Məmmədov N. R.,Aslanov Z. Y.,Seydəliyev İ. M.,Hacızalov M. N.,Dadaşova K. S



Yüklə 7,93 Mb.
Pdf görüntüsü
səhifə7/46
tarix24.05.2020
ölçüsü7,93 Mb.
#31490
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   46
Zabit-Aslanov metrologiya


Birgə  ölçmələr.  Birgə  ölçmələrin  məqsədi 

kəmiyyətlər 

arasında 

funksional 

asılılığın 

təyin 

edilməsindən 



ibarətdir, 

məsələn, 

müqavimətin 

temperaturdan  asılılığını.  a  və  b  kəmiyyətləri  arasındakı 

asılılığı  tapmaq  üçün  a  kəmiyyətinin  müxtəlif  ölçülərini 

müəyyənləşdirmək  və  ölçmək  və  eyni  zamanda  b 

kəmiyyətini  ölçmək  lazımdır.  Beləliklə,  təsdiq  olunan 

asılılığın a

1

,b

1



; a

2

, b



2

;...; a


n

b

n



 koordinatlarını almaq olar. Bu 

kəmiyyətlərin  ölçülmələrinin  nəticələri  xətalara  malik 

olduğu  üçün  alınmış  koordinatlar  axtarılan  əsl  asılılığa  aid 

edilməyəcək.  Hər  ölçmə  nəticəsində  sistematik  xətanı 

kənarlaşdırmaqla  koordinatları  dəqiqləşdirmək  olar,  lakin 

dəqiqləşdirilmiş  koordinatlar  da  təsadüfi  xətalara  görə  əsl 

asılılıqdan meyylənəcəkdir(səpələnəcəkdir). 

 

Səpələnmə  dərəcəsi  dispersiya  ilə  xarakterizə  edilir. 



Koordinat  nöqtələri  üzrə  qurulmuş  düzgün  asılılıq  kimi  o 

asılılığı  hesab  etmək  olar  ki,  burada  koordinat  nöqtələrinin 

dispersiyası  bu  asılılığa  nəzərən  minimal  olacaq. 

Dispersiyanı  qiymətləndirmək  üçün  koordinat  nöqtələrinin 

meyylənmələrinin  kvadratik  cəmini  əsl  asılılıqdan  çıxmaq 

lazımdır.  Minimal  dispersiyaya  bu  meyylənmələrin 

kvadratlarının  cəminin  minimal  qiyməti  uyğun  gələcəkdir. 

Odur ki, əsl asılılığı axtarmaq üçün istifadə olunan metod ən 

kiçik kvadratlar metodu adlanır. 

 

Bu metodun tətbiqinə a və b arasındakı xətti asılılıq 



misalında  baxaq.  Tutaq  ki,  a  və  b  arasındakı  asılılıq 

aşağıdakı tənlik vasitəsilə ifadə olunur: 

).

,

,



(

в

в



а

β

α



ϕ

β

α



=

+

=



                                           (2.22) 

64 

 

 



Eksperimentin 

nəticələri, 

sistematik 

xətaları 

kənarlaşdırdıqdan  sonra,  tədqiq  edilən  asılılığın  a

1

,b



1

a



2

,b

2



;...;a

n

,b



n

 koordinatlarını verir. Alınmış koordinatlarla ən 

yüksək  tərzdə  uyğunlaşan  düz  xətti  necə  çəkmək  mümkün 

olduğunu  həll  etmək  lazımdır.  Başqa  sözlə  desək, 

eksperiment  vasitəsilə  alınmış  koodinatları  və  tənliyin 

növünü bilərək, (2.22) tənliyindəki 

α

və 


β

ə

msallarını təyin 



etmək lazımdır. 

 

(2.22)  tənliyinə  uyğun  olaraq,əgər  b  kəmiyyəti  b



i

qiymətini qəbul edirsə, onda a-nın qiyməti bərabər olmalıdır 



(

)

i



b

,

,



β

α

ϕ



  funksiyasına,  lakin  eksperiment  a

i

  qiymətini 



verir.  Deməli,  eksperimental  nöqtə  əsl  nöqtədən 

(

)



i

i

b

a

,

,



β

α

ϕ



qiyməti  qədər  meyllənir.  Eksperimental 

nöqtələrin  əsl  asılılıqdan  meylliyinin  kvadratlarının  cəmini 

aşağıdakı ifadə ilə tapmaq olar:  

 

                



(

)

[



]

2

1



,

,



=



n



i

i

i

b

a

β

α



ϕ

,                       (2.23)  

burada n-eksperimental nöqtələrin sayıdır. 

(2.23)  ifadəsini  minimuma  gətirən 

α

və 


β

ə

msallarının 



qiymətlərini  tapaq.  Bunun  üçün  bu  ifadəni 

α

və 



β

  üzrə 


diferensiallaşdırırıq və törəmələri sıfıra bərabərləşdiririk: 

            

(

)

[



]

(

)



;

0

,



,

,

,



2

1

=









=



α

β

α



ϕ

β

α



ϕ

i

n

i

i

i

b

b

a

           (2.24)

 

(

)



[

]

(



)

.

0



,

,

,



,

2

1



=









=

β

β



α

ϕ

β



α

ϕ

i



n

i

i

i

b

b

a

 

(2.24)  tənliklər  sistemini  (2.22)  ifadəsini  nəzərə  almaqla 



aşağıdakı şəkilə gətirək: 

 



=

=



+

=

n



i

n

i

i

i

b

n

a

1

1



;

β

α



                                         

(2.25) 


 

     




=

=



+

=

n



i

n

i

i

i

n

i

i

i

b

b

b

a

1

1



2

1

,



β

α



65 

 

 



Bu  tənliklər  sistemini  həll  edərək 

β

ə



msalı  üçün 

ifadə alırıq: 

















=



∑ ∑



=

=

=



=

=

2



1

2

1



1

1

1



1

n

i

i

n

i

i

n

i

n

i

n

i

i

i

i

b

b

n

b

a

b

a

n

β

      (2.26) 



β

-nın  qiymətini  bilərək  tapırıq 



n

b

n

a

n

i

i

n

i

i



=

=



=

1

1



β

α



Ümumi halda 

α

və 



β

-nın alınmış qiymətləri tənliyin a

i

 və 


b

i

  əmsallarının  əsl  qiymətlərindən  fərqlənir  və  təsadüfi 



kəmiyyətlərdir.  Beləki,  təsadüfi  xətalarla  təhrif  olunmuş  a

i, 


b

i

 koordinatları da təsadüfi kəmiyyətlərdir. Əmsalların təyini 



xətaları  bunlardır:   

u

α

α



α

=



  və 


.

u

β

β



β

=



  Bu 


xətaların  dispersiyaları  müvafiq  əmsalların  dispersiyalarına 

bərabərdir,  ↔  yəni  ↔ 

[ ]

[ ]


[ ]

α

σ



α

α

2



=

=



D

D

  ↔  və 


[ ]

[ ]


[ ]

.

2



β

σ

β



β

=

=





D

D

 Bu  dispersiyaları tapaq.  

 

 

b



u

 

 



Şə

kil 2.6.a

i

 və b


ölçmə xətasının tədqiq olunan asılılığa 

nəzərən eksperiment nöqtələrin səpələnməsinə

  

təsiri 



 

Ə

vvəlcə a



i

 və b


i

-nın ölçmə xətalarının eksperimental 

nöqtələrin  səpələnməsinə  təsirinə  baxaq.  Tutaq  ki,  b=b

i

 



66 

 

olduqda  a  kəmiyyəti  ölçülür.  Əgər  ölçmələr  xətasız  yerinə 



yetirilirsə,  onda  b

i

-nin  qiymətini  müəyyənləşdirərək  a 



kəmiyyətinin  koordinat  nöqtəsinə1  uyğun  gələn  qiymətini 

alırıq  (şək.2.6).  Sonra  tutaq  ki,  a  kəmiyyəti  xətasız,  b 

kəmiyyəti  isə  xəta  ilə  ölçülür.  Onda  b

i

-nin  qiymətini 



müəyyənləşdirən  zaman  b  kəmiyyətinin  əsl  qiyməti 

b

 



xətasına  görə  b

u

-ya  bərabər  götürülə  bilər.  Bu  zaman  a 



kəmiyyətinin qiyməti koordinat nöqtəsinə 2 uyğun gələcək. 

