Məmmədov N. R.,Aslanov Z. Y.,Seydəliyev İ. M.,Hacızalov M. N.,Dadaşova K. S



Yüklə 7,93 Mb.
Pdf görüntüsü
səhifə6/46
tarix24.05.2020
ölçüsü7,93 Mb.
#31490
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   46
Zabit-Aslanov metrologiya


2.4.Ölçmə nəticələrinin işlənməsi.  

Birdəfəli və çoxdəfəli ölçmələ

 

 



Ölçmələrin  (müşahidələrin)  nəticələrinin  işlənməsi 

ölçülən  kəmiyyətin  qiymətinin  müəyyən  edilməsindən  və 

alınmış  ölçmə  nəticəsinin  xətasının  qiymətləndirilməsindən 

ibarətdir.  Müşahidələrin  nəticələrinin  işlənməsi  metodları 

ə

vvəlcədən  alınan  informasiyadan  asılı  olaraq  müxtəlif  ola 



bilər.  Eksperimenti  aparan  mütəxəssis  xətaların  mənbəi  və 

ə

mələgəlmə  xarakteri,  eksperimentin  aparılma  şəraiti, 



istifadə  olunan  ölçmə  vasitələrinin  xassələri  haqqında 

informasiyaya malik olur. 

 

Müxtəlif ölçmə növlərində müşahidənin nəticələrinin 



işlənməsinin ən çox xarakterik hallarına baxaq. 

 

Birbaşa  ölçmələr.    Fərz  edək  ki,  çoxdəfəli  ölçmə 

zamanı  bizi  maraqlandıran  kəmiyyətlər  n  ədəd  ayrı-ayrı 

müşahidə  nəticələri  şəklində  alınmışdır.  Hər  müşahidədən 

sistematik  xətanı  kənarlaşdıraraq  düzəldilmiş  x

1

,x



2

,...,x


n

 

ölçmə  sırasını  alırıq.  Bu  sıranın  riyazi  gözləməsi  ölçülən 



kəmiyyətin  həqiqi  qiymətidir.  Ölçülən  kəmiyyətin  həqiqi 

qiymətini orta riyazi qiymət kimi qəbul edirik: 



n

x

n

x

x

x

x

n

i

i

n

=



=

+



+

+

=



1

2

1



...

 

şahidənin  ayrı-ayrı  qiymətləri  və  orta  kvadratik 



qiymə

arasındakı 

meyylənmə 

(fərqlə

;

1



x

=

ρ



;

;......,


2

2

x



=

ρ



 

x

x

u

u

=



ρ



ölçmə 

55 

 

sırasında  nəticələrin  sərələnməsi  və  ya  qalıq  xətaları 



adlandırılır.  Onlar  həm  müsbət,  həm  də  mənfi  ola  bilər. 

Orta  riyazi  qiymətin  xassəsinə  görə  qalıq  xətasının  cəbri 

cəmi

  sıfra  bərabərdir,  yəni

0

=



i

ρ

.  Bundan  x -  nı 



hesablayan zaman nəzarət üçün istifadə etmək lazımdır. 

Ə

gər  alınmış  müşahidələr  sırasının  dispersiyası 

ə

vvəlki  eksperimentlərdən  və  ya  tətbiq  edilən  ölçmə 

vasitələrinin  texniki  sənədlərindən  məlumdursa,  onda  orta 

cəbri dispersiyanı aşağıdakı düsturla təyin etmək olar: 

[ ]


n

x

x

2

2



σ

σ

=











burada 

[ ]


x

2

σ



  -  bu  sıranın  ölçülən  kəmiyyətinin  həqiqi 

qiymətinin (orta cəbri) dispersiyası; 

              

[ ]


x

2

σ



  -    müşahidələrin  düzəldilmiş  sırasının  dis-

persiyasıdır. 

 

Ə

gər  sıranın  dispersiyası  məlum  deyilsə,  onda  onun 



qiymətləndirilməsini aşağıdakı düsturla təyin etmək olar: 

                            

[ ]





=

2

2



1

1

i



p

n

x

S

,               (2.9) 

burada 

i

ρ

- müşahidələrin düzəldilmiş sırasının qalıq 



xətalarıdır. 

