Məmmədov N. R.,Aslanov Z. Y.,Seydəliyev İ. M.,Hacızalov M. N.,Dadaşova K. S
Yüklə 7,93 Mb. Pdf görüntüsü
|
- Bu səhifədəki naviqasiya:
- Birba şa ölçm əl ər.
- Dolayı ölçm əl ər.
|
2.4.Ölçmə nəticələrinin işlənməsi. Birdəfəli və çoxdəfəli ölçmələr
Ölçmələrin (müşahidələrin) nəticələrinin işlənməsi ölçülən kəmiyyətin qiymətinin müəyyən edilməsindən və alınmış ölçmə nəticəsinin xətasının qiymətləndirilməsindən ibarətdir. Müşahidələrin nəticələrinin işlənməsi metodları ə vvəlcədən alınan informasiyadan asılı olaraq müxtəlif ola bilər. Eksperimenti aparan mütəxəssis xətaların mənbəi və ə mələgəlmə xarakteri, eksperimentin aparılma şəraiti, istifadə olunan ölçmə vasitələrinin xassələri haqqında informasiyaya malik olur.
Müxtəlif ölçmə növlərində müşahidənin nəticələrinin işlənməsinin ən çox xarakterik hallarına baxaq.
zamanı bizi maraqlandıran kəmiyyətlər n ədəd ayrı-ayrı müşahidə nəticələri şəklində alınmışdır. Hər müşahidədən sistematik xətanı kənarlaşdıraraq düzəldilmiş x 1 ,x 2 ,...,x
n
ölçmə sırasını alırıq. Bu sıranın riyazi gözləməsi ölçülən kəmiyyətin həqiqi qiymətidir. Ölçülən kəmiyyətin həqiqi qiymətini orta riyazi qiymət kimi qəbul edirik: n x n x x x x n i i n ∑ = − = + + + = 1 2 1 ...
qiymət arasındakı meyylənmə (fərqlər ; 1 x x − = ρ ; ;......,
2 2
x − = ρ x x u u − = ρ ) ölçmə 55
adlandırılır. Onlar həm müsbət, həm də mənfi ola bilər. Orta riyazi qiymətin xassəsinə görə qalıq xətasının cəbri cəmi sıfra bərabərdir, yəni 0 =
i ρ
hesablayan zaman nəzarət üçün istifadə etmək lazımdır. Ə
ə
[ ]
n x x 2 2 σ σ = − , burada [ ]
x 2 σ - bu sıranın ölçülən kəmiyyətinin həqiqi qiymətinin (orta cəbri) dispersiyası;
[ ]
x 2 σ - müşahidələrin düzəldilmiş sırasının dis- persiyasıdır.
Ə
qiymətləndirilməsini aşağıdakı düsturla təyin etmək olar:
[ ] ∑
= 2 2 1 1
p n x S , (2.9) burada
ρ - müşahidələrin düzəldilmiş sırasının qalıq xətalarıdır. Bu halda ölçülən kəmiyyətin həqiqi qiymətinin dispersiyasının qiymətləndirilməsi üçün aşağıdakı düstürdan istifadə olunur: [ ] [ ]
. 1 2 2 x S n x S = (2.10) Ölçmə xətasının etibarlı intervalını tapmaq üçün kəmiyyətin paylanma qanununu tapmaq lazımdır: dispersiya məlum olduqda - [ ]
; / ) ( x x x i σ − (2.11) dispersiya məlum olmadıqda – 56
[ ] x S x x i / ) ( − (2.12) Beləki, (2.11) ifadəsinə ancaq bir təsadüfi kəmiyyət
paylanma qanununun növü x kəmiyyətinin paylanma qanununun növü ilə təyin edilir. Ayrı-ayrı nəticələrin
normal paylanma qanunu zamanı x -nın paylanma qanunu da normal olur. Bu, ehtimal nəzəriyyəsindən məlum olan normal qanunun sabitlik xassəsi ilə izah edilir. Beləki, normal qanun üzrə paylanmış təsadüfi kəmiyyətlərin cəmi normal qanun üzrə paylanmış təsadüfi kəmiyyəti verir. Beləliklə, normal paylanma qanununda (2.11) ifadəsi ilə təyin edilən təsadüfi kəmiyyətin x i riyazi gözləməsi sıfra bərabər və dispersiyası vahidə bərabər normal paylanma qanununa malikdir. Bu cür normal paylanma qanunlu təsadüfi kəmiyyəti z-lə işarə edək. (2.12) ifadəsi iki təsadüfi kəmiyyəti −
və
[ ] x S özündə
birləşdirir. Odur ki, bu ifadə ilə təyin edilən kəmiyyətin paylanma qanunu (2.11) ifadəsi ilə təyin edilən kəmiyyətin paylanma qanunundan fərqlənir. Ehtimallar nəzəriyyəsində sübut edilmişdir ki, normal paylanma qanunu zamanı (2.12) ifadəsi ilə təyin edilən x i təsadüfi kəmiyyəti Styüdent paylanma qanununa malikdir. Styüdent qanunu üzrə paylanan təsadüfi kəmiyyəti t ilə işarə edək. z və t üçün cədvəllər vardır ki, onların köməyi ilə Z p və t p ( f )-in qiymətlərini tapmaq olar. f ədədi sərbəstlik dərəcəsi adlanır; baxılan hal üçün f=n-1. Ölçmələr sırasında ölçmələrin sayı nə qədər çox olarsa,
−
S qiyməti həqiqi orta kvadratik meyylənməyə
−
σ
57
Styudent paylanma qanunu normal qanuna yaxınlaşır. Praktiki olaraq K>30 olduqda ( )
f t Z P P = olur. Z p və ya t p (f) qiymətlərini bilərək (2.11) və (2.12) ifadələri əsasında (2.9) və (2.10) düsturlarını nəzərə almaqla, ölmçmələrin nəticələrinin P etibarlı ehtimalla yazmaq olar: dispersiya məlum olduqda – [ ] ;
x x x x x p p u σ σ Ζ ± = Ζ ± = − − −
(2.13) dispersiya məlum olmadıqda – ( ) ( )
[ ] .
x S f t x x S f t x p p u ± = ± = Χ − − − (2.14) Ə gər ayrı-ayrı ölçmə nəticələrinin paylanma qanunu normal qanundan fərqlənirsə, onda (2.11) və (2.12) ifadələri ilə təyin olunan təsadüfi kəmiyyətlərin paylanma qanununu tapmaq çətindir. Belə halda aşağıdakı təkliflər verilə bilər. −
-ın paylanma qanununun növü qeyri-asılı təsadüfi kəmiyyətlərin cəminin paylanma qanunu ilə təyin edilir. Ə gər bütün x i -lər eyni paylanma qanununa malikdirsə, onda mərkəzi hədd teoremi əsasında −
- nın paylanma qanunu müşahidələrin sayının artması ilə normal qanuna yaxınlaşır. Praktiki olaraq n>5 olanda hesab etmək olar ki, −
-nın
[ ] x σ -ın məlum
qiymətində etibarlılıq intervalının təxmini
qiymətləndirilməsi üçün (2.13) ifadəsindən istifadə etmək olar.Əgər dispersiya [ ]
2 σ məlumdursa, onda müşahidələrin sayını n elə artırmaq lazımdır ki, [ ]
qiyməti [ ]
σ -ə yaxın olsun. Bu şərt praktiki olaraq n>30 olduqda yerinə yetirilir. Bu halda
etibarlılıq intervalını təxmini qiymətləndirmək üçün həmçinin (2.13) ifadəsindən istifadə etmək olar.