Lakin,  qəbul  edək  ki,  b

i

-nin  qiymətini  müəyyənləşdirərək 



koordinat  nöqtəsi  2  əvəzinə  koordinat  nöqtəsi  2

1

-ə 



baxacayıq. Bu nöqtə tədqiq olunan asılılıqdan 

b

a

u

b

=



β

 



qədər  yana  sürüşüb  (burada 

u

β

-  tədqiq  edilən  asılılığın  əsl 



maillik  əmsalıdır).  Əgər  a  kəmiyyəti  də  xəta  ilə  ölçülürsə, 

onda koordinat nöqtəsi 2

1

 bu kəmiyyətin qiyməti 



a

a

qədər 



yerini  dəyişəcək  və  nöqtə  3-də  olacaq.  Elə  bu  nöqtəyə  də 

a

i



,b

i

  koordinatlı  nöqtə  kimi  baxırıq.  Nöqtə  3  tədqiq  olunan 



asılılıqdan 

b

a

a

a

+



=



β

qədər yana sürüşür. Aydındır ki, 

ə

gər  


a

a

və 



b

 xətalarının dəyişməsi zamanı 



a

 dəyişməz 



qalarsa,  onda  eksperimental  nöqtə  3  öz  vəziyyətini 

dəyişməyəcəkdir.  Bu  zaman 

β

  və 


α

ə

msallarının 



qiymətləri  eyni  qalacaq,  cünki  onlar  ancaq  eksperimental 

nöqtələrin  vəziyyəti  ilə  təyin  edilir.  Ona  görə  hesab  etmək 

olar  ki,  b  kəmiyyətinin  ölçülməsi  xətasız  yerinə  yetirilir, 

eksperimental  nöqtələrinin  tədqiq  olunan  asılılığa  nəzərən 

səpələnməsi isə ancaq 

b

a

a

u

a

+



=



β

 xətası ilə bağlıdır. 



a

a

  və 



b

  xətaları  qeyri-asılı  təsadüfi  kəmiyyətlərdir. 



Dispersiyaların  tapılması  qaydasını  tətbiq  edərək  müəyyən 

edirik 


ki, 

eksperimental 

nöqtələrin 

səpələnməsini 

xarakterizə ↔ edən ↔ dispersiya  

[ ] [ ]


[ ]

[ ]


b

a

D

a

u

a

a

+



=

=



2

2

2



σ

β

σ



σ

 

ifadəsi  ilə  təyin  edilir.  Hesab  edirik  ki,  a



i

-nin  istənilən 

qiymətini ölçən zaman dispersiya eynidir. 


67 

 

Indi  də 



β

  və 


α

  əmsallarının  dispersiyalarının 

bilavasitə  qiymətləndirilməsinə  keçək.  Kəmiyyət  b-nin 

xətasız  ölçülməsini  hesab  edərək,  b-nin  əmsalların 

hesablanması ifadəsinə daxil olan istənilən qiymətinə qeyri-

təsadüfi ədəd kimi baxmağa ixtiyarımız var. 

(2.26)  ifadəsini  cəbri  dəyişmələr  yolu  ilə  aşağıdakı 

formaya gətirmək olar: 

(

)

,



1

2

1







=



=



=

n

i

i

n

i

i

i

nb

b

b

b

a

β

 



burada 



b

-  b  kəmiyyətinin  koordinatlarının  orta  ədədi 

qiymətidir, 



n

b

b

n

i

i





=



=

1



a

i



-lərin  hamısı 

[ ]


a

2

σ



  dispersiyalı  qeyri-asılı  təsadüfi 

kəmiyyət  olduğuna  görə 

β

  əmsalının  dispersiyasını 



aşağıdakı ifadə ilə tapmaq olar: 

[ ]


[ ]

[ ]


.

1

2



1

2

2



1

2

2



1

2

2



1

2

2



a

b

n

b

a

b

n

b

b

b

n

i

n

i

i

n

i

i

σ

σ



β

σ



=



=

=



=











=



 (2.27) 

 

α



ə

msalının  dispersiyasını  tapmaq  üçün  (2.25) 

tənliklər sistemindən 

β

 əmsalını kənarlaşdıraraq bu sistemi 



α

 əmsalına nəzərən həll etmək lazımdır: 

 





=

=



=











=

n

i

i

n

i

n

i

i

b

b

n

n

b

b

b

a

1

2



2

1

1



2

1

2



1

α

 



Burada n

α

ə



msalının dispersiyasını tapırıq: 

68 

 

[ ]



[ ]

[ ]


β

α

α



σ

σ

σ



2

1

2



2

1

1



2

2

2



1

2

2



2

(

)



)

(

n



n

i

i

n

i

n

i

i

n

i

n

i

i

b

b

b

b

b

b



=



=

=

=



=





=

               

(2.28) 

 

Dispersiyaları  (2.27)  və  (2.28)  ifadələri  ilə 



hesablamaq  üçün  eksperimental  nöqtələrin  səpələnmə 

dispersiyasını 

[ ]

a

2

σ



  bilmək  lazımdır.  Bu  dispersiyanın 

dəqiq  qiymətini  hətta  a  və  b  kəmiyyətlərinin  dəyişmə 

xətalarının  məlum  dispersiyalarında  tapmaq  olmaz,  çünki 

ə

sl  maillik  əmsalını 



u

β

  bilmək  lazımdır.  Ona  görə  də 



[ ]

β

σ



2

 və 


[ ]

α

σ



2

dispersiyaları əvəzinə onların qiymətlərini 

alırlar.  Burada 

[ ]


a

2

σ



  əvəzinə  onun  aşağıdakı  qiymətlə-

rindən birini istifadə edirlər:  

  xətaların məlum dispersiyalarında və  ya    onların 



[ ]

a

2



σ

 

və 



[ ]

b

2



σ

qiymətlərində alırıq 

[ ]

[ ]


[ ]

;

2



2

2

2



b

a

a

+



=

σ



β

σ

σ



 

  ölçmə  xətalarının  dispersiyalarının  məlum  qiymətlərində 



[ ]

a

2

 və 



[ ]

b

2

 alırıq 



[ ]

[ ]


[ ]

;

2



2

2

2



b

S

a

S

a

S

+



=

β



 

   Xətaların  dispersiyaları  və  ya  onların  qiymətləri  haqqında 



informasiya olmadıqda  

[ ]


(

)

[



]

(

)



2

1

2



2

+



=



=

n

b

a

a

S

n

i

i

i

β

α



 

ifadəsindən istifadə edirik. 

Axırıncı  ifadənin  surətində  ayrı-ayrı  ölçmə  nəticə-

lərinin  onların  əsl  qiymətlərindən  meyylənmələrinin  kvad-

ratlarının  cəmi,  məxrəcdə  isə  sərbəstlik  dərəcələrinin  sayı 

durur.  Riyazi statistikada təsdiq olunub ki, birgə ölçmələrin 

nəticələrinin  işlənməsi  zamanı  sərbəstlik  dərəcələrinin  sayı 

koordinat  nöqtələrinin  sayı  n  ilə  qeyri-məlum  əmsalların 

sayının  m  fərqi  kimi  təyin  edilir.  Baxılan  hal  üçün  m=2 

(əmsallar 

α

  və 


β

).  Ona  görə  də  sərbəstlik  dərəcələrinin 

sayı (n-2)-yə bərabərdir.  


69 

 

Ə



gər  müxtəlif    birgə  ölçmələrin  sayi  ölçülən 

kəmiyyətlərin  sayına  bərabərdirsə,  onda  ölçmə    nəticələri 

üzrə  tənliklər  sistemi  tərtib  etmək  olar.  Bu  sistemdə 

tənliklərin  sayı  ölçülən  kəmiyyətlərin  sayına  bərabərdir. 

Tənliklər  sistemini  həll  edərək,  hər  bir  ölçülən  kəmiyyəti 

birgə  öıçmələrin  nəticələri  vasitəsilə  dolayı  yolla  ifadə 

etmək  olar.  Sonrakı    işləmələri    dolayı  ölçmələrdə    müşa-

hidələrin  nəticələrinin  işlənməsi  qaydaları  üzrə  aparmaq 

olar.  Əgər  müxtəlif  birgə  ölçmələrin  sayı  ölçülən 

kəmiyyətlərin  sayından  çoxdursa,  onda  ölçmələrin 

nəticələrinin  işlənməsini  ən  kiçik  kvadratlar  metodunun 

köməyi ilə aparırlar. 



Xətaların  cəmlənməsi.  Ölçmə  təcrübəsində  tez-tez 

cəm  xətanın  onu  təşkil  edən  xətaların  məlum  qiymətlərinə 

görə  təyini  məsələsi  meydana  çıxır.Xətaların  tərkib 

hissələrinin  təsadüfi  kəmiyyət  kimi  baxılması  zamanı  cəm 

xətanı  təsadüfi  kəmniyyətlərin  cəmlənməsi  qaydası  üzrə 

təyin  etmək  lazımdır.  Bu  qayda  ehtimal  nəzəriyyəsindən 

məlum olan əsasnamələrə əsaslanır: 

1)cəm  xətanın  (sistematik  xəta)  riyazi  gözləməsi 

tərkib 

hissələrinin 



(sistematik 

xətaların) 

riyazi 

gözləmələrinin cəbri cəmi ilə təyin edilir; 



2)cəm  xətanın  dispersiyası  aşağıdakı  ifadə  ilə  təyin 

edilir: 


                     

=

2



Е

σ

,



2

1

2



j

i

j

i

iy

n

i

i

r

σ

σ



σ



+

=

<

                      (2.29)    

                 

burada  n- xətaların toplanan tərkib hissələrinin sayı; 

 

2



i

σ

- xətanın i-ci tərkib hissəsinin dispersiyası; 



 

r

jj



  –  tərkib  hissələri  i  və  j  arasındakı  korrelyasiya 

ə

msalı (cəm işarəsi altındakı i< j işarəsi göstərir ki, cəmləmə 



tərkib hissələrinin bütün mümkün olan cütlü birləşmələrinə 

aiddir, onlar üçün i< j). 



70 

 

 



Toplanan  tərkib  hissələrinin  məlum  sistematik 

xətaları  üzrə  yekun  sistematik  xətanın  tapılması  heç  bir 

çətinlik  törətmir  (2.29)  ifadəsinin  istifadəsi  isə 

2

Е



σ

-nin 


hesablanması  üçün  çətindir,  beləki,  tərkib  hissələri 

arasındakı  korrelyasiya  əmsalının  dəqiq  qiyməti  adətən 

qeyri-məlumdur.  Bu  halda  hesabat  zamanı  r-i  sıfra  bərabər 

qəbul  edirlər,  əgər  təsadüfi  tərkib  hissələrini  qeyri-məlum 

hesab  edirlərsə  və  ya  işarə  “+”    və  ya  “-”    ilə  vahidə 

bərabərdirsə,  onda  xətaların  toplanan  hissələri  arasında 

korrelyasiya  hiss  olunar.  Təsadüfi  xətaların  cəmlənməsinə 

bir qədər ətraflı baxaq.  

 


Yüklə 7,93 Mb.

Dostları ilə paylaş:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   46




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin