Переходного периода

Аналитические  методы  выделения  (оценки)  неслучайной  состав-
ляющей  временного  ряда.  Эти  методы  реализуются  в  рамках  моделей 
регрессии, в которых в роли зависимой переменной выступает переменная 
x
t
, а в роли единственной объясняющей переменной 

 время t. Таким обра-
зом, рассматривается модель регрессии вида 
x
t
 = f(t, 

) + 

t
, t = 1,…, T, 
в которой общий вид функции f(t, 

) известен, но неизвестны значения па-
раметров 

  = (

0
, 

1
,…, 

m
). Оценки  параметров 

~
 строятся по наблюде-
ниям 
 
T
t
t
x
t
1
,

. Выбор метода оценивания зависит от гипотетического вида 

 
 
184 
функции f(t, 

) и стохастической природы случайных регрессионных остат-
ков 

t
. 
Алгоритмические  методы  выделения  неслучайной  составляющей 
временного ряда (методы скользящего среднего). В основе этих методов  
элиминирования случайных флуктуаций в поведении анализируемого вре-
менного ряда лежит простая идея: если «индивидуальный» разброс значе-
ний члена временного ряда  x
t
  около  своего  среднего  (сглаженного)  значе-
ния  a  характеризуется  дисперсией 

2
,  то  разброс  среднего  из  N  членов 
временного ряда (x
1
 + x
2
 +…+ x
T
) / N около того же значения a будет харак-
теризоваться гораздо меньшей величиной дисперсии, а именно дисперсией, 
равной 

2
  /  N.  А  уменьшение  меры  случайного  разброса  (дисперсии)  и 
означает  как  раз  сглаживание  соответствующей  траектории.  Поэтому  вы-
бирают некоторую нечетную «длину усреднения» N = 2m + 1, измеренную 
в  числе подряд идущих членов анализируемого временного ряда. А  затем 
сглаженное  значение 
 
t
fˆ
    временного  ряда  x
t
  вычисляют  по  значениям 
x
t

m
, x
t

m+1
,…, x
t
, x
t+1
,…, x
t+m
 по формуле 
 
,
,...,
2
,
1
,
ˆ
m
T
m
m
t
x
w
t
f
m
m
k
k
t
k









 
(П2.9) 
где w
k
 (k = 

m, 

m + 1,…, m) 

 некоторые положительные «весовые» коэф-
фициенты,  в  сумме  равные  единице,  т.е.  w
k
  >  0  и 
1




m
m
k
k
w
.  Поскольку, 
изменяя t от m + 1 до T 

  m,  мы  как  бы  «скользим»  по  оси  времени,  то  и 
методы, основанные на формуле (П2.9), принято называть методами сколь-
зящей средней (МСС). 
Очевидно,  один  МСС  отличается  от  другого  выбором  параметров  m  и 
w
k
. 
Определение параметров w
k
 основано на следующей процедуре. В со-
ответствии  с  теоремой  Вейерштрасса  любая  гладкая  функция  f(x)  при  са-
мых  общих  допущениях  может  быть  локально  представлена  алгебраиче-
ским  полиномом  подходящей  степени  p.  Поэтому  берем  первые  2m  +  1 
членов  временного  ряда  x
1
,…,  x
2m+1
,  строим  с  помощью  МНК  полином 
 
t
x
1
ˆ
  степени  p,  аппроксимирующий  поведение этой начальной  части тра-
ектории  временного  ряда,  и  используем  этот  полином  для  определения 
оценки 
 
t
fˆ
 сглаженного значения f(t) временного ряда в средней (т.е. (m + 
1)-й)  точке  этого  отрезка  ряда,  т.е.  полагаем 




1
ˆ m
f
 


1
ˆ
1


m
x
.  Затем 

 
 
185 
«скользим» по оси времени на один такт и таким же способом подбираем 
полином 
 
t
x
2
ˆ
  той  же  степени  p  к  отрезку  временного  ряда  x
2
,…,  x
m+2
  и 
определяем оценку сглаженного значения временного ряда в средней точке 
сдвинутого на единицу отрезка временного ряда, т.е. 




