изменением  постоян-
ной,  IO2  –  с  инновационным  выбросом,  изменяющим  и  постоянную  и 
наклон тренда, AO – с аддитивным выбросом, изменяющим только наклон 
тренда. 
Предусмотрены три метода оптимального выбора даты излома: 
UR – по минимуму  t-статистики критерия для проверки гипотезы 

 = 1; 
STUDABS  –  по  максимуму  абсолютной  величины  t-статистики  крите-
рия для проверки гипотезы о равенстве нулю коэффициента при перемен-
ной, отвечающей за изменение константы (в модели IO1) или за изменение 
наклона тренда (в модели IO2); 
STUD 

 по минимуму t-статистики критерия для проверки гипотезы о 
равенстве нулю коэффициента при переменной, отвечающей за изменение 
константы (в модели IO1) или за изменение наклона тренда (в модели IO2); 
При  практической  реализации  критерия  обычно  несколько  ограничи-
вают  интервал  возможных  дат  излома,  чтобы  исключить слишком ранние 
или слишком поздние даты излома. 
П1.8. Процедура Кохрейна (отношение дисперсий) 
Эта процедура, предложенная в работе [Cochraine (1998)], основывает-
ся на изучении характера поведения отношений 
2
1
2
 
 
)
(


k
k
VR

 
(VR – variance ratio),  где  


k
x
x
Var
k
t
t
k
/
 
2




 . 
Если x
t
 

 случайное блуждание, то тогда 
1
)
(

k
VR
, а если x
t
 

 процесс, 
стационарный относительно линейного тренда (или просто стационарный), 
то тогда 
0
)
(

k
VR
 при k 

 

. 
При  работе  с  реальными  данными  дисперсии  заменяются  их  состоя-
тельными оценками, и полученное отношение умножается еще на T / (T 

 k 

 
 
175 
+  1)  для  достижения  несмещенности    полученной  оценки  для 
k
VR)
(
. За-
тем строится график значений полученных оценок для 
k
VR)
(
 при различ-
ных k = 1,…, K и по поведению этого графика делаются выводы о принад-
лежности ряда классу TS или DS, имея в виду различия в поведении этого 
графика для этих двух классов временных рядов. 
Другой  вариант  работы  с  реальными  данными  состоит  в  использова-
нии равносильного представления статистики отношения дисперсий 
k
VR)
(
: 
j
k
j
k
r
k
j
VR
 
1
1
2
1
)
(
1












, 
где  r
j
 

  значение  автокорреляционной  функции  ряда  разностей 
1




t
t
t
x
x
x
. 
П1.9. Коррекция сезонности 
В  рассмотренных  выше  процедурах  никак  не  затрагивался  вопрос  о 
коррекции  сезонного  поведения  ряда,  не  снимаемого  ни  введением  в  мо-
дель  линейного  тренда  ни  путем  дифференцирования  ряда.  Разумеется, 
данные, поступающие в распоряжение исследователя, уже могли быть под-
вергнуты  сезонной  коррекции  соответствующими  статистическими 
агентствами. Более того, во многих странах сырые (не скорректированные 
на  сезонность)  данные  просто  недоступны.  В  то  же  время,  при  анализе 
данных,  подвергшихся  сезонному  сглаживанию  с  использованием  филь-
тров  или  с  использованием  специфических  методик  правительственных 
агентств, существенно больше шансов классифицировать исследуемый ряд 
как  DS  (см.,  например,  [Ghysels,  Perron  (1993)]),  чем  при  анализе  сырых 
данных. Поэтому некоторые  авторы рекомендуют по возможности вообще 
избегать 
использования 
сезонно-сглаженных 
данных 
([Davidson, 
MacKinnon (1993)]). Более предпочтительным является использование сы-
рых  данных  и  устранение  из  них  сезонности  путем  оценивания регрессии 
сырого ряда на сезонные фиктивные (dummy) переменные D1,…, D12 (если 
данные  месячные)  или  D1,…,  D4  (если  данные  квартальные).  Остатки  от 
оцененной регрессии образуют очищенный ряд, к которому можно приме-
нять изложенные выше методы. Теоретическое оправдание такого подхода 
при применении критерия Дики-Фуллера дано в работе [Dickey, Bell, Miller 
(1986)], где показано, что асимптотическое распределение статистики t

 не 
изменяется при исключении из ряда детерминированных сезонных компо-
нент. 

 
 
176 
П1.10. Процедура Дики-Пантулы 
Для ситуаций, когда предполагаемая модель авторегрессии для анали-
зируемого  ряда  может  иметь  порядок  р  выше  первого,  в  работе  [Dickey, 
Pantula (1987)] предложена процедура последовательной проверки гипотез 
о  количестве  единичных  корней  характеристического  уравнения,  постро-
енная по принципу “от общего к частному”. Сначала проверяется гипотеза 
о  том,  что  все  р  корней  характеристического  многочлена  единичные;  при 
ее отвержении проверяется гипотеза о наличии  р – 1 единичных корней и 
т.д. 
П1.11. Протяженность ряда и мощность критерия.  
Следует  иметь  в  виду,  что  мощность  критериев  единичного корня за-
висит, в первую очередь, от фактической протяженности ряда во времени, 
а  не  от  частоты,  с  которой  производятся  наблюдения.  Соответственно, 
имея значения ряда за десятилетний период, мы не получаем выигрыша в 
мощности,  анализируя  месячные  данные,  а  не  квартальные  или  годовые. 
Результаты  исследований  в  этом  направлении  можно  найти,  например,  в 
статьях [Shiller, Perron (1985)] и [Perron (1989b)].