§. eseli integrallar

◄ 

V

 nıń  XOY  tegisliktegi proekciyası  

}

:

)

,

{(

2

2

2

2

h

y

x

R

y

x

D









 

boladı. (3) formuladan paydalansaq 

















































D

D

h

y

x

dxdy

y

x

h

dxdy

dz

z

J

2

3

2

2

3

2

3

1

3

2

2

. 

Bul integralda 















sin

,

cos

r

y

r

x

 

almastırıp, esaplasaq 

 





































2

0

5

0

3

3

5

1

3

1

3

h

d

rdr

r

h

J

h

. ► 

 

17.4. Úsh eseli integrallarda ózgeriwshilerdi almastırıw

 

 

Meyli 





z

y

x

f

,

,

 funkciya 

3

R

V



 kóplikte berilgen hám úzliksiz bolsın. 

Meyli 





























w

v

u

z

w

v

u

y

w

v

u

x

,

,

,

,

,

,

,

,







 

sistema 

3

R





 kóplikti V  kóplikke sáwlelendiredi. Onda 







 

 















dudvdw

J

w

v

u

w

v

u

w

v

u

f

dzdydz

z

y

x

f

V

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,







 

 

312

boladı, bunda 

dw

dz

dv

dz

du

dz

dw

dy

dv

dy

du

dy

dw

dx

dv

dx

du

dx

J



 

boladı. 

а) Dekart koordinataları 

z

y

x ,

,

  cilindrlik koordinatalar 

z

p

,

,



 ǵa ótiw 



cos

p

x



, 



sin

p

y



, 

z

z

 , 

























z

p

,

2

0

,

0





 formulalar járdeminde ámelge 

asırıladı (45-sızılma). 

 

 

45-sızılma 

 

Bul almastırıwdıń yakobian 

p

J

  bolıp, 









dz

pdpd

z

p

p

f

dxdydz

z

y

x

f

V















,

sin

,

cos

,

,

 

boladı. 



y

 

z

x

 

0

 

p

y

 

313

 

46-sızılma 

б) Dekart koordinataları 

z

y

x ,

,

 sferalıq koordinatalar 





,

,

p

 ǵa ótiw 





cos

sin



 p

x

, 





sin

sin



 p

y

, 



cos

p

z



 



























0

,

2

0

,

0 p

 formulalar arqalı ámelge asırıladı (46-

sızılma) almastırıw yakobianı 



sin

2

p

J



 bolıp,  

























d

dpd

p

p

p

p

f

dxdydz

z

y

x

f

V

V

sin

cos

,

sin

sin

,

cos

sin

,

,

2







 

boladı. 

3-mısal.

 



V

zdzdydz  integraldı esaplań. Bunda V  tómendegishe 





0

2

2

2

2

2







h

h

z

r

y

x

 

konustıń joqarı bólegi hám 

h

z

  tegislik penen shegaralanǵan kóplik. 

◄ 

Berilgen integralda ózgeriwshinı  



cos

p

x



, 



sin

p

y



, 



y

 

z

x

 

0

 

p



 

 

314

z

z

  

almastıramız 

p

r

h

z

h

z

r

p

h

z

r

y

x















2

2

2

2

2

2

2

2

2

, 

























0

,

2

0

,

0

r

p

. 

Nátiyjede 

dp

d

pzdz

zdxdydz

r

h

p

r

h

V

  













































0

2

0





 

boladı. Keyingi integraldı  



























































 

 





r

r

h

z

p

r

h

z

dp

pd

p

r

h

h

dp

d

z

p

0

2

0

2

2

2

2

0

2

0

2

2

2

2









 





4

2

2

2

0

2

2

0

2

2

2

2

2

r

h

p

h

pdp

p

r

r

r

h

r

r





























. 

Demek, 

4

2

2

r

h

J





. ► 

4-mısal.

 













V

dxdydz

z

y

x

J

2

2

2

 integraldı esaplań, bunda V –  

2

2

2

2

r

z

y

x







 

shardan ibarat. 

◄ 

Bul integralda 





cos

sin

p

x



, 





sin

sin

p

y



, 



cos

p

z



 

almastırıp tabamız. Onda 

2

2

2

2

p

z

y

x







,  



sin

2

p

J



 bolıp, 





















0

,

2

0

,

0

r

p

 

boladı. Nátiyjede berilgen integral  

 

315





  



































r

V

dp

d

d

p

p

dxdydz

z

y

x

J

0

0

2

0

2

2

2

2

2

sin











 

bolıp, bunnan 





5

4

4

2

sin

sin

5

0

4

0

0

4

0

0

2

0

4

r

dp

p

dp

d

p

dp

d

d

p

r

r

r





































































 

  

. 

Demek, 

5

4

5

r

J





. ► 

 

17.5. Eseli integraldıń qollanıwları 

 

Tegis figuranıń maydanı. Tegislikte maydanǵa iye bolǵan  D  figura berilgen 

bolsın. Bul figuranıń maydanı  

 





D

dxdy

D



 

  

 

 

 

    (1) 

boladı.  

Mısal

. Tegisliktıń birinshi shereginde  

ax

y

x

2

2

2





, 

ax

y

2

2



, 

a

x 2



 

(

`

0



a

) 

sızıqlar menen shegaralanǵan figuranıń maydanın tabıń. 

◄ 

Bul figura 42-sızılmada keltirilgen. 

 

42-sızılma 

x

 

0

 

a

a

2

 

y

 

D

 

316

(1) formuladan figuranıń maydanı  





D

dxdy

D



  

bolıp, bunda 





ax

y

x

ax

a

x

R

y

x

D

2

2

,

2

0

:

)

,

(

2

2















. Integraldı 

esaplap 

























a

a

ax

x

ax

a

a

a

dx

x

ax

ax

dx

dy

D

2

0

2

0

2

2

2

2

2

2

6

3

16

2

3

8

)

2

2

(

)

(

2







. ► 

 Denenıń kólemi

. 

3

R  keńislikte Dekart koordinatalar sistemasında jaylasqan  

V  deneni qaraymız. Bul dene joqarıdan )

,

( y

x

f

z



 betlik, qaptal tárepten 

jasawshıları  Oz  kósherine parallel cilindrlik betlik hám tómennen 

Y

X 0  

tegisliginde shegaralanǵan tuyıq  D  kóplik penen shegaralanǵan dene bolsın. 

Bunda )

,

( y

x

f

 funkciyanı 

D

 da úzliksiz dep qaraymız.  

D  kópliktıń 





n

D

D

D

P

,..

,

2

1



 bólekleniwin alayıq. Onda  





k

k

D

y

x

y

x

f

m





)

,

(

:

)

,

(

inf

, 





k

k

D

y

x

y

x

f

M





)

,

(

:

)

,

(

sup

 

bar boladı boladı. Bunda 







n

k

k

k

D

m

A

1





, 







n

k

k

k

D

M

B

1





 

qosındılar sáykes túrde V  deneniń ishine jaylasqan  A  kópjaqlınıń kólemi, V  

deneni óz ishine alǵan  B  kópjaqlınıń kólemi bolıp,  

B

A







 

boladı.  D  kóplikti túrli bólekleniwler nátiyjesinde payda bolǵan 

 

A



 hám 

 

B



 

kópliklerdıń shegaralanǵanlıǵınan 

 

A



sup

, 

 

B



inf

 lardıń bar bolıwınan kelip 

shıǵadı. )

,

( y

x

f

 funkciya tuyıq  D  kóplikte úzliksiz. Demek, ol  D  da teń ólshewli 

úzliksiz. Onda 

0







 alǵanda hám sonday 

0





 tabılıp,  D  kópliktnıń 







p

 

bolǵan qálegen  





n

D

D

D

P

,..

,

2

1



 

bólekleniwi ushın hár bir 

k

D  da (

n

k

,...

3

,

2

,

1



) funkciyanıń terbeliwi  

D

m

M

k

k









 

 

317

teńsizlikti qanaatlandıradı. Usılardı esarqa alıp   

 

 

.

)

(

inf

1

1

1





























































D

D

D

D

D

m

M

D

m

D

M

A

B

A

Sup

B

k

k

n

k

k

k

k

n

k

k

k

n

k

k

 

Demek,  

 

 













A

B

sup

inf

0

. 

Keyingi qatnastan 

 

 

A

B





sup

inf



 

 

kelip shıǵadı. Bunnan V  dene kólemge iye bolıp hám onıń kólemi  V



 nıń  

 

 

A

B

V







sup

inf





 

    (2) 

ekenligin bildiredi. Bunnan 

 





D

dxdy

y

x

f

B

)

,

(

sup



, 

 







D

dxdy

y

x

f

A

)

,

(

inf



 

hám (2) teńlikke kóre 















D

D

D

dxdy

y

x

f

dxdy

y

x

f

dxdy

y

x

f

)

,

(

)

,

(

)

,

(

  

 

(3) 

boladı. (2) hám (3) den 





D

dxdy

y

x

f

V

)

,

(



   

 

 

 

   (4) 

kelip shıǵadı.