2.4.Ölçmə nəticələrinin işlənməsi.
Birdəfəli və çoxdəfəli ölçmələr
Ölçmələrin (müşahidələrin) nəticələrinin işlənməsi
ölçülən kəmiyyətin qiymətinin müəyyən edilməsindən və
alınmış ölçmə nəticəsinin xətasının qiymətləndirilməsindən
ibarətdir. Müşahidələrin nəticələrinin işlənməsi metodları
ə
vvəlcədən alınan informasiyadan asılı olaraq müxtəlif ola
bilər. Eksperimenti aparan mütəxəssis xətaların mənbəi və
ə
mələgəlmə xarakteri, eksperimentin aparılma şəraiti,
istifadə olunan ölçmə vasitələrinin xassələri haqqında
informasiyaya malik olur.
Müxtəlif ölçmə növlərində müşahidənin nəticələrinin
işlənməsinin ən çox xarakterik hallarına baxaq.
Birbaşa ölçmələr. Fərz edək ki, çoxdəfəli ölçmə
zamanı bizi maraqlandıran kəmiyyətlər n ədəd ayrı-ayrı
müşahidə nəticələri şəklində alınmışdır. Hər müşahidədən
sistematik xətanı kənarlaşdıraraq düzəldilmiş x
1
,x
2
,...,x
n
ölçmə sırasını alırıq. Bu sıranın riyazi gözləməsi ölçülən
kəmiyyətin həqiqi qiymətidir. Ölçülən kəmiyyətin həqiqi
qiymətini orta riyazi qiymət kimi qəbul edirik:
n
x
n
x
x
x
x
n
i
i
n
∑
=
−
=
+
+
+
=
1
2
1
...
Müşahidənin ayrı-ayrı qiymətləri və orta kvadratik
qiymət
arasındakı
meyylənmə
(fərqlər
;
1
x
x −
=
ρ
;
;......,
2
2
x
x −
=
ρ
x
x
u
u
−
=
ρ
)
ölçmə
55
sırasında nəticələrin sərələnməsi və ya qalıq xətaları
adlandırılır. Onlar hə m müsbə t, hə m də mə nfi ola bilə r.
Orta riyazi qiymə tin xassə sinə görə qalıq xə tasının cə bri
cə mi
sıfra bərabərdir, yəni
0
=
∑
i
ρ
. Bundan x - nı
hesablayan zaman nə zarə t üçün istifadə etmə k lazımdır.
Ə
gər alınmış müşahidələr sırasının dispersiyası
ə
vvəlki eksperimentlərdən və ya tətbiq edilən ölçmə
vasitələrinin texniki sənədlərindən məlumdursa, onda orta
cəbri dispersiyanı aşağıdakı düsturla təyin etmək olar:
[ ]
n
x
x
2
2
σ
σ
=
−
,
burada
[ ]
x
2
σ
- bu sıranın ölçülən kəmiyyətinin həqiqi
qiymətinin (orta cəbri) dispersiyası;
[ ]
x
2
σ
- müşahidələrin düzəldilmiş sırasının dis-
persiyasıdır.
Ə
gər sıranın dispersiyası məlum deyilsə, onda onun
qiymətləndirilməsini aşağıdakı düsturla təyin etmək olar:
[ ]
∑
−
=
2
2
1
1
i
p
n
x
S
, (2.9)
burada
i
ρ
- müşahidələrin düzəldilmiş sırasının qalıq
xətalarıdır.
Bu halda ölçülən kəmiyyətin həqiqi qiymətinin
dispersiyasının qiymətləndirilməsi üçün aşağıdakı düstürdan
istifadə olunur:
[ ]
[ ]
.
1
2
2
x
S
n
x
S
=
(2.10)
Ölçmə xətasının etibarlı intervalını tapmaq üçün
kəmiyyətin paylanma qanununu tapmaq lazımdır:
dispersiya məlum olduqda -
[ ]
;
/
)
(
x
x
x
i
σ
−
(2.11)
dispersiya məlum olmadıqda –
56
[ ]
x
S
x
x
i
/
)
( −
(2.12)
Beləki, (2.11) ifadəsinə ancaq bir təsadüfi kəmiyyət
x daxildir, onda bu ifadə ilə təyin edilən kəmiyyət
paylanma qanununun növü x kəmiyyətinin paylanma
qanununun növü ilə təyin edilir. Ayrı-ayrı nəticələrin
i
x
normal paylanma qanunu zamanı x -nın paylanma qanunu
da normal olur. Bu, ehtimal nəzəriyyəsindən məlum olan
normal qanunun sabitlik xassəsi ilə izah edilir. Beləki,
normal qanun üzrə paylanmış təsadüfi kəmiyyətlərin cəmi
normal qanun üzrə paylanmış təsadüfi kəmiyyəti verir.
Beləliklə, normal paylanma qanununda (2.11) ifadəsi ilə
təyin edilən təsadüfi kəmiyyətin x
i
riyazi gözləməsi sıfra
bərabər və dispersiyası vahidə bərabər normal paylanma
qanununa malikdir. Bu cür normal paylanma qanunlu
təsadüfi kəmiyyəti z-lə işarə edək.
(2.12) ifadəsi iki təsadüfi kəmiyyəti
−
x
və
[ ]
x
S
özündə
birləşdirir. Odur ki, bu ifadə ilə təyin edilən kəmiyyətin
paylanma qanunu (2.11) ifadəsi ilə təyin edilən kəmiyyətin
paylanma qanunundan fərqlənir. Ehtimallar nəzəriyyəsində
sübut edilmişdir ki, normal paylanma qanunu zamanı (2.12)
ifadəsi ilə təyin edilən x
i
təsadüfi kəmiyyəti Styüdent
paylanma qanununa malikdir. Styüdent qanunu üzrə
paylanan təsadüfi kəmiyyəti t ilə işarə edək. z və t üçün
cədvəllər vardır ki, onların köməyi ilə Z
p
və t
p
( f )-in
qiymətlərini tapmaq olar. f ədədi sərbəstlik dərəcəsi adlanır;
baxılan hal üçün f=n-1.
Ölçmələr sırasında ölçmələrin sayı nə qədər çox
olarsa,
−
x
S
qiyməti həqiqi orta kvadratik meyylənməyə
−
x
σ
daha yaxın olur. Deməli, müşahidələrin sayı artdıqca
57
Styudent paylanma qanunu normal qanuna yaxınlaşır.
Praktiki olaraq K>30 olduqda
( )
f
t
Z
P
P
=
olur.
Z
p
və ya t
p
(f) qiymətlərini bilərək (2.11) və (2.12)
ifadələri əsasında (2.9) və (2.10) düsturlarını nəzərə
almaqla, ölmçmələrin nəticələrinin P etibarlı ehtimalla
yazmaq olar:
dispersiya məlum olduqda –
[ ]
;
n
x
x
x
x
x
p
p
u
σ
σ
Ζ
±
=
Ζ
±
=
−
−
−
(2.13)
dispersiya məlum olmadıqda –
( )
( )
[ ]
.
n
x
S
f
t
x
x
S
f
t
x
p
p
u
±
=
±
=
Χ
−
−
−
(2.14)
Ə
gər ayrı-ayrı ölçmə nəticələrinin paylanma qanunu
normal qanundan fərqlənirsə, onda (2.11) və (2.12) ifadələri
ilə təyin olunan təsadüfi kəmiyyətlərin paylanma qanununu
tapmaq çətindir. Belə halda aşağıdakı təkliflər verilə bilər.
−
x
-ın paylanma qanununun növü qeyri-asılı təsadüfi
kəmiyyətlərin cəminin paylanma qanunu ilə təyin edilir.
Ə
gər bütün x
i
-lər eyni paylanma qanununa malikdirsə, onda
mərkəzi hədd teoremi əsasında
−
x
- nın paylanma qanunu
müşahidələrin sayının artması ilə normal qanuna yaxınlaşır.
Praktiki olaraq n>5 olanda hesab etmək olar ki,
−
x
-nın
paylanma qanunu normal qanuna yaxındır və
[ ]
x
σ
-ın
məlum
qiymətində
etibarlılıq
intervalının
təxmini
qiymətləndirilməsi üçün (2.13) ifadəsindən istifadə etmək
olar.Əgər dispersiya
[ ]
x
2
σ
məlumdursa, onda müşahidələrin
sayını n elə artırmaq lazımdır ki,
[ ]
x
S
qiyməti
[ ]
x
σ
-ə
yaxın olsun. Bu şərt praktiki olaraq n>30 olduqda yerinə
yetirilir.
Bu
halda
etibarlılıq
intervalını
təxmini
qiymətləndirmək üçün həmçinin (2.13) ifadəsindən istifadə
etmək olar.
58
Ə
gər müşahidələrin sırası x
1
,x
2
,...,x
n
digərlərindən
ə
həmiyyətli dərəcədə fərqlənən X
k
nəticəsini də özünə daxil
edirsə, onda yoxlamaq lazımdır ki, o, meyillənmə deyildirki.
Ayrı-ayrı ölçmə nəticələrinin
i
x
normal paylanma qanunu
üzrə səpələnməsi zamanı meyillənmənin üzə çıxarılması
aşağıdakı geyri-bərabərliyin yoxlanılmasına gətirib çıxarır:
dispersiya məlum olduqda –
(
)
;
1
np
k
n
n
x
x
x
Ζ
≤
−
−
−
σ
(2.15)
dispersiya məlum olmadıqda-
[ ]
( )
n
x
S
x
x
p
k
τ
≤
−
−
, (2.16)
burada p- meyillənmənin üzə çıxarılma ehtimalı;
Z
np
-np etibarlılıq ehtimalında Z kəmiyyətinin normal
paylanmasının etibarlılıq intervalının sərhəddi;
( )
n
p
τ
-P etibarlılıq intervalında n-dən asılı olan
xüsusi paylanmaya malik təsadüfi kəmiyyətin
τ
etibarlılıq
intervalının sərhəddidir.
Ə
gər qeyri-bərabərliklər (2.15) və (2.16) yerinə
yetirilmirsə, onda X
k
-nı yayınma adlandırmaq lazımdır. Onu
müşahidələr sırasından kənarlaşdırmaq və ölçmənin
nəticəsini qiymətləndirmək üçün
−
x
və
−
x
S
qiymətlərini
yenidən hesablamaq lazımdır.
Praktikada ölçülən kəmiyyət bir müşahidənin
nəticəsinə görə qiymətləndirildikdə tez-tez birdəfəli
ölçmələrə rast gəlinir. Bu hala çoxdəfəli ölçmələrin xüsusi
halı kimi baxmaq olar (n=1 olduqda). Onda (2.13) və (2.14)
ifadələri aşagıdakı şəkli alır:
;
σ
p
n
Z
x
x
±
=
(2.17)
( )
.
S
f
t
x
x
p
n
±
=
(2.18)
59
Burada ölçülən kəmiyyətin həqiqi qiyməti x kimi
birdəfəli ölçmə nəticəsini qəbul etmək lazımdır, çünki
burada sistematik xəta yoxdur. Yadda saxlamaq lazımdır ki,
birdəfəli ölçmə ilə
σ
-nı (və ya S-i) təyin etmək mümkün
deyil. Ona görə də ölçmənin nəticəsini (2.17) şəklində
yazmağın mümkün olması üçün orta kvadratik meylənməni
σ
ə
vvəlcədən aparılan ölçmələr əsasında və ya istifadə
edilən ölçmə vasitəsinin texniki sənədindən bilmək lazımdır.
Ə
gər
σ
-nın əvəzinə onun bir neçə əvvəlcədən aparılmış
ölçmələr üzrə tapılmış qiyməti S məlumdursa, onda
( )
f
t
p
-i
təyin etmək üçün (2.18) ifadəsində sərbəstlik dərəcəsinin f
sayını əvvəlcədən aparılmış ölçmələrin sayına bərabər
götürmək lazımdır (ondan vahidi çıxmaqla).
(2.13), (2.14) və (2.17), (2.18) ifadələrinin
müqayisəsi göstərir ki, müşahidələrin sayının artırılması
ölçülən kəmiyyətin həqiqi qiymətini daha dəqiq
qiymətləndirməyə imkan verir. Lakin yadda saxlamaq
lazımdır ki, müşahidələrin sayı (n) o qədər də çox ola biləz.
Beləki, uzun müddət ərzində ancaq eksperimentin aparılma
şə
raitinin dəyişməməsinə yox, həm də ölçülən kəmiyyətin
özünün ölçüsünün dəyişməməsinə zəmanət vermək olmaz.
Praktiki olaraq n-i elə qiymətlə məhdudlaşdırmaq lazımdır
ki, burada ölçmə nəticələrinin xətasının təsadüfi tərkib
hissəsi
ayrı-ayrı
müşahidə
nəticələrinin
sistematik
xətalarının kənarlaşdırılmış qalıqlarından xeyli az olsun.
Dolayı ölçmələr. Tutaq ki, ölçülən kəmiyyət y
birbaşa
ölçmələrlə
ölçülən
a,b,c,...arqumentlərinin
funksiyasıdır, yəni y=F(a,b,c,...). Bir sıra müşahidələrin
işlənməsini hər bir arqument üçün apararaq birbaşa ölçmə
metodu ilə arqumentlərin qiymətlərini tapmaq olar:
∑
=
a
n
i
a
a
n
А
1
;
∑
=
b
n
i
b
b
n
B
1
;
∑
=
c
n
i
c
c
n
C
1
;....
A,B,C,... dispersiyalarının qiymətləndirilməsi
60
[ ]
(
)
(
)
2
2
1
−
−
=
∑
a
a
na
i
n
n
A
a
A
S
;
[ ]
(
)
(
)
2
1
2
1
−
−
=
∑
b
b
nb
n
n
B
b
B
S
;...
burada n
a
,n
b
,n
c
,... – müvafiq arqumentin ölçülmələrinin
sayıdır.
Müşahidələrin nəticələrinin sonrakı işlənməsini
müxtəlif cür aparmaq olar. Ən çox yayılmış metod
Y=F(A,B,C,...) funksional asılılığın Teylor sırasında
yerləşdirilməsinə əsaslanır.
...,
+
∆
∂
∂
+
∆Β
∂
∂
+
∆Α
∂
∂
=
C
c
F
b
F
a
F
Y
Y
h
(2.19)
burada Y
h
-dolayı yolla ölçülən kəmiyyətin həqiqi qiyməti;
,
a
F
∂
∂
,
b
F
∂
∂
,
c
F
∂
∂
...-arqumentlərin həqiqi qiymətlərə malik
olduğu nöqtədə müvafiq arqument üzrə funksiyanın xüsusi
törəmələrinin qiymətləri:
,...
,
,
С
∆
∆Β
∆Α
-müvafiq arqumen-
tin ölçmə nəticəsinin xətalarıdır.
(2.19) ifadəsinin sağ tərəfindəki
,....
,
,
С
∆
∆Β
∆Α
təsadüfi kəmiyyətlərdir. Əgər arqumentlərin ölçmə nəticələri
bir-birindən fərqlənmirlərsə (təcrübədə bu tez-tez olur),
onda bu təsadüfi kəmiyyətlər qeyri-asılıdırlar.
A,B,C,... arqumentlərinin qiymətlərini funksional
asılılığa qoyan zaman alınmış təsadüfi kəmiyyətin Y riyazi
gözləməsini və dispersiyasını tapaq:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
...,
2
2
2
2
2
2
2
+
∂
∂
+
Β
∂
∂
+
Α
∂
∂
=
Υ
=
Υ
C
C
F
b
F
a
F
D
σ
σ
σ
σ
(2.20)
burada
[ ]
[ ]
[ ]
...
,
,
2
2
2
C
B
σ
σ
σ
Α
-uyğun olaraq A,B,C,...
arqumentlərinin qiymətlərinin dispersiyalarıdır.
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
....;
+
∆
Μ
∂
∂
+
∆Β
Μ
∂
∂
+
∆Α
Μ
∂
∂
+
Υ
=
Υ
Μ
c
c
F
b
F
a
F
h
61
Ə
gər arqumentlərin həqiqi qiymətlərini təyin edən
zaman sistematik xətalar kənarlaşdırılmışdırsa, onda
[ ]
[ ]
[ ]
.
0
... =
=
∆
Μ
=
∆Β
Μ
=
∆Α
Μ
C
Bu halda
[ ]
h
Υ
=
Υ
Μ
və,
deməli, Y=F(A,B,C,...) qiymətini dolayı yolla ölçülən
kəmiyyətin həqiqi qiyməti kimi qəbul etmək olar. Alınmış
nəticənin Y dispersiyasını bilavasitə (2.20) ifadəsi ilə
hesablamaq olmaz,çünki xüsusi törəmələrin qiymətlərini
hesablamaq üçün arqumentlərin həqiqi qiymətlərini bilmək
tələb olunur. Arqumentlərin əsl qiymətləri əvəzinə onların
qiymətləndirilməsi A,B,C,... məlumdur. Ona görə də
,...
,
,
c
F
b
F
a
F
∂
∂
∂
∂
∂
∂
qiymətləri əvəzinə onların qiymətləndi-
rilməsindən
(
)
(
)
(
)
,...
,...
,
,
,
,...
,
,
,
,...
,
,
c
C
B
A
F
b
C
B
A
F
a
C
B
A
F
∂
∂
∂
∂
∂
∂
istifadə etmək lazımdır. Burada arqumentlərin A,B,C,...
kəsişdiyi nöqtədə törəmələri hesablayırlar.
Dolayı ölçmənin nəticəsinin xətasının etibarlılıq
intervalını
tapmaq
üçün
(
)
[ ]
Y
Y
Y
u
σ
−
və
ya
(
)
[ ]
Y
S
Y
Y
u
−
kəmiyyətinin paylanma qanununu təyin
etmək lazımdır.
Bu
kəmiyyətlərin
paylanma
qanunu
hətta
arqumentlərin təsadüfi xətalarının paylanması normal
qanunu tabe olduqda belə çox mürəkkəbdir. Bu zaman
aşağıdakı halları nəzərdə saxlamaq lazımdır.
Ə
gər Y xətti funksiyadırsa
...
+
+
+
=
c
b
a
y
γ
β
α
(burada
,...
,
,
γ
β
α
məlum sabit əmsallardır), onda bu
ə
msallara bərabər olan
,...
,
,
c
F
b
F
a
F
∂
∂
∂
∂
∂
∂
törəmələri qeyri-
təsadüfi kəmiyyətlərdir və kəmiyyətin xətasının məlum
dispersiyalarında Y-i düstur (2.20) ilə hesablamaq olar. Bu
zaman
(
)
[ ]
Z
Y
Y
Y
h
=
−
σ
və ölçmə nəticəsini P etibarlılıq
62
ehtimalı ilə
şəklində yazmaq olar.
Ə
gər xətti asılılıq zamanı arqumentlərin xətalarının
dispersiyaları məlum deyilsə, onda
(
)
[ ]
Υ
Υ
−
Υ
S
h
kəsirinin
paylanma qanununu praktika üçün kifayət qədər dəqiqliklə
Styüdent paylanma qanunu ilə ifadə etmək olar. Ən yaxşı
ifadəetməni
Styüdent
paylanma
qanunu
sərbəstlik
dərəcələrinin sayı ilə verir və bunu effekt adlandırırlar.
Sərbəstlik dərəcələrinin effektiv sayını aşağıdakı düstur ilə
tapmaq olar:
(2.21)
burada f
a
,f
b
,f
c
-uyğun olaraq
[ ]
[ ]
[ ]
...
,
,
2
2
2
C
S
B
S
A
S
dispersiyaların
qiymətləndirilməsinin
sərbəstlik
dərəcələrinin sayıdır.
Belə halda P etibarlılıq ehtimalı ilə ölçmənin
nəticəsini
[ ]
У
S
t
У
У
f
ef
p
h
)
(
±
=
şəklində yazmaq olar.
Alınmış düsturlardan qeyri-xətti asılılıqlar üçün də
istifadə etmək olar. Bunu o vaxt etmək olar ki,
arqumentlərin ölçmə xətaları çox kiçik olur və funksiyanın
ə
yrixətliliyi hiss olunmur. Bu o deməkdir ki, funksiyanı
kifayət qədər dəqiqliklə Teylor sırası vasitəsilə ifadə etmək
olar.
Diqqət yetirək ki, əgər bir neçə arqument üçün
xətaların dispersiyaları məlumdursa, onda (2.21) düsturunda
bu arqumentlər üçün sərbəstlik dərəcələrinin sayını
sonsuzluğa bərabər qəbul etmək lazımdır, beləki, sonsuz
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
(
)
[ ]
(
)
[ ]
(
)
,
2
....
2
2
2
......
4
4
4
4
4
4
2
2
2
2
2
2
2
−
+
∂
∂
+
+
∂
∂
+
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
c
b
ef
f
C
S
c
F
f
B
S
b
F
fa
A
S
a
F
C
S
c
F
B
S
b
F
A
S
a
F
f
63
ölçmələr zamanı dispersiyanın qiyməti əsl dispersiyaya
yaxınlaşır.
Arqumentlərin birdəfəli ölçülmələri zamanı dolayı
ölçülən kəmiyyətin nəticəsinin təyini proseduru çoxsaylı
ölçmələrdə olduğu kimi saxlanılır, lakin burada birsaylı
birbaşa ölçmələr zamanı edilmiş iradlar nəzərə alınır.
Dostları ilə paylaş: |