Birgə ölçmələr. Birgə ölçmələrin məqsədi
kəmiyyətlər
arasında
funksional
asılılığın
təyin
edilməsindən
ibarətdir,
məsələn,
müqavimətin
temperaturdan asılılığını. a və b kəmiyyətləri arasındakı
asılılığı tapmaq üçün a kəmiyyətinin müxtəlif ölçülərini
müəyyənləşdirmək və ölçmək və eyni zamanda b
kəmiyyətini ölçmək lazımdır. Beləliklə, təsdiq olunan
asılılığın a
1
,b
1
; a
2
, b
2
;...; a
n
b
n
koordinatlarını almaq olar. Bu
kəmiyyətlərin ölçülmələrinin nəticələri xətalara malik
olduğu üçün alınmış koordinatlar axtarılan əsl asılılığa aid
edilməyəcək. Hər ölçmə nəticəsində sistematik xətanı
kənarlaşdırmaqla koordinatları dəqiqləşdirmək olar, lakin
dəqiqləşdirilmiş koordinatlar da təsadüfi xətalara görə əsl
asılılıqdan meyylənəcəkdir(səpələnəcəkdir).
Səpələnmə dərəcəsi dispersiya ilə xarakterizə edilir.
Koordinat nöqtələri üzrə qurulmuş düzgün asılılıq kimi o
asılılığı hesab etmək olar ki, burada koordinat nöqtələrinin
dispersiyası bu asılılığa nəzərən minimal olacaq.
Dispersiyanı qiymətləndirmək üçün koordinat nöqtələrinin
meyylənmələrinin kvadratik cəmini əsl asılılıqdan çıxmaq
lazımdır. Minimal dispersiyaya bu meyylənmələrin
kvadratlarının cəminin minimal qiyməti uyğun gələcəkdir.
Odur ki, əsl asılılığı axtarmaq üçün istifadə olunan metod ən
kiçik kvadratlar metodu adlanır.
Bu metodun tətbiqinə a və b arasındakı xətti asılılıq
misalında baxaq. Tutaq ki, a və b arasındakı asılılıq
aşağıdakı tənlik vasitəsilə ifadə olunur:
).
,
,
(
в
в
а
β
α
ϕ
β
α
=
+
=
(2.22)
64
Eksperimentin
nəticələri,
sistematik
xətaları
kənarlaşdırdıqdan sonra, tədqiq edilən asılılığın a
1
,b
1
;
a
2
,b
2
;...;a
n
,b
n
koordinatlarını verir. Alınmış koordinatlarla ən
yüksək tərzdə uyğunlaşan düz xətti necə çəkmək mümkün
olduğunu həll etmək lazımdır. Başqa sözlə desək,
eksperiment vasitəsilə alınmış koodinatları və tənliyin
növünü bilərək, (2.22) tənliyindəki
α
və
β
ə
msallarını təyin
etmək lazımdır.
(2.22) tənliyinə uyğun olaraq,əgər b kəmiyyəti b
i
-
qiymətini qəbul edirsə, onda a-nın qiyməti bərabər olmalıdır
(
)
i
b
,
,
β
α
ϕ
funksiyasına, lakin eksperiment a
i
qiymətini
verir. Deməli, eksperimental nöqtə əsl nöqtədən
(
)
i
i
b
a
,
,
β
α
ϕ
−
qiyməti qədər meyllənir. Eksperimental
nöqtələrin əsl asılılıqdan meylliyinin kvadratlarının cəmini
aşağıdakı ifadə ilə tapmaq olar:
(
)
[
]
2
1
,
,
∑
=
−
n
i
i
i
b
a
β
α
ϕ
, (2.23)
burada n-eksperimental nöqtələrin sayıdır.
(2.23) ifadəsini minimuma gətirən
α
və
β
ə
msallarının
qiymətlərini tapaq. Bunun üçün bu ifadəni
α
və
β
üzrə
diferensiallaşdırırıq və törəmələri sıfıra bərabərləşdiririk:
(
)
[
]
(
)
;
0
,
,
,
,
2
1
=
∂
∂
−
−
∑
=
α
β
α
ϕ
β
α
ϕ
i
n
i
i
i
b
b
a
(2.24)
(
)
[
]
(
)
.
0
,
,
,
,
2
1
=
∂
∂
−
−
∑
=
β
β
α
ϕ
β
α
ϕ
i
n
i
i
i
b
b
a
(2.24) tənliklər sistemini (2.22) ifadəsini nəzərə almaqla
aşağıdakı şəkilə gətirək:
∑
∑
=
=
+
=
n
i
n
i
i
i
b
n
a
1
1
;
β
α
(2.25)
∑
∑
∑
=
=
−
+
=
n
i
n
i
i
i
n
i
i
i
b
b
b
a
1
1
2
1
,
β
α
.
65
Bu tənliklər sistemini həll edərək
β
ə
msalı üçün
ifadə alırıq:
−
−
=
∑
∑
∑
∑ ∑
=
=
=
=
=
2
1
2
1
1
1
1
1
n
i
i
n
i
i
n
i
n
i
n
i
i
i
i
b
b
n
b
a
b
a
n
β
(2.26)
β
-nın qiymətini bilərək tapırıq
n
b
n
a
n
i
i
n
i
i
∑
∑
=
=
−
=
1
1
β
α
.
Ümumi halda
α
və
β
-nın alınmış qiymətləri tənliyin a
i
və
b
i
əmsallarının əsl qiymətlərindən fərqlənir və təsadüfi
kəmiyyətlərdir. Beləki, təsadüfi xətalarla təhrif olunmuş a
i,
b
i
koordinatları da təsadüfi kəmiyyətlərdir. Əmsalların təyini
xətaları bunlardır:
u
α
α
α
−
=
∆
və
.
u
β
β
β
−
=
∆
Bu
xətaların dispersiyaları müvafiq əmsalların dispersiyalarına
bərabərdir, ↔ yəni ↔
[ ]
[ ]
[ ]
α
σ
α
α
2
=
=
∆
D
D
↔ və
[ ]
[ ]
[ ]
.
2
β
σ
β
β
=
=
∆
D
D
Bu dispersiyaları tapaq.
b
u
Şə
kil 2.6.a
i
və b
i
ölçmə xətasının tədqiq olunan asılılığa
nəzərən eksperiment nöqtələrin səpələnməsinə
təsiri
Ə
vvəlcə a
i
və b
i
-nın ölçmə xətalarının eksperimental
nöqtələrin səpələnməsinə təsirinə baxaq. Tutaq ki, b=b
i
66
olduqda a kəmiyyəti ölçülür. Əgər ölçmələr xətasız yerinə
yetirilirsə, onda b
i
-nin qiymətini müəyyənləşdirərək a
kəmiyyətinin koordinat nöqtəsinə1 uyğun gələn qiymətini
alırıq (şək.2.6). Sonra tutaq ki, a kəmiyyəti xətasız, b
kəmiyyəti isə xəta ilə ölçülür. Onda b
i
-nin qiymətini
müəyyənləşdirən zaman b kəmiyyətinin əsl qiyməti
b
∆
xətasına görə b
u
-ya bərabər götürülə bilər. Bu zaman a
kəmiyyətinin qiyməti koordinat nöqtəsinə 2 uyğun gələcək.
Lakin, qəbul edək ki, b
i
-nin qiymətini müəyyənləşdirərək
koordinat nöqtəsi 2 əvəzinə koordinat nöqtəsi 2
1
-ə
baxacayıq. Bu nöqtə tədqiq olunan asılılıqdan
b
a
u
b
∆
=
∆
β
qədər yana sürüşüb (burada
u
β
- tədqiq edilən asılılığın əsl
maillik əmsalıdır). Əgər a kəmiyyəti də xəta ilə ölçülürsə,
onda koordinat nöqtəsi 2
1
bu kəmiyyətin qiyməti
a
a
∆
qədər
yerini dəyişəcək və nöqtə 3-də olacaq. Elə bu nöqtəyə də
a
i
,b
i
koordinatlı nöqtə kimi baxırıq. Nöqtə 3 tədqiq olunan
asılılıqdan
b
a
a
a
∆
+
∆
=
∆
β
qədər yana sürüşür. Aydındır ki,
ə
gər
a
a
∆
və
b
∆
xətalarının dəyişməsi zamanı
a
∆
dəyişməz
qalarsa, onda eksperimental nöqtə 3 öz vəziyyətini
dəyişməyəcəkdir. Bu zaman
β
və
α
ə
msallarının
qiymətləri eyni qalacaq, cünki onlar ancaq eksperimental
nöqtələrin vəziyyəti ilə təyin edilir. Ona görə hesab etmək
olar ki, b kəmiyyətinin ölçülməsi xətasız yerinə yetirilir,
eksperimental nöqtələrinin tədqiq olunan asılılığa nəzərən
səpələnməsi isə ancaq
b
a
a
u
a
∆
+
∆
=
∆
β
xətası ilə bağlıdır.
a
a
∆
və
b
∆
xətaları qeyri-asılı təsadüfi kəmiyyətlərdir.
Dispersiyaların tapılması qaydasını tətbiq edərək müəyyən
edirik
ki,
eksperimental
nöqtələrin
səpələnməsini
xarakterizə ↔ edən ↔ dispersiya
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
b
a
D
a
u
a
a
∆
+
=
∆
=
2
2
2
σ
β
σ
σ
ifadəsi ilə təyin edilir. Hesab edirik ki, a
i
-nin istənilən
qiymətini ölçən zaman dispersiya eynidir.
67
Indi də
β
və
α
əmsallarının dispersiyalarının
bilavasitə qiymətləndirilməsinə keçək. Kəmiyyət b-nin
xətasız ölçülməsini hesab edərək, b-nin əmsalların
hesablanması ifadəsinə daxil olan istənilən qiymətinə qeyri-
təsadüfi ədəd kimi baxmağa ixtiyarımız var.
(2.26) ifadəsini cəbri dəyişmələr yolu ilə aşağıdakı
formaya gətirmək olar:
(
)
,
1
2
1
−
−
=
∑
∑
=
=
n
i
i
n
i
i
i
nb
b
b
b
a
β
burada
−
b
- b kəmiyyətinin koordinatlarının orta ədədi
qiymətidir,
n
b
b
n
i
i
=
∑
=
−
1
.
a
i
-lərin hamısı
[ ]
a
2
σ
dispersiyalı qeyri-asılı təsadüfi
kəmiyyət olduğuna görə
β
əmsalının dispersiyasını
aşağıdakı ifadə ilə tapmaq olar:
[ ]
[ ]
[ ]
.
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
a
b
n
b
a
b
n
b
b
b
n
i
n
i
i
n
i
i
σ
σ
β
σ
∑
∑
∑
=
−
=
=
−
−
=
−
−
=
(2.27)
α
ə
msalının dispersiyasını tapmaq üçün (2.25)
tənliklər sistemindən
β
əmsalını kənarlaşdıraraq bu sistemi
α
əmsalına nəzərən həll etmək lazımdır:
∑
∑
∑
=
=
=
−
−
=
n
i
i
n
i
n
i
i
b
b
n
n
b
b
b
a
1
2
2
1
1
2
1
2
1
α
Burada n
α
ə
msalının dispersiyasını tapırıq:
68
[ ]
[ ]
[ ]
β
α
α
σ
σ
σ
2
1
2
2
1
1
2
2
2
1
2
2
2
(
)
)
(
n
n
i
i
n
i
n
i
i
n
i
n
i
i
b
b
b
b
b
b
∑
−
∑
∑
=
=
=
=
∑
=
−
−
−
−
=
(2.28)
Dispersiyaları (2.27) və (2.28) ifadələri ilə
hesablamaq üçün eksperimental nöqtələrin səpələnmə
dispersiyasını
[ ]
a
2
σ
bilmək lazımdır. Bu dispersiyanın
dəqiq qiymətini hətta a və b kəmiyyətlərinin dəyişmə
xətalarının məlum dispersiyalarında tapmaq olmaz, çünki
ə
sl maillik əmsalını
u
β
bilmək lazımdır. Ona görə də
[ ]
β
σ
2
və
[ ]
α
σ
2
dispersiyaları əvəzinə onların qiymətlərini
alırlar. Burada
[ ]
a
2
σ
əvəzinə onun aşağıdakı qiymətlə-
rindən birini istifadə edirlər:
•
xətaların məlum dispersiyalarında və ya onların
[ ]
a
∆
2
σ
və
[ ]
b
∆
2
σ
qiymətlərində alırıq
[ ]
[ ]
[ ]
;
2
2
2
2
b
a
a
∆
+
∆
=
σ
β
σ
σ
•
ölçmə xətalarının dispersiyalarının məlum qiymətlərində
[ ]
a
S ∆
2
və
[ ]
b
S ∆
2
alırıq
[ ]
[ ]
[ ]
;
2
2
2
2
b
S
a
S
a
S
∆
+
∆
=
β
•
Xətaların dispersiyaları və ya onların qiymətləri haqqında
informasiya olmadıqda
[ ]
(
)
[
]
(
)
2
1
2
2
−
+
−
=
∑
=
n
b
a
a
S
n
i
i
i
β
α
ifadəsindən istifadə edirik.
Axırıncı ifadənin surətində ayrı-ayrı ölçmə nəticə-
lərinin onların əsl qiymətlərindən meyylənmələrinin kvad-
ratlarının cəmi, məxrəcdə isə sərbəstlik dərəcələrinin sayı
durur. Riyazi statistikada təsdiq olunub ki, birgə ölçmələrin
nəticələrinin işlənməsi zamanı sərbəstlik dərəcələrinin sayı
koordinat nöqtələrinin sayı n ilə qeyri-məlum əmsalların
sayının m fərqi kimi təyin edilir. Baxılan hal üçün m=2
(əmsallar
α
və
β
). Ona görə də sərbəstlik dərəcələrinin
sayı (n-2)-yə bərabərdir.
69
Ə
gər müxtəlif birgə ölçmələrin sayi ölçülən
kəmiyyətlərin sayına bərabərdirsə, onda ölçmə nəticələri
üzrə tənliklər sistemi tərtib etmək olar. Bu sistemdə
tənliklərin sayı ölçülən kəmiyyətlərin sayına bərabərdir.
Tənliklər sistemini həll edərək, hər bir ölçülən kəmiyyəti
birgə öıçmələrin nəticələri vasitəsilə dolayı yolla ifadə
etmək olar. Sonrakı işləmələri dolayı ölçmələrdə müşa-
hidələrin nəticələrinin işlənməsi qaydaları üzrə aparmaq
olar. Əgər müxtəlif birgə ölçmələrin sayı ölçülən
kəmiyyətlərin sayından çoxdursa, onda ölçmələrin
nəticələrinin işlənməsini ən kiçik kvadratlar metodunun
köməyi ilə aparırlar.
Xə taların cə mlə nmə si. Ölçmə təcrübəsində tez-tez
cəm xətanın onu təşkil edən xətaların məlum qiymətlərinə
görə təyini məsələsi meydana çıxır.Xətaların tərkib
hissələrinin təsadüfi kəmiyyət kimi baxılması zamanı cəm
xətanı təsadüfi kəmniyyətlərin cəmlənməsi qaydası üzrə
təyin etmək lazımdır. Bu qayda ehtimal nəzəriyyəsindən
məlum olan əsasnamələrə əsaslanır:
1)cəm xətanın (sistematik xəta) riyazi gözləməsi
tərkib
hissələrinin
(sistematik
xətaların)
riyazi
gözləmələrinin cəbri cəmi ilə təyin edilir;
2)cəm xətanın dispersiyası aşağıdakı ifadə ilə təyin
edilir:
=
2
Е
σ
,
2
1
2
j
i
j
i
iy
n
i
i
r
σ
σ
σ
∑
∑
+
=
<
(2.29)
burada n- xətaların toplanan tərkib hissələrinin sayı;
2
i
σ
- xətanın i-ci tərkib hissəsinin dispersiyası;
r
jj
– tərkib hissələri i və j arasındakı korrelyasiya
ə
msalı (cəm işarəsi altındakı i< j işarəsi göstərir ki, cəmləmə
tərkib hissələrinin bütün mümkün olan cütlü birləşmələrinə
aiddir, onlar üçün i< j).
70
Toplanan tərkib hissələrinin məlum sistematik
xətaları üzrə yekun sistematik xətanın tapılması heç bir
çətinlik törətmir (2.29) ifadəsinin istifadəsi isə
2
Е
σ
-nin
hesablanması üçün çətindir, beləki, tərkib hissələri
arasındakı korrelyasiya əmsalının dəqiq qiyməti adətən
qeyri-məlumdur. Bu halda hesabat zamanı r-i sıfra bərabər
qəbul edirlər, əgər təsadüfi tərkib hissələrini qeyri-məlum
hesab edirlərsə və ya işarə “+” və ya “-” ilə vahidə
bərabərdirsə, onda xətaların toplanan hissələri arasında
korrelyasiya hiss olunar. Təsadüfi xətaların cəmlənməsinə
bir qədər ətraflı baxaq.
Dostları ilə paylaş: |