Məmmədov N. R.,Aslanov Z. Y.,Seydəliyev İ. M.,Hacızalov M. N.,Dadaşova K. S
Yüklə 7,93 Mb. Pdf görüntüsü
|
|
Birgə ölçmələr. Birgə ölçmələrin məqsədi kəmiyyətlər arasında funksional asılılığın təyin edilməsindən ibarətdir, məsələn, müqavimətin temperaturdan asılılığını. a və b kəmiyyətləri arasındakı asılılığı tapmaq üçün a kəmiyyətinin müxtəlif ölçülərini müəyyənləşdirmək və ölçmək və eyni zamanda b kəmiyyətini ölçmək lazımdır. Beləliklə, təsdiq olunan asılılığın a 1 ,b
; a 2 , b 2 ;...; a
n b n koordinatlarını almaq olar. Bu kəmiyyətlərin ölçülmələrinin nəticələri xətalara malik olduğu üçün alınmış koordinatlar axtarılan əsl asılılığa aid edilməyəcək. Hər ölçmə nəticəsində sistematik xətanı kənarlaşdırmaqla koordinatları dəqiqləşdirmək olar, lakin dəqiqləşdirilmiş koordinatlar da təsadüfi xətalara görə əsl asılılıqdan meyylənəcəkdir(səpələnəcəkdir).
Səpələnmə dərəcəsi dispersiya ilə xarakterizə edilir. Koordinat nöqtələri üzrə qurulmuş düzgün asılılıq kimi o asılılığı hesab etmək olar ki, burada koordinat nöqtələrinin dispersiyası bu asılılığa nəzərən minimal olacaq. Dispersiyanı qiymətləndirmək üçün koordinat nöqtələrinin meyylənmələrinin kvadratik cəmini əsl asılılıqdan çıxmaq lazımdır. Minimal dispersiyaya bu meyylənmələrin kvadratlarının cəminin minimal qiyməti uyğun gələcəkdir. Odur ki, əsl asılılığı axtarmaq üçün istifadə olunan metod ən kiçik kvadratlar metodu adlanır.
Bu metodun tətbiqinə a və b arasındakı xətti asılılıq misalında baxaq. Tutaq ki, a və b arasındakı asılılıq aşağıdakı tənlik vasitəsilə ifadə olunur: ). ,
( в в а β α ϕ β α = + = (2.22) 64
Eksperimentin nəticələri, sistematik xətaları kənarlaşdırdıqdan sonra, tədqiq edilən asılılığın a 1 ,b 1 ; a 2 ,b 2 ;...;a n ,b n koordinatlarını verir. Alınmış koordinatlarla ən yüksək tərzdə uyğunlaşan düz xətti necə çəkmək mümkün olduğunu həll etmək lazımdır. Başqa sözlə desək, eksperiment vasitəsilə alınmış koodinatları və tənliyin növünü bilərək, (2.22) tənliyindəki α və
β ə msallarını təyin etmək lazımdır.
(2.22) tənliyinə uyğun olaraq,əgər b kəmiyyəti b i - qiymətini qəbul edirsə, onda a-nın qiyməti bərabər olmalıdır ( )
b , , β α ϕ funksiyasına, lakin eksperiment a i qiymətini verir. Deməli, eksperimental nöqtə əsl nöqtədən ( ) i i b a , , β α ϕ − qiyməti qədər meyllənir. Eksperimental nöqtələrin əsl asılılıqdan meylliyinin kvadratlarının cəmini aşağıdakı ifadə ilə tapmaq olar:
( ) [ ] 2 1 , , ∑ = −
i i i b a β α ϕ , (2.23) burada n-eksperimental nöqtələrin sayıdır. (2.23) ifadəsini minimuma gətirən α və
β ə msallarının qiymətlərini tapaq. Bunun üçün bu ifadəni α və β üzrə
diferensiallaşdırırıq və törəmələri sıfıra bərabərləşdiririk:
( )
] ( ) ; 0 , , , , 2 1 = ∂ ∂ − − ∑ = α β α ϕ β α ϕ i n i i i b b a (2.24)
(
[ ] ( ) . 0 , , , , 2 1 = ∂ ∂ − − ∑ = β β α ϕ β α ϕ
n i i i b b a
(2.24) tənliklər sistemini (2.22) ifadəsini nəzərə almaqla aşağıdakı şəkilə gətirək:
∑ ∑ = = + =
i n i i i b n a 1 1 ; β α (2.25)
∑ ∑ ∑ = = − + =
i n i i i n i i i b b b a 1 1 2 1 , β α . 65
Bu tənliklər sistemini həll edərək β ə msalı üçün ifadə alırıq:
− − = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = 2 1 2 1 1 1 1 1 n i i n i i n i n i n i i i i b b n b a b a n β (2.26) β -nın qiymətini bilərək tapırıq n b n a n i i n i i ∑ ∑ = = − = 1 1 β α . Ümumi halda α və β -nın alınmış qiymətləri tənliyin a i və
b i əmsallarının əsl qiymətlərindən fərqlənir və təsadüfi kəmiyyətlərdir. Beləki, təsadüfi xətalarla təhrif olunmuş a i,
b i koordinatları da təsadüfi kəmiyyətlərdir. Əmsalların təyini xətaları bunlardır: u α α α − = ∆ və
. u β β β − = ∆ Bu
xətaların dispersiyaları müvafiq əmsalların dispersiyalarına bərabərdir, ↔ yəni ↔ [ ] [ ]
[ ] α σ α α 2 = = ∆ D D ↔ və
[ ] [ ]
[ ] . 2 β σ β β = = ∆ D D Bu dispersiyaları tapaq.
u
Şə kil 2.6.a i və b
i ölçmə xətasının tədqiq olunan asılılığa nəzərən eksperiment nöqtələrin səpələnməsinə
təsiri Ə vvəlcə a i və b
i -nın ölçmə xətalarının eksperimental nöqtələrin səpələnməsinə təsirinə baxaq. Tutaq ki, b=b i
66
olduqda a kəmiyyəti ölçülür. Əgər ölçmələr xətasız yerinə yetirilirsə, onda b i -nin qiymətini müəyyənləşdirərək a kəmiyyətinin koordinat nöqtəsinə1 uyğun gələn qiymətini alırıq (şək.2.6). Sonra tutaq ki, a kəmiyyəti xətasız, b kəmiyyəti isə xəta ilə ölçülür. Onda b i -nin qiymətini müəyyənləşdirən zaman b kəmiyyətinin əsl qiyməti b ∆
xətasına görə b u -ya bərabər götürülə bilər. Bu zaman a kəmiyyətinin qiyməti koordinat nöqtəsinə 2 uyğun gələcək. Lakin, qəbul edək ki, b i -nin qiymətini müəyyənləşdirərək koordinat nöqtəsi 2 əvəzinə koordinat nöqtəsi 2 1 -ə baxacayıq. Bu nöqtə tədqiq olunan asılılıqdan b a u b ∆ = ∆ β
qədər yana sürüşüb (burada u β - tədqiq edilən asılılığın əsl maillik əmsalıdır). Əgər a kəmiyyəti də xəta ilə ölçülürsə, onda koordinat nöqtəsi 2 1 bu kəmiyyətin qiyməti a a ∆ qədər yerini dəyişəcək və nöqtə 3-də olacaq. Elə bu nöqtəyə də a i ,b i koordinatlı nöqtə kimi baxırıq. Nöqtə 3 tədqiq olunan asılılıqdan b a a a ∆ + ∆ = ∆ β qədər yana sürüşür. Aydındır ki, ə gər
a a ∆ və b ∆ xətalarının dəyişməsi zamanı a ∆ dəyişməz qalarsa, onda eksperimental nöqtə 3 öz vəziyyətini dəyişməyəcəkdir. Bu zaman β və
α ə msallarının qiymətləri eyni qalacaq, cünki onlar ancaq eksperimental nöqtələrin vəziyyəti ilə təyin edilir. Ona görə hesab etmək olar ki, b kəmiyyətinin ölçülməsi xətasız yerinə yetirilir, eksperimental nöqtələrinin tədqiq olunan asılılığa nəzərən səpələnməsi isə ancaq
∆ + ∆ = ∆ β xətası ilə bağlıdır. a a ∆ və b ∆ xətaları qeyri-asılı təsadüfi kəmiyyətlərdir. Dispersiyaların tapılması qaydasını tətbiq edərək müəyyən edirik
ki, eksperimental nöqtələrin səpələnməsini xarakterizə ↔ edən ↔ dispersiya [ ] [ ]
[ ] [ ]
b a D a u a a ∆ + = ∆ = 2 2 2 σ β σ σ
ifadəsi ilə təyin edilir. Hesab edirik ki, a i -nin istənilən qiymətini ölçən zaman dispersiya eynidir.
67
Indi də β və
α əmsallarının dispersiyalarının bilavasitə qiymətləndirilməsinə keçək. Kəmiyyət b-nin xətasız ölçülməsini hesab edərək, b-nin əmsalların hesablanması ifadəsinə daxil olan istənilən qiymətinə qeyri- təsadüfi ədəd kimi baxmağa ixtiyarımız var. (2.26) ifadəsini cəbri dəyişmələr yolu ilə aşağıdakı formaya gətirmək olar: ( )
1 2 1 − − = ∑ ∑ = = n i i n i i i nb b b b a β
burada −
- b kəmiyyətinin koordinatlarının orta ədədi qiymətidir, n b b n i i = ∑ = − 1 . a i -lərin hamısı [ ]
a 2 σ dispersiyalı qeyri-asılı təsadüfi kəmiyyət olduğuna görə β əmsalının dispersiyasını aşağıdakı ifadə ilə tapmaq olar: [ ]
[ ] [ ]
. 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 a b n b a b n b b b n i n i i n i i σ σ β σ ∑ ∑ ∑ = − = = − − = − − = (2.27)
α ə msalının dispersiyasını tapmaq üçün (2.25) tənliklər sistemindən β əmsalını kənarlaşdıraraq bu sistemi α əmsalına nəzərən həll etmək lazımdır:
∑
∑ = = = − − = n i i n i n i i b b n n b b b a 1 2 2 1 1 2 1 2 1 α
Burada n α ə msalının dispersiyasını tapırıq: 68
[ ] [ ] [ ]
β α α σ σ σ 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 ( ) ) (
n i i n i n i i n i n i i b b b b b b ∑ − ∑ ∑ = = = = ∑ = − − − − =
(2.28)
hesablamaq üçün eksperimental nöqtələrin səpələnmə dispersiyasını [ ]
2 σ bilmək lazımdır. Bu dispersiyanın dəqiq qiymətini hətta a və b kəmiyyətlərinin dəyişmə xətalarının məlum dispersiyalarında tapmaq olmaz, çünki ə sl maillik əmsalını u β bilmək lazımdır. Ona görə də [ ] β σ 2 və
[ ] α σ 2 dispersiyaları əvəzinə onların qiymətlərini alırlar. Burada [ ]
a 2 σ əvəzinə onun aşağıdakı qiymətlə- rindən birini istifadə edirlər: • xətaların məlum dispersiyalarında və ya onların [ ] a ∆ 2 σ
və [ ] b ∆ 2 σ qiymətlərində alırıq [ ] [ ]
[ ] ; 2 2 2 2 b a a ∆ + ∆ = σ β σ σ • ölçmə xətalarının dispersiyalarının məlum qiymətlərində [ ] a S ∆ 2 və [ ] b S ∆ 2 alırıq [ ] [ ]
[ ] ; 2 2 2 2 b S a S a S ∆ + ∆ = β • Xətaların dispersiyaları və ya onların qiymətləri haqqında informasiya olmadıqda [ ]
( ) [ ] ( ) 2 1 2 2 − + − = ∑ = n b a a S n i i i β α ifadəsindən istifadə edirik. Axırıncı ifadənin surətində ayrı-ayrı ölçmə nəticə- lərinin onların əsl qiymətlərindən meyylənmələrinin kvad- ratlarının cəmi, məxrəcdə isə sərbəstlik dərəcələrinin sayı durur. Riyazi statistikada təsdiq olunub ki, birgə ölçmələrin nəticələrinin işlənməsi zamanı sərbəstlik dərəcələrinin sayı koordinat nöqtələrinin sayı n ilə qeyri-məlum əmsalların sayının m fərqi kimi təyin edilir. Baxılan hal üçün m=2 (əmsallar α və
β ). Ona görə də sərbəstlik dərəcələrinin sayı (n-2)-yə bərabərdir.
69
Ə gər müxtəlif birgə ölçmələrin sayi ölçülən kəmiyyətlərin sayına bərabərdirsə, onda ölçmə nəticələri üzrə tənliklər sistemi tərtib etmək olar. Bu sistemdə tənliklərin sayı ölçülən kəmiyyətlərin sayına bərabərdir. Tənliklər sistemini həll edərək, hər bir ölçülən kəmiyyəti birgə öıçmələrin nəticələri vasitəsilə dolayı yolla ifadə etmək olar. Sonrakı işləmələri dolayı ölçmələrdə müşa- hidələrin nəticələrinin işlənməsi qaydaları üzrə aparmaq olar. Əgər müxtəlif birgə ölçmələrin sayı ölçülən kəmiyyətlərin sayından çoxdursa, onda ölçmələrin nəticələrinin işlənməsini ən kiçik kvadratlar metodunun köməyi ilə aparırlar. Xətaların cəmlənməsi. Ölçmə təcrübəsində tez-tez cəm xətanın onu təşkil edən xətaların məlum qiymətlərinə görə təyini məsələsi meydana çıxır.Xətaların tərkib hissələrinin təsadüfi kəmiyyət kimi baxılması zamanı cəm xətanı təsadüfi kəmniyyətlərin cəmlənməsi qaydası üzrə təyin etmək lazımdır. Bu qayda ehtimal nəzəriyyəsindən məlum olan əsasnamələrə əsaslanır: 1)cəm xətanın (sistematik xəta) riyazi gözləməsi tərkib hissələrinin (sistematik xətaların) riyazi gözləmələrinin cəbri cəmi ilə təyin edilir; 2)cəm xətanın dispersiyası aşağıdakı ifadə ilə təyin edilir:
= 2 Е σ , 2 1 2 j i j i iy n i i r σ σ σ ∑ ∑ + =
(2.29)
burada n- xətaların toplanan tərkib hissələrinin sayı;
2 i σ - xətanın i-ci tərkib hissəsinin dispersiyası; r jj – tərkib hissələri i və j arasındakı korrelyasiya ə msalı (cəm işarəsi altındakı i< j işarəsi göstərir ki, cəmləmə tərkib hissələrinin bütün mümkün olan cütlü birləşmələrinə aiddir, onlar üçün i< j). 70
Toplanan tərkib hissələrinin məlum sistematik xətaları üzrə yekun sistematik xətanın tapılması heç bir çətinlik törətmir (2.29) ifadəsinin istifadəsi isə 2 Е σ -nin
hesablanması üçün çətindir, beləki, tərkib hissələri arasındakı korrelyasiya əmsalının dəqiq qiyməti adətən qeyri-məlumdur. Bu halda hesabat zamanı r-i sıfra bərabər qəbul edirlər, əgər təsadüfi tərkib hissələrini qeyri-məlum hesab edirlərsə və ya işarə “+” və ya “-” ilə vahidə bərabərdirsə, onda xətaların toplanan hissələri arasında korrelyasiya hiss olunar. Təsadüfi xətaların cəmlənməsinə bir qədər ətraflı baxaq.
Yüklə 7,93 Mb. Dostları ilə paylaş:
|