Bu  halda  ölçülən  kəmiyyətin  həqiqi  qiymətinin 

dispersiyasının qiymətləndirilməsi üçün aşağıdakı düstürdan 

istifadə olunur: 

[ ]

[ ]


.

1

2



2

x

S

n

x

S

=

                                            (2.10) 



Ölçmə  xətasının  etibarlı  intervalını  tapmaq  üçün 

kəmiyyətin paylanma qanununu tapmaq lazımdır: 

dispersiya məlum olduqda - 

[ ]


;

/

)



(

x

x

x

i

σ



                                               (2.11) 

dispersiya məlum olmadıqda –  



56 

 

                



[ ]

x

S

x

x

i

/

)



( −

                                      (2.12) 

Beləki,  (2.11)  ifadəsinə  ancaq  bir  təsadüfi  kəmiyyət 

daxildir,    onda  bu  ifadə  ilə  təyin  edilən  kəmiyyət 

paylanma  qanununun  növü  kəmiyyətinin  paylanma 

qanununun  növü  ilə  təyin  edilir.  Ayrı-ayrı  nəticələrin 

i

x

 

normal  paylanma  qanunu  zamanı  -nın  paylanma  qanunu 



da  normal  olur.  Bu,  ehtimal  nəzəriyyəsindən  məlum  olan 

normal  qanunun  sabitlik  xassəsi  ilə  izah  edilir.  Beləki, 

normal  qanun  üzrə  paylanmış  təsadüfi  kəmiyyətlərin  cəmi 

normal  qanun  üzrə  paylanmış  təsadüfi  kəmiyyəti  verir. 

Beləliklə,  normal  paylanma  qanununda  (2.11)  ifadəsi  ilə 

təyin  edilən  təsadüfi  kəmiyyətin  x

i   

riyazi  gözləməsi  sıfra 



bərabər  və  dispersiyası  vahidə  bərabər  normal  paylanma 

qanununa  malikdir.  Bu  cür  normal  paylanma  qanunlu 

təsadüfi kəmiyyəti z-lə işarə edək. 

(2.12) ifadəsi iki təsadüfi kəmiyyəti 



x

və 


[ ]

x

S

özündə 


birləşdirir.  Odur  ki,  bu  ifadə  ilə  təyin  edilən  kəmiyyətin 

paylanma qanunu (2.11) ifadəsi ilə təyin  edilən  kəmiyyətin 

paylanma  qanunundan  fərqlənir.  Ehtimallar  nəzəriyyəsində 

sübut edilmişdir ki, normal paylanma qanunu zamanı (2.12) 

ifadəsi  ilə  təyin  edilən  x

i

  təsadüfi  kəmiyyəti  Styüdent 



paylanma  qanununa  malikdir.  Styüdent  qanunu  üzrə 

paylanan  təsadüfi  kəmiyyəti  t  ilə  işarə  edək.  z  və  t  üçün 

cədvəllər  vardır  ki,  onların  köməyi  ilə  Z

və  t



p

)-in 

qiymətlərini tapmaq olar. f ədədi  sərbəstlik dərəcəsi adlanır; 

baxılan hal üçün f=n-1. 

Ölçmələr  sırasında  ölçmələrin  sayı  nə  qədər  çox 

olarsa, 










x



S

  qiyməti  həqiqi  orta  kvadratik  meyylənməyə 











x

σ

 

daha yaxın olur. Deməli, müşahidələrin sayı artdıqca 



57 

 

Styudent  paylanma  qanunu  normal  qanuna  yaxınlaşır. 



Praktiki olaraq  K>30 olduqda 

( )


f

t

Z

P

P

=

olur. 



Z

p

  və  ya  t



p

(f)  qiymətlərini  bilərək  (2.11)  və  (2.12) 

ifadələri  əsasında  (2.9)  və  (2.10)  düsturlarını  nəzərə 

almaqla,  ölmçmələrin  nəticələrinin  P  etibarlı  ehtimalla 

yazmaq olar: 

dispersiya məlum olduqda –  

[ ]

;

n



x

x

x

x

x

p

p

u

σ

σ



Ζ

±

=









Ζ

±



=



                                  

(2.13) 

dispersiya məlum olmadıqda – 



( )

( )


[ ]

.

n



x

S

f

t

x

x

S

f

t

x

p

p

u

±

=









±

=



Χ



                         (2.14) 

Ə

gər ayrı-ayrı ölçmə nəticələrinin paylanma qanunu 



normal qanundan fərqlənirsə, onda (2.11) və (2.12) ifadələri 

ilə təyin olunan təsadüfi kəmiyyətlərin paylanma qanununu 

tapmaq  çətindir.  Belə  halda  aşağıdakı  təkliflər  verilə  bilər. 



x

-ın  paylanma  qanununun  növü  qeyri-asılı  təsadüfi 

kəmiyyətlərin  cəminin  paylanma  qanunu  ilə  təyin  edilir. 

Ə

gər bütün x



i

-lər eyni paylanma qanununa malikdirsə, onda 

mərkəzi  hədd  teoremi  əsasında 



x

-  nın    paylanma  qanunu 

müşahidələrin sayının artması ilə normal qanuna yaxınlaşır. 

Praktiki  olaraq  n>5  olanda  hesab  etmək  olar  ki, 



x

-nın

 

paylanma  qanunu  normal  qanuna  yaxındır  və 



[ ]

x

σ

-ın



 

məlum 


qiymətində 

etibarlılıq 

intervalının 

təxmini 


qiymətləndirilməsi  üçün  (2.13)  ifadəsindən  istifadə  etmək 

olar.Əgər dispersiya 

[ ]

x

2

σ



məlumdursa, onda müşahidələrin 

sayını  n  elə  artırmaq  lazımdır  ki, 

[ ]

x

S

  qiyməti 

[ ]

x

σ

  -ə 



yaxın  olsun.  Bu  şərt  praktiki  olaraq  n>30  olduqda  yerinə 

yetirilir. 

Bu 

halda 


etibarlılıq 

intervalını 

təxmini 

qiymətləndirmək  üçün  həmçinin  (2.13)  ifadəsindən  istifadə 

etmək olar. 


58 

 

Ə



gər  müşahidələrin  sırası  x

1

,x



2

,...,x


n

  digərlərindən 

ə

həmiyyətli dərəcədə fərqlənən X



k

 nəticəsini də özünə daxil 

edirsə, onda yoxlamaq lazımdır ki, o, meyillənmə deyildirki. 

Ayrı-ayrı  ölçmə  nəticələrinin 



i

x

  normal  paylanma  qanunu 

üzrə  səpələnməsi  zamanı  meyillənmənin  üzə  çıxarılması 

aşağıdakı geyri-bərabərliyin yoxlanılmasına gətirib çıxarır: 

dispersiya məlum olduqda – 

(

)



;

1

np



k

n

n

x

x

x

Ζ





σ

                                        (2.15) 

dispersiya məlum olmadıqda- 

[ ]


( )

n

x

S

x

x

p

k

τ



,                                    (2.16) 



burada p- meyillənmənin üzə  çıxarılma ehtimalı; 

Z

np



-np etibarlılıq ehtimalında Z kəmiyyətinin normal 

paylanmasının etibarlılıq intervalının sərhəddi; 

( )

n

p

τ

-P  etibarlılıq  intervalında  n-dən  asılı  olan 



xüsusi  paylanmaya  malik  təsadüfi  kəmiyyətin 

τ

etibarlılıq 



intervalının sərhəddidir. 

Ə

gər  qeyri-bərabərliklər  (2.15)  və  (2.16)  yerinə 



yetirilmirsə, onda X

k

-nı yayınma adlandırmaq lazımdır. Onu 



müşahidələr  sırasından  kənarlaşdırmaq  və  ölçmənin 

nəticəsini  qiymətləndirmək  üçün 



x

  və 










x



S

qiymətlərini 

yenidən hesablamaq lazımdır. 

Praktikada  ölçülən  kəmiyyət  bir  müşahidənin 

nəticəsinə  görə  qiymətləndirildikdə  tez-tez  birdəfəli 

ölçmələrə  rast  gəlinir.  Bu  hala  çoxdəfəli  ölçmələrin  xüsusi 

halı kimi baxmaq olar (n=1 olduqda). Onda (2.13) və (2.14) 

ifadələri aşagıdakı şəkli alır: 

;

σ

p



n

Z

x

x

±

=



                                     (2.17) 

( )


.