58
Ə gər müşahidələrin sırası x 1 ,x 2 ,...,x
n digərlərindən ə həmiyyətli dərəcədə fərqlənən X k nəticəsini də özünə daxil edirsə, onda yoxlamaq lazımdır ki, o, meyillənmə deyildirki. Ayrı-ayrı ölçmə nəticələrinin i x normal paylanma qanunu üzrə səpələnməsi zamanı meyillənmənin üzə çıxarılması aşağıdakı geyri-bərabərliyin yoxlanılmasına gətirib çıxarır: dispersiya məlum olduqda – ( ) ; 1
k n n x x x Ζ ≤ − − − σ (2.15) dispersiya məlum olmadıqda- [ ]
( ) n x S x x p k τ ≤ − − , (2.16) burada p- meyillənmənin üzə çıxarılma ehtimalı; Z np -np etibarlılıq ehtimalında Z kəmiyyətinin normal paylanmasının etibarlılıq intervalının sərhəddi; ( )
τ -P etibarlılıq intervalında n-dən asılı olan xüsusi paylanmaya malik təsadüfi kəmiyyətin τ etibarlılıq intervalının sərhəddidir. Ə gər qeyri-bərabərliklər (2.15) və (2.16) yerinə yetirilmirsə, onda X k -nı yayınma adlandırmaq lazımdır. Onu müşahidələr sırasından kənarlaşdırmaq və ölçmənin nəticəsini qiymətləndirmək üçün −
və
−
S qiymətlərini yenidən hesablamaq lazımdır. Praktikada ölçülən kəmiyyət bir müşahidənin nəticəsinə görə qiymətləndirildikdə tez-tez birdəfəli ölçmələrə rast gəlinir. Bu hala çoxdəfəli ölçmələrin xüsusi halı kimi baxmaq olar (n=1 olduqda). Onda (2.13) və (2.14) ifadələri aşagıdakı şəkli alır: ; σ
n Z x x ± = (2.17) ( )
. S f t x x p n ± = (2.18) 59
Burada ölçülən kəmiyyətin həqiqi qiyməti x kimi birdəfəli ölçmə nəticəsini qəbul etmək lazımdır, çünki burada sistematik xəta yoxdur. Yadda saxlamaq lazımdır ki, birdəfəli ölçmə ilə σ -nı (və ya S-i) təyin etmək mümkün deyil. Ona görə də ölçmənin nəticəsini (2.17) şəklində yazmağın mümkün olması üçün orta kvadratik meylənməni σ ə
edilən ölçmə vasitəsinin texniki sənədindən bilmək lazımdır. Ə gər σ -nın əvəzinə onun bir neçə əvvəlcədən aparılmış ölçmələr üzrə tapılmış qiyməti S məlumdursa, onda ( )
f t p -i
təyin etmək üçün (2.18) ifadəsində sərbəstlik dərəcəsinin f sayını əvvəlcədən aparılmış ölçmələrin sayına bərabər götürmək lazımdır (ondan vahidi çıxmaqla).
(2.13), (2.14) və (2.17), (2.18) ifadələrinin müqayisəsi göstərir ki, müşahidələrin sayının artırılması ölçülən kəmiyyətin həqiqi qiymətini daha dəqiq qiymətləndirməyə imkan verir. Lakin yadda saxlamaq lazımdır ki, müşahidələrin sayı (n) o qədər də çox ola biləz. Beləki, uzun müddət ərzində ancaq eksperimentin aparılma şə raitinin dəyişməməsinə yox, həm də ölçülən kəmiyyətin özünün ölçüsünün dəyişməməsinə zəmanət vermək olmaz. Praktiki olaraq n-i elə qiymətlə məhdudlaşdırmaq lazımdır ki, burada ölçmə nəticələrinin xətasının təsadüfi tərkib hissəsi
ayrı-ayrı müşahidə nəticələrinin sistematik xətalarının kənarlaşdırılmış qalıqlarından xeyli az olsun.
birbaşa ölçmələrlə ölçülən a,b,c,...arqumentlərinin funksiyasıdır, yəni y=F(a,b,c,...). Bir sıra müşahidələrin işlənməsini hər bir arqument üçün apararaq birbaşa ölçmə metodu ilə arqumentlərin qiymətlərini tapmaq olar: ∑ = a n i a a n А 1 ; ∑ = b n i b b n B 1 ; ∑ =
n i c c n C 1 ;.... A,B,C,... dispersiyalarının qiymətləndirilməsi 60
[ ] ( ) ( ) 2 2 1 − − = ∑
a na i n n A a A S ; [ ] (
( ) 2 1 2 1 − − = ∑ b b nb n n B b B S ;...
burada n a ,n b ,n c ,... – müvafiq arqumentin ölçülmələrinin sayıdır. Müşahidələrin nəticələrinin sonrakı işlənməsini müxtəlif cür aparmaq olar. Ən çox yayılmış metod Y=F(A,B,C,...) funksional asılılığın Teylor sırasında yerləşdirilməsinə əsaslanır. ..., +
∂ ∂ + ∆Β ∂ ∂ + ∆Α ∂ ∂ =
c F b F a F Y Y h (2.19) burada Y h -dolayı yolla ölçülən kəmiyyətin həqiqi qiyməti; , a F ∂ ∂ ,
F ∂ ∂ ,
F ∂ ∂ ...-arqumentlərin həqiqi qiymətlərə malik olduğu nöqtədə müvafiq arqument üzrə funksiyanın xüsusi törəmələrinin qiymətləri: ,...
, , С ∆ ∆Β ∆Α -müvafiq arqumen- tin ölçmə nəticəsinin xətalarıdır. (2.19) ifadəsinin sağ tərəfindəki ,....
, , С ∆ ∆Β ∆Α təsadüfi kəmiyyətlərdir. Əgər arqumentlərin ölçmə nəticələri bir-birindən fərqlənmirlərsə (təcrübədə bu tez-tez olur), onda bu təsadüfi kəmiyyətlər qeyri-asılıdırlar. A,B,C,... arqumentlərinin qiymətlərini funksional asılılığa qoyan zaman alınmış təsadüfi kəmiyyətin Y riyazi gözləməsini və dispersiyasını tapaq:
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
..., 2 2 2 2 2 2 2 + ∂ ∂ + Β ∂ ∂ + Α ∂ ∂ = Υ = Υ
C F b F a F D σ σ σ σ (2.20) burada
[ ] [ ]
[ ] ...
, , 2 2 2
B σ σ σ Α -uyğun olaraq A,B,C,... arqumentlərinin qiymətlərinin dispersiyalarıdır. [ ]
[ ] [ ]
[ ] ....;
+ ∆ Μ ∂ ∂ + ∆Β Μ ∂ ∂ + ∆Α Μ ∂ ∂ + Υ = Υ Μ
c F b F a F h 61
Ə gər arqumentlərin həqiqi qiymətlərini təyin edən zaman sistematik xətalar kənarlaşdırılmışdırsa, onda [ ] [ ]
[ ] . 0 ... = = ∆ Μ = ∆Β Μ = ∆Α Μ C Bu halda [ ]
Υ = Υ Μ və, deməli, Y=F(A,B,C,...) qiymətini dolayı yolla ölçülən kəmiyyətin həqiqi qiyməti kimi qəbul etmək olar. Alınmış nəticənin Y dispersiyasını bilavasitə (2.20) ifadəsi ilə hesablamaq olmaz,çünki xüsusi törəmələrin qiymətlərini hesablamaq üçün arqumentlərin həqiqi qiymətlərini bilmək tələb olunur. Arqumentlərin əsl qiymətləri əvəzinə onların qiymətləndirilməsi A,B,C,... məlumdur. Ona görə də ,...
, ,
F b F a F ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ qiymətləri əvəzinə onların qiymətləndi- rilməsindən ( ) ( ) ( ) ,...
,... , , , ,...
, , , ,... , , c C B A F b C B A F a C B A F ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
istifadə etmək lazımdır. Burada arqumentlərin A,B,C,... kəsişdiyi nöqtədə törəmələri hesablayırlar. Dolayı ölçmənin nəticəsinin xətasının etibarlılıq intervalını tapmaq
üçün
( ) [ ]
Y Y Y u σ − və
ya ( ) [ ] Y S Y Y u − kəmiyyətinin paylanma qanununu təyin etmək lazımdır. Bu
kəmiyyətlərin paylanma qanunu hətta
arqumentlərin təsadüfi xətalarının paylanması normal qanunu tabe olduqda belə çox mürəkkəbdir. Bu zaman aşağıdakı halları nəzərdə saxlamaq lazımdır. Ə gər Y xətti funksiyadırsa ... + + + =
b a y γ β α
(burada ,... , , γ β α məlum sabit əmsallardır), onda bu ə msallara bərabər olan ,... , , c F b F a F ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ törəmələri qeyri- təsadüfi kəmiyyətlərdir və kəmiyyətin xətasının məlum dispersiyalarında Y-i düstur (2.20) ilə hesablamaq olar. Bu zaman (
[ ] Z Y Y Y h = − σ və ölçmə nəticəsini P etibarlılıq 62
ehtimalı ilə şəklində yazmaq olar.
Ə gər xətti asılılıq zamanı arqumentlərin xətalarının dispersiyaları məlum deyilsə, onda ( ) [ ] Υ Υ − Υ
h kəsirinin paylanma qanununu praktika üçün kifayət qədər dəqiqliklə Styüdent paylanma qanunu ilə ifadə etmək olar. Ən yaxşı ifadəetməni Styüdent paylanma qanunu
sərbəstlik dərəcələrinin sayı ilə verir və bunu effekt adlandırırlar. Sərbəstlik dərəcələrinin effektiv sayını aşağıdakı düstur ilə tapmaq olar:
(2.21)
burada f a ,f b ,f c -uyğun olaraq [ ] [ ]
[ ] ...
, , 2 2 2
S B S A S
dispersiyaların qiymətləndirilməsinin sərbəstlik dərəcələrinin sayıdır.
Belə halda P etibarlılıq ehtimalı ilə ölçmənin nəticəsini [ ]
У S t У У f ef p h ) ( ± = şəklində yazmaq olar. Alınmış düsturlardan qeyri-xətti asılılıqlar üçün də istifadə etmək olar. Bunu o vaxt etmək olar ki, arqumentlərin ölçmə xətaları çox kiçik olur və funksiyanın ə yrixətliliyi hiss olunmur. Bu o deməkdir ki, funksiyanı kifayət qədər dəqiqliklə Teylor sırası vasitəsilə ifadə etmək olar.
Diqqət yetirək ki, əgər bir neçə arqument üçün xətaların dispersiyaları məlumdursa, onda (2.21) düsturunda bu arqumentlər üçün sərbəstlik dərəcələrinin sayını sonsuzluğa bərabər qəbul etmək lazımdır, beləki, sonsuz [ ]
[ ] [ ]
[ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) , 2 .... 2 2 2 ...... 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 − + ∂ ∂ + + ∂ ∂ + + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =
b ef f C S c F f B S b F fa A S a F C S c F B S b F A S a F f 63
ölçmələr zamanı dispersiyanın qiyməti əsl dispersiyaya yaxınlaşır.
Arqumentlərin birdəfəli ölçülmələri zamanı dolayı ölçülən kəmiyyətin nəticəsinin təyini proseduru çoxsaylı ölçmələrdə olduğu kimi saxlanılır, lakin burada birsaylı birbaşa ölçmələr zamanı edilmiş iradlar nəzərə alınır.
Yüklə 7,93 Mb. Dostları ilə paylaş:
|