2
ˆ
2
ˆ
2



m
x
m
f
, и 
т.д. 
 
В результате мы найдем оценки для сглаженных значений 
 
t
fˆ
 анали-
зируемого временного ряда при всех t, кроме t = 1,…, m и t = T,… T 

 m + 1. 
Подбор  наилучшего  (в  смысле  критерия  МНК)  аппроксимирующего 
полинома к траектории анализируемого временного ряда приводит к фор-
муле вида (П2.9), причем результат не зависит от того, для какого именно 
из «скользящих» временных интервалов был осуществлен этот подбор. 
Метод  экспоненциально  взвешенного  скользящего  среднего  (ме-
тод Брауна [Brown (1963)]). В соответствии с этим методом оценка сгла-
женного значения 
 
t
fˆ
 в точке t определяется как решение оптимизацион-
ной задачи вида  
 


,
min
1
0
2
f
t
k
k
t
k
f
x
f
Q








 
(П2.10) 
где 0 < 

 < 1. Следовательно, веса 

k
 в критерии Q(f) обобщенного («взве-
шенного») МНК уменьшаются экспоненциально по мере удаления наблю-
дений x
t

k
 в прошлое. 
Решение оптимизационной задачи (П2.10) дает: 
 
.
1
1
ˆ
1
0







t
k
k
t
k
t
x
t
f



 
(П2.11) 
В отличие от обычного МСС здесь скользит только правый конец ин-
тервала усреднения и, кроме того, веса экспоненциально уменьшаются по 
мере удаления в прошлое. Формула (П2.11) дает оценку сглаженного зна-
чения временного ряда не в средней, а в правой конечной точке интервала 
усреднения. 
П 2 . 2 . 3 .   П о д б о р   п о р я д к а   а п п р о к с и м и р у ю щ е г о   п о л и н о м а  
с   п о м о щ ь ю   м е т о д а   п о с л е д о в а т е л ь н ы х   р а з н о с т е й  
Реализация алгоритмических методов выделения неслучайной состав-
ляющей  временного  ряда  связана  с  необходимостью  подбора  порядка  p 
локально-аппроксимирующего  полинома.  Эта  же  задача  возникает  и  при 

 
 
186 
реализации аналитических методов выделения неслучайной составляющей. 
При решении этой задачи широко используется так называемый метод по-
следовательных  разностей  членов  анализируемого  временного  ряда,  кото-
рый  основан  на  следующем  математическом  факте:  если  анализируемый 
временной  ряд  x
t
  содержит  в  качестве  своей  неслучайной  составляющей 
алгебраический полином f(t) = 

0
 + 

1
t + 

p
t
p
 порядка p, то переход к после-
довательным  разностям  порядка  p  +  1,  исключает  неслучайную  составля-
ющую,  оставляя  элементы,  выражающиеся  только  через  остаточную  слу-
чайную компоненту 

t
. 
Обсудим способ подбора порядка p полинома, представляющего собой 
неслучайную составляющую f(t) в разложении анализируемого временного 
ряда  x
t
.  Заметим,  прежде  всего,  что  если  мы  знаем,  что  среднее  значение 
наблюдаемой случайной величины 

 равно нулю (E

 = 0), то выборочным 
аналогом ее дисперсии является величина 
 



T
i
i
T
T
1
2
ˆ


, где 

I
, i = 1, 2,…, 
T 

  наблюденные  значения  этой  случайной  величины.  Если  же  E

 

  0,  то 
выборочным  аналогом  дисперсии  будет  статистика 
2
1
1
2











T
i
i
T
i
i
T
T


,  так 
что  величина 
 
T

ˆ
  будет  давать  в  этом  случае  существенно  завышенные 
оценки  для  D

.  Возвращаясь  к  последовательному  переходу  к  разностям 

k
x
t
,  k  =  1,  2,…,  p  +  1,  отметим,  что  при  всех  k  <  p  +  1  средние  значения 
этих разностей будут отличны от нуля, так как будут выражаться не только 
через остатки 

t
, но и через коэффициенты 

0
, 

1
,…, 

p
 и степени t. И только 
для k 

 p + 1 можно утверждать, что: 
E(

k
x
t
) = 0 и 
 


1
1
2
2




p
p
t
k
C
x
D

.
 
С учетом этих замечаний можно сформулировать следующее правило 
подбора порядка сглаживающего полинома p, называемое методом после-
довательных разностей. 
Последовательно для k = 1, 2,… вычисляем разности 

k
x
t
 (t = 1,…, T 

 
k), а также величины 
 
 
.
ˆ
2
`
2
1
2
k
k
k
T
t
t
k
k
T
C
x
k







 
(П2.12) 

 
 
187 
Анализируем  поведение  величины 
 
k
2
ˆ

  в  зависимости  от  k.  Величина 
 
k
2
ˆ

  как  функция  k  будет  демонстрировать  явную  тенденцию  к  убыва-
нию до тех пор, пока k не достигнет величины p + 1. Начиная с этого мо-
мента  величина  (П2.12)  стабилизируется,  оставаясь  (при  дальнейшем  уве-
личении  p)  приблизительно  на  одном  уровне.  Поэтому  значение  k  =  k
0
, 
начиная с которого величина 
 
k
2
ˆ

 стабилизируется, и будет давать завы-
шенный на единицу искомый порядок сглаживающего полинома, т.е. p = k
0
 

 1. 
Этот метод привлекателен своей простотой, но его практическое при-
менение требует определенной осторожности. Последовательные значения 
 
k
2
ˆ

  не  являются  независимыми,  и  часто  обнаруживается  тенденция  их 
медленного  убывания  (а  иногда  возрастания)  без  видимой  сходимости  к 
постоянному  значению.  Кроме  того,  процесс  перехода  к  разностям  имеет 
тенденцию  уменьшать  относительное  значение  любого  систематического 
движения,  кроме  сезонных  эффектов  с  периодом,  близким  к  временному 
интервалу,  так  что  сходимость  отношения 
 
k
2
ˆ

  не  доказывает,  что  ряд 
первоначально состоял из полинома плюс случайный остаток, а только то, 
что  он  может  быть  приближенно  представлен  таким  образом. Однако для 
нас этот метод ценен лишь тем, что он дает верхний предел порядка поли-
нома  p,  который  целесообразно  использовать  для  элиминирования  неслу-
чайной составляющей. 
П2.3. Модели стационарных временных рядов и их идентификация 
В  П2.2  рассматривался  класс  стационарных  временных  рядов,  в  рам-
ках которого подбирается модель, пригодная для описания поведения слу-
чайных остатков исследуемого временного ряда (1.1.1). Здесь рассматрива-
ется  набор  линейных  параметрических  моделей  из  этого  класса  и  методы 
их  идентификации.  Таким  образом,  речь  здесь  идет  не  о  моделировании 
временных рядов, а о  моделировании их случайных остатков 

t
, получаю-
щихся  после  элиминирования  из  исходного  временного  ряда  x
t
  его  неслу-
чайной составляющей (П2.8). Следовательно, в отличие от прогноза, осно-
ванного  на  регрессионной  модели,  игнорирующего  значения  случайных 
остатков,  в  прогнозе  временных  рядов  существенно  используется  взаимо-
зависимость и прогноз самих случайных остатков. 
Введем обозначения. Так как здесь описывается поведение случайных 
остатков, то моделируемый временной ряд обозначим 

t
, и будем полагать, 

 
 
188 
что при всех t его математическое ожидание равно нулю, т.е. E

t
, 

 0. Вре-
менные последовательности, образующие «белый шум», обозначим 

t
. 
Описание и анализ, рассматриваемых ниже моделей, формулируется в 
терминах  общего  линейного  процесса,  представимого  в  виде  взвешенной 
суммы настоящего и прошлых значений белого шума, а именно: 
,
0





k
k
t
k
t



 
(П2.13) 
где 

0
 = 1 и 





0
2
k
k

. 
Таким  образом,  белый  шум  представляет  собой  серию  импульсов,  в 
широком классе реальных ситуаций генерирующих случайные остатки ис-
следуемого временного ряда. 
Временной  ряд 

t
  можно  представить  в  эквивалентном  (П2.13)  виде, 
при котором он получается в виде классической линейной модели множе-
ственной  регрессии,  в  которой  в  качестве  объясняющих  переменных  вы-
ступают его собственные значения во все прошлые моменты времени: 
.
1
t
k
k
t
k
t










 
(П2.14) 
При  этом  весовые  коэффициенты 

1
, 

2
,…  связаны  определенными 
условиями, обеспечивающими стационарность ряда 

t
. Переход от (П2.14) 
к  (П2.13)  осуществляется  с  помощью  последовательной  подстановки  в 
правую часть (П2.14) вместо 

t

1
, 

t

2
,… их выражений, вычисленных в со-
ответствии с (П2.14) для моментов времени t 

 1, t 

 2 и т.д. 
Рассмотрим также процесс смешанного типа, в котором присутствуют 
как авторегрессионные члены самого процесса, так и скользящее суммиро-
вание элементов белого шума: 
.
1
1









q
j
j
t
j
t
p
k
k
t
k
t






 
Будем подразумевать, что p и q могут принимать и бесконечные значения, 
а также то, что в частных случаях некоторые (или даже все) коэффициенты 

 или 

 равны нулю. 
П 2 . 3 . 1 .   М о д е л и   а в т о р е г р е с с и и   п о р я д к а   p    
( A R ( p ) - м о д е л и )  
Рассмотрим сначала простейшие частные случаи. 

 
 
189 
Модель авторегрессии 1-го порядка 

 AR(1) (марковский процесс). 
Эта  модель  представляет  собой  простейший  вариант  авторегрессионного 
процесса типа (П2.14), когда все коэффициенты  кроме первого равны ну-
лю. Соответственно, она может быть определена выражением 

t
 = 

t

1
 + 

t
, 
(П2.15) 
где 

 

 некоторый числовой коэффициент, не превосходящий по абсолют-
ной величине единицу (|

| < 1), а 

t
 

 последовательность случайных вели-
чин, образующая белый шум. При этом 

t
 зависит от 

t
 и всех предшеству-
ющих 

,  но  не  зависит  от  будущих  значений 

.  Соответственно,  в 
уравнении (П2.15) 

t  
не зависит от 

t

1 
и более ранних значений 

. В связи с 
этим, 

t  
 называют инновацией (обновлением). 
Последовательности 

, удовлетворяющие соотношению (П2.15), часто 
называют также марковскими процессами. Это означает, что 
E

t
 

 0, 
(П2.16) 
r(

t
, 

t

k
) = 

k
, 
(П2.17) 
D

t
 = 
2
2
0
1



, 
(П2.18) 
cov(

t
, 

t

k
) = 

k
D

t
. 
(П2.19) 
Одно  важное  следствие  (П2.19)  состоит  в  том,  что  если  величина  |

| 
близка  к  единице,  то  дисперсия 

t
  будет  намного  больше  дисперсии 

.  А 
это  значит,  что  если  соседние  значения  ряда 

t
  сильно  коррелированы,  то 
ряд  довольно  слабых  возмущений 

t
  будет  порождать  размашистые  коле-
бания остатков 

t
. 
Основные  характеристики  процесса  авторегрессии  1-го  порядка  сле-
дующие. 
Условие  стационарности  ряда  (П2.15)  определяется  требованием  к 
коэффициенту 

: 
|

| < 1, 
или, что то же, корень z
0
 уравнения 1 

 

z = 0 должен быть по абсолютной 
величине больше единицы. 
Автокорреляционная функция марковского процесса определяется со-
отношением (П2.17): 
r(

) = r(

t
, 

t


) = 


. 
 (П2.20) 
Отсюда  же,  в  частности,  следует  простая  вероятностная  интерпретация 
параметра 

: 

 = r(

t
, 

t

1
), 

 
 
190 
т.е.  значение 

  определяет  величину  корреляции  между  двумя  соседними 
членами ряда 

t
. 
Из  (П2.20)  видно,  что  степень  тесноты  корреляционной  связи  между 
членами последовательности (П2.15) экспоненциально убывает по мере их 
взаимного удаления друг от друга во времени. 
Частная  автокорреляционная  функция  r
част
(

)  =  r(

t
, 

t+

  | 

t+1
  = 

t+2
 
=…= 

t+


1
  =  0)  может  быть  подсчитана  с  помощью  формул  (П2.4)–(П2.5). 
Непосредственное вычисление по этим формулам дает следующий простой 
результат: значения  частной корреляционной функции  r
част
(

)  равны нулю 
для  всех 

  =  2,  3,….  Это  свойство  может  быть  использовано  при  подборе 
модели:  если  вычисленные  выборочные  частные  корреляции 
част
rˆ
  стати-
стически незначимо отличаются от нуля при 

 = 2, 3,…, то использование 
модели  авторегрессии  1-го  порядка  для  описания  поведения  случайных 
остатков временного ряда не противоречит исходным статистическим дан-
ным. 
Спектральная  плотность
 

~
p
    марковского  процесса  (П2.15)  может 
быть  подсчитана  с  учетом  известного  вида  автокорреляционной  функции 
(П2.20): 
 


,
~
2
cos
2
2
2
~
2
2
0









p
 
2
1
~
0



      





 



2
~
. 
В случае значения параметра 

 близкого к 1, соседние значения ряда 

t
 
близки друг к другу по величине, автокорреляционная функция экспонен-
циально  убывает  оставаясь  положительной,  а  в  спектре  преобладают  низ-
кие  частоты,  что  означает  достаточно  большое  среднее  расстояние между 
пиками ряда 

t
. При значении параметра 

 близком к –1, ряд быстро осцил-
лирует (в спектре преобладают высокие частоты), а график автокорреляци-
онной функции экспоненциально спадает до нуля с попеременным измене-
нием знака. 
Идентификация модели, т.е. статистическое оценивание ее параметров 

  и 
2
0

  по  имеющейся  реализации  временного  ряда  x
t
  (а  не  его  остатков, 
которые  являются  ненаблюдаемыми),  основана  на  соотношениях 
(П2.16)

(П2.19) и может быть осуществлена с помощью метода моментов. 

 
 
191 
Для  этого  следует  предварительно  решить  задачу  выделения  неслучайной 
составляющей 
 
t
fˆ
, что позволит оперировать в дальнейшем остатками 
 
.
ˆ
ˆ
t
f
x
t
t



 
(П2.21) 
Затем подсчитывается выборочная дисперсия 
 
0
ˆ

 остатков по формуле 
 


,
ˆ
1
0
ˆ
1
2




N
t
t
N



 
где 
N
Т
е
t



1
ˆ


, а «невязки» (остатки)  вычислены по формуле (П2.21). 
Оценку 

ˆ
  параметра 

  получаем  с  помощью  формулы  (П2.18),  под-
ставляя в нее вместо коэффициента корреляции его выборочное значение, 
т.е. 



 
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
1
1
1
1
1














N
t
t
t
N
. 
Наконец,  оценка 
2
0
ˆ

  параметра 
2
0

  основана  на  соотношении  (П2.19),  в 
котором  величины  D

t
  и 

  заменяются  оценками,  соответственно, 
 
0
ˆ

  и 

ˆ : 


 
.
0
ˆ
ˆ
1
ˆ
2
2
0




