§. eseli integrallar

307

V  kópliktıń bazı bir  

}

,...,

,

{

2

1

n

V

V

V

P



 

bólekleniwi hám hár bir 

k

V  da qálegen 

k

k

k

k

V



)

,

,

(







 noqatın 





n

k

,..,

2

,

1



 alıp,  







n

k

k

k

k

k

V

f

1

)

,

,

(











 

qosındıni dúzemiz. Ol 

)

,

,

(

z

y

x

f

 funkciyanıń integral qosındısı delinedi.  

1-anıqlama. 

Eger 0







 san alǵanda hám sonday 

0





 san tabılıp,  V  

kópliktıń diametri 







p

