296
17-§. ESELI INTEGRALLAR
17.1. Eki eseli integral. Eseli integrallardı esaplaw
Funkciyanıń integral hám Darbu qosındıları. Meyli tekislikte maydanǵa iye
bolǵan
D
figura (kóplik) berilgen bolsın. Bul kóplikte
)
,
( y
x
f
funkciya anıqlanǵan
hám shegaralanǵan.
D
nıń bazı bir
n
D
D
D
P
...
,
2
1
бœлакланиши hám hár bir
k
D
da qálegen
k
k
k
D
)
,
(
noqatın
)
,....
2
,
1
(
n
k
alıp
tómendegi
n
k
k
k
k
D
f
1
,
qosındını dúzemiz.
1-anıqlama
.
n
k
k
k
k
D
f
1
,
qosındı
)
,
( y
x
f
funkciyanıń integral
qosındısı (Riman qosındısı) delinedi.
Keltirilgen anıqlamadan integral qosındı
)
,
( y
x
f
funkciyaǵa,
D
kóplik hám
onı bólekleniwge usılına hám hár bir
k
k
k
D
)
,
(
noqatlarǵa baylanıslı boladı:
.
,
k
k
p
f
Meyli
)
,
( y
x
f
funkciya
D
da shegaralanǵan ekan, ol hár bir
k
D
da
)
,...,
2
,
1
(
n
k
shegaralanǵan boladı. Demek,
k
k
D
y
x
y
x
f
m
)
,
(
:
)
,
(
inf
,
k
k
D
y
x
y
x
f
M
)
,
(
:
)
,
(
sup
bar boladı.
k
D
y
x
)
,
(
ushın
k
k
M
y
x
f
m
)
,
(
(1)
teńsizlikler orınlı boladı.
2-anıqlama.
Qosındılar
n
k
k
k
D
m
s
1
,
n
k
k
k
D
M
S
1
sáykes túrde Darbunıń tómengi hám joqarı qosındıları delinedi.
297
Funkciyanıń Darbu qosındıları
)
,
( y
x
f
funkciyaǵa,
D
kóplik hám onıń
bólekleniwge baylanıslı
)
( f
s
s
p
,
)
( f
S
S
p
bolıp, hár dayım
S
s
teńsizlik
orınlı boladı. (1) teńsizlikten paydalanıp
n
k
k
k
n
k
k
k
k
n
k
k
k
D
M
D
f
D
m
1
1
1
,
.
Demek,
S
s
.
3-anıqlama.
Eger
0
san alǵanda hám sonday
0
san tabılıp,
D
nıń
diametri
p
bolǵan hár qanday
P
bólekleniwge, hám hár bir
k
D
da alınǵan
qálegen
)
,
(
k
k
lar ushın
J
teńsizlik orınlı bolsa, onda
J
san
qosındınıń
0
p
daǵı limiti delinedi hám
J
p
0
lim
arqalı belginedi.
4-anıqlama.
Eger
0
p
да
)
,
( y
x
f
funkciyanıń integral qosındısı limiti
bar boladı hám shekli
J
ǵa teń bolsa, onda
)
,
( y
x
f
funkciya
D
da integrallanıwshı
delinedi.
J
sanı bolsa, onda
)
,
(
y
x
f
funkciyanıń
D
boyınsha eki eseli integralı
delinedi. Onı tómendegishe
D
dxdy
y
x
f
)
,
(
belginedi. Demek,
n
k
k
k
k
D
D
f
dxdy
y
x
f
p
p
1
0
0
)
,
(
lim
lim
)
,
(
.
Meyli maydanǵa iye bolǵan D kóplikte
)
,
( y
x
f
funkciya berilgen hám
shegaralanǵan bolsın.
1-teorema
. )
,
( y
x
f
funkciya
D
kóplikда integrallanıwshı bolıwı ushın,
0
san alǵanda hám, sonday
0
sanı tabılıp,
D
nıń diametri
p
bolǵan
hár qanday P bólekleniwge qarata Darbu qosındıları
298
)
(
)
(
f
s
f
S
p
p
(2)
teńsizliktiń orınlanıwı zárúrli hám jetkilikli.
Eki eseli integraldıń qáseytleri.
1) Meyli
)
,
( y
x
f
funkciya D kóplikte integrallanıwshı bolsın. Eger
D
nol
maydanlı l sızıq penen ulıwma ishki noqatǵa iye bolmaǵan baylamlı
1
D
hám
2
D
kópliklerge ajralǵan bolsa, onda
)
,
( y
x
f
funkciya hár bir
1
D
hám
2
D
larǵa
integrallanıwshı hám
1
2
1
)
,
(
)
,
(
)
,
(
D
D
D
dxdy
y
x
f
dxdy
y
x
f
dxdy
y
x
f
(2)
boladı. Keriside orınlı, yaǵniy )
,
( y
x
f
funkciyanıń hár bir
1
D
hám
2
D
kópliklerde
integrallanıwshı bolsa, onda
D
da integrallanıwshı bolıp (2) teńlik orınlı boladı.
2) Eger
)
,
( y
x
f
funkciya
D
da integrallanıwshı bolsa, onda
)
,
( y
x
cf
funkciya )
(
const
c
hám
D
da integrallanıwshı hám
D
D
dxdy
y
x
f
c
dxdy
y
x
cf
)
,
(
)
,
(
boladı.
3) Eger
)
,
( y
x
f
hám
)
,
( y
x
g
funkciyalar
D
integrallanıwshı bolsa, onda
)
,
(
)
,
(
y
x
g
y
x
f
funkciya hám
D
integrallanıwshı hám
D
D
D
dxdy
y
x
g
dxdy
y
x
f
dxdy
y
x
g
y
x
f
)
,
(
)
,
(
)]
,
(
)
,
(
[
boladı.
4) Eger
)
,
( y
x
f
funkciya
D
integrallanıwshı bolıp
D
y
x
,
да
0
)
,
(
y
x
f
bolsa, onda
0
)
,
(
D
dxdy
y
x
f
boladı.
5) Eger
)
,
( y
x
f
hám
)
,
( y
x
g
funkciyalar
D
da integrallanıwshı bolıp,
D
y
x
,
ushın )
,
(
)
,
(
y
x
g
y
x
f
bolsa, onda
D
D
dxdy
y
x
g
dxdy
y
x
f
)
,
(
)
,
(
299
boladı.
6) Eger
)
,
( y
x
f
funkciya D integrallanıwshı bolsa, onda
)
,
( y
x
f
funkciya
hám
D
da integrallanıwshı hám
D
D
dxdy
y
x
f
dxdy
y
x
f
)
,
(
)
,
(
boladı.
Orta mánis haqqında teoremalar.
Meyli
)
,
( y
x
f
funkciya maydanǵa iye
bolǵan D kóplikte berilgen hám shegaralanǵan bolsın.
3-teorema.
Eger
)
,
( y
x
f
funkciya
D
integrallanıwshı bolsa, onda
san
)
(
M
m
tabılıp,
D
D
dxdy
y
x
f
)
,
(
boladı.
◄
Joqarıда keltirilgen eki eseli integraldıń qáseytlerinen paydalanıp
D
dxdy
y
x
f
dxdy
y
x
f
D
M
y
x
f
m
D
D
)
,
(
)
,
(
1
,
)
(
M
m
. ►
Saldar.
Eger
)
,
( y
x
f
funkciya baylamlı tuyıq
D
kóplikte úzliksiz bolsa,
onda sonday
D
)
,
(
noqat tabılıp,
D
f
dxdy
y
x
f
D
)
,
(
)
,
(
boladı.
4-teorema.
Eger
)
,
( y
x
f
hám
)
,
( y
x
g
funkciyalar
D
kóplikte
integrallanıwshı bolıp,
D
y
x
,
ushın 0
)
,
(
y
x
g
(yamasa
0
)
,
(
y
x
g
) bolsa,
onda
san
)
(
M
m
tabılıp,
D
D
dxdy
y
x
g
dxdy
y
x
g
y
x
f
)
,
(
)
,
(
)
,
(
boladı.
300
Eki eseli integrallardı esaplaw
Meyli )
,
( y
x
f
funkciya tekislikte
:
)
,
(
2
R
y
x
D
d
y
c
b
x
a
,
kóplikte berilgen bolsın. Bul
)
,
( y
x
f
funkciyanıń D boyınsha eki eseli integraldı
esaplaw máselesin qaraymız.
1-teorema
. )
,
( y
x
f
funkciya tómendegi shártleri orınlı bolsın
1) )
,
( y
x
f
funkciya
D
integrallanıwshı,
2) Hár bir
]
,
[ b
a
x
da
b
a
dy
y
x
f
x
J
)
,
(
)
(
integral bar boladı. Onda
)
(x
J
funkciya
]
,
[ b
a
integrallanıwshı, yaǵniy
b
a
d
c
b
a
]dx
f(x,y)dy
dx
x
J
[
)
(
bar boladı hám
b
a
d
c
D
dx
dy
y
x
f
dxdy
y
x
f
]
)
,
(
[
)
,
(
boladı.
2-teorema
. )
,
( y
x
f
funkciya tómendegi shártler orınlı bolsın
1) )
,
( y
x
f
funkciya D integrallanıwshı,
2) hár bir
]
,
[ d
c
y
b
a
dx
y
x
f
y
J
)
,
(
)
(
integral bar boladı. Onda
)
( y
J
funkciya
]
,
[ d
c
да integrallanıwshı, yaǵniy
d
c
b
a
d
с
dy
dx
y
x
f
dy
y
J
]
)
,
(
[
)
(
bar boladı hám
d
c
b
a
D
dy
dx
y
x
f
dxdy
y
x
f
]
)
,
(
[
)
,
(
boladı.
Dostları ilə paylaş: |