S

f

t

x

x

p

n

±

=



                                  (2.18) 

59 

 

Burada  ölçülən  kəmiyyətin  həqiqi  qiyməti  x  kimi 



birdəfəli  ölçmə  nəticəsini  qəbul  etmək  lazımdır,  çünki 

burada sistematik xəta yoxdur. Yadda saxlamaq lazımdır ki, 

birdəfəli  ölçmə  ilə 

σ

-nı  (və  ya  S-i)  təyin  etmək  mümkün 



deyil.  Ona  görə  də  ölçmənin  nəticəsini  (2.17)  şəklində 

yazmağın mümkün olması üçün orta kvadratik meylənməni 

σ

ə

vvəlcədən  aparılan  ölçmələr  əsasında  və  ya  istifadə 



edilən ölçmə vasitəsinin texniki sənədindən bilmək lazımdır. 

Ə

gər 



σ

-nın  əvəzinə  onun  bir  neçə  əvvəlcədən  aparılmış 

ölçmələr üzrə tapılmış qiyməti S məlumdursa, onda 

( )


f

t

p

-i 


təyin  etmək  üçün  (2.18)  ifadəsində  sərbəstlik  dərəcəsinin  f 

sayını  əvvəlcədən  aparılmış  ölçmələrin  sayına  bərabər 

götürmək lazımdır (ondan vahidi çıxmaqla). 

 

(2.13),  (2.14)  və  (2.17),  (2.18)  ifadələrinin 



müqayisəsi  göstərir  ki,  müşahidələrin  sayının  artırılması 

ölçülən  kəmiyyətin  həqiqi  qiymətini  daha  dəqiq 

qiymətləndirməyə  imkan  verir.  Lakin  yadda  saxlamaq 

lazımdır ki, müşahidələrin  sayı (n) o qədər də çox ola biləz. 

Beləki, uzun müddət ərzində ancaq  eksperimentin aparılma 

şə

raitinin  dəyişməməsinə  yox,  həm  də  ölçülən  kəmiyyətin 



özünün  ölçüsünün  dəyişməməsinə  zəmanət  vermək  olmaz. 

Praktiki  olaraq  n-i  elə  qiymətlə  məhdudlaşdırmaq  lazımdır 

ki,  burada  ölçmə  nəticələrinin  xətasının  təsadüfi  tərkib 

hissəsi 


ayrı-ayrı 

müşahidə 

nəticələrinin 

sistematik 

xətalarının kənarlaşdırılmış qalıqlarından xeyli az olsun. 

 

Dolayı  ölçmələr.  Tutaq  ki,  ölçülən  kəmiyyət  y 

birbaşa 

ölçmələrlə 

ölçülən 

a,b,c,...arqumentlərinin 

funksiyasıdır,  yəni  y=F(a,b,c,...).  Bir  sıra  müşahidələrin 

işlənməsini  hər  bir  arqument  üçün  apararaq  birbaşa  ölçmə 

metodu ilə arqumentlərin qiymətlərini tapmaq olar: 

=



a

n

i

a

a

n

А

1



=



b

n

i

b

b

n

B

1



=

c



n

i

c

c

n

C

1

;.... 



A,B,C,... dispersiyalarının qiymətləndirilməsi  

60 

 

[ ]



(

)

(



)

2

2



1



=



a



a

na

i

n

n

A

a

A

S

;              

[ ]

(

)



(

)

2



1

2

1



=





b

b

nb

n

n

B

b

B

S

;... 


burada  n

a

,n



b

,n

c



,...  –  müvafiq  arqumentin  ölçülmələrinin 

sayıdır. 

Müşahidələrin  nəticələrinin  sonrakı  işlənməsini 

müxtəlif  cür  aparmaq  olar.  Ən  çox  yayılmış  metod 

Y=F(A,B,C,...)  funksional  asılılığın  Teylor  sırasında 

yerləşdirilməsinə əsaslanır. 

...,

+



+



∆Β



+

∆Α



=

C



c

F

b

F

a

F

Y

Y

h

               (2.19) 

burada  Y

h

-dolayı  yolla  ölçülən  kəmiyyətin  həqiqi  qiyməti;  



,

a

F



 

,

b



F



 

,

c



F



...-arqumentlərin  həqiqi  qiymətlərə  malik 

olduğu  nöqtədə  müvafiq  arqument  üzrə  funksiyanın  xüsusi 

törəmələrinin  qiymətləri:

,...


,

,

С



∆Β

∆Α



-müvafiq  arqumen-

tin ölçmə nəticəsinin xətalarıdır. 

(2.19)  ifadəsinin  sağ  tərəfindəki 

,....


,

,

С



∆Β

∆Α



 

təsadüfi kəmiyyətlərdir. Əgər arqumentlərin ölçmə nəticələri 

bir-birindən  fərqlənmirlərsə  (təcrübədə  bu  tez-tez  olur), 

onda bu təsadüfi kəmiyyətlər qeyri-asılıdırlar. 

A,B,C,...  arqumentlərinin  qiymətlərini  funksional 

asılılığa  qoyan  zaman  alınmış  təsadüfi  kəmiyyətin  Y  riyazi 

gözləməsini və dispersiyasını tapaq: 

 

[ ]



[ ]

[ ]


[ ]

[ ]


...,

2

2



2

2

2



2

2

+







+



Β







+

Α







=

Υ



=

Υ

C



C

F

b

F

a

F

D

σ

σ



σ

σ

(2.20) 



 

burada 


[ ]

[ ]


[ ]

...


,

,

2



2

2

C



B

σ

σ



σ

Α

-uyğun  olaraq  A,B,C,... 



arqumentlərinin qiymətlərinin dispersiyalarıdır. 

[ ]


[ ]

[ ]


[ ]

....;


+

Μ



+



∆Β

Μ



+

∆Α



Μ



+

Υ

=



Υ

Μ

c



c

F

b

F

a

F

h

61 

 

Ə



gər  arqumentlərin  həqiqi  qiymətlərini  təyin  edən 

zaman  sistematik  xətalar  kənarlaşdırılmışdırsa,  onda 

[ ]

[ ]


[ ]

.

0



... =

=



Μ

=

∆Β



Μ

=

∆Α



Μ

C

 Bu halda  

[ ]

h

Υ

=



Υ

Μ

 və, 



deməli,  Y=F(A,B,C,...)    qiymətini  dolayı  yolla  ölçülən 

kəmiyyətin  həqiqi  qiyməti  kimi  qəbul  etmək  olar.  Alınmış 

nəticənin  Y  dispersiyasını  bilavasitə  (2.20)  ifadəsi  ilə 

hesablamaq  olmaz,çünki  xüsusi  törəmələrin  qiymətlərini 

hesablamaq üçün  arqumentlərin həqiqi qiymətlərini bilmək 

tələb  olunur.  Arqumentlərin  əsl  qiymətləri  əvəzinə  onların 

qiymətləndirilməsi  A,B,C,...  məlumdur.  Ona  görə  də 

,...


,

,

c



F

b

F

a

F





qiymətləri  əvəzinə  onların  qiymətləndi-

rilməsindən 

(

)



(

)

(



)

,...


,...

,

,



,

,...


,

,

,



,...

,

,



c

C

B

A

F

b

C

B

A

F

a

C

B

A

F





  

istifadə  etmək  lazımdır.  Burada  arqumentlərin  A,B,C,... 



kəsişdiyi nöqtədə törəmələri hesablayırlar. 

Dolayı  ölçmənin  nəticəsinin  xətasının  etibarlılıq 

intervalını 

tapmaq 


üçün 

 

(



)

[ ]


Y

Y

Y

u

σ



 

və 


ya

(

)



[ ]

Y

S

Y

Y

u

kəmiyyətinin    paylanma  qanununu  təyin 



etmək lazımdır. 

Bu 


kəmiyyətlərin 

paylanma 

qanunu 

hətta 


arqumentlərin  təsadüfi  xətalarının  paylanması  normal 

qanunu  tabe  olduqda  belə  çox  mürəkkəbdir.  Bu  zaman 

aşağıdakı halları nəzərdə saxlamaq lazımdır. 

Ə

gər  Y  xətti  funksiyadırsa 



...

+

+



+

=

c



b

a

y

γ

β



α

 

(burada 



,...

,

,



γ

β

α



  məlum  sabit  əmsallardır),  onda  bu 

ə

msallara  bərabər  olan 



,...

,

,



c

F

b

F

a

F





  törəmələri  qeyri-

təsadüfi  kəmiyyətlərdir  və  kəmiyyətin  xətasının  məlum 

dispersiyalarında  Y-i  düstur  (2.20)  ilə  hesablamaq  olar.  Bu 

zaman 

(

)



[ ]

Z

Y

Y

Y

h

=



σ

  və  ölçmə  nəticəsini  P  etibarlılıq 



62 

 

ehtimalı  ilə 



  şəklində  yazmaq  olar.

 

 



Ə

gər  xətti  asılılıq  zamanı  arqumentlərin  xətalarının 

dispersiyaları məlum deyilsə, onda 

(

)



[ ]

Υ

Υ



Υ

S



h

 kəsirinin 

paylanma  qanununu  praktika  üçün  kifayət  qədər  dəqiqliklə 

Styüdent  paylanma  qanunu  ilə  ifadə  etmək  olar.  Ən  yaxşı 

ifadəetməni 

Styüdent 

paylanma 

qanunu 


sərbəstlik 

dərəcələrinin  sayı  ilə  verir  və  bunu  effekt  adlandırırlar. 

Sərbəstlik dərəcələrinin effektiv sayını aşağıdakı düstur ilə  

tapmaq olar: 

 

(2.21) 


 

 

 



 

 

burada  f



a

,f

b



,f

c

-uyğun  olaraq 



[ ]

[ ]


[ ]

...


,

,

2



2

2

C



S

B

S

A

S

 

dispersiyaların 



qiymətləndirilməsinin 

sərbəstlik 

dərəcələrinin sayıdır. 

 

Belə  halda  P  etibarlılıq  ehtimalı  ilə  ölçmənin 



nəticəsini  

[ ]


У

S

t

У

У



f

ef

p

h

)

(



±

=

 şəklində yazmaq olar.  



 

Alınmış  düsturlardan  qeyri-xətti  asılılıqlar  üçün  də 

istifadə  etmək  olar.  Bunu  o  vaxt  etmək  olar  ki, 

arqumentlərin  ölçmə  xətaları  çox  kiçik  olur  və  funksiyanın 

ə

yrixətliliyi  hiss  olunmur.  Bu  o  deməkdir  ki,  funksiyanı 



kifayət qədər dəqiqliklə Teylor sırası vasitəsilə ifadə etmək 

olar. 


 

Diqqət  yetirək  ki,  əgər  bir  neçə  arqument  üçün 

xətaların dispersiyaları məlumdursa, onda (2.21) düsturunda 

bu  arqumentlər  üçün  sərbəstlik  dərəcələrinin  sayını 

sonsuzluğa  bərabər  qəbul  etmək  lazımdır,  beləki,  sonsuz 

[ ]


[ ]

[ ]


[ ]

(

)



[ ]

(

)



[ ]

(

)



,

2

....



2

2

2



......

4

4



4

4

4



4

2

2



2

2

2



2

2



+







+

+







+

+

















+







+







+







=

c



b

ef

f

C

S

c

F

f

B

S

b

F

fa

A

S

a

F

C

S

c

F

B

S

b

F

A

S

a

F

f

63 

 

ölçmələr  zamanı  dispersiyanın  qiyməti  əsl  dispersiyaya 



yaxınlaşır. 

 

Arqumentlərin  birdəfəli  ölçülmələri  zamanı  dolayı 



ölçülən  kəmiyyətin  nəticəsinin  təyini  proseduru  çoxsaylı 

ölçmələrdə  olduğu  kimi  saxlanılır,  lakin  burada  birsaylı 

birbaşa ölçmələr zamanı edilmiş iradlar nəzərə alınır. 

 


Yüklə 7,93 Mb.

Dostları ilə paylaş:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   46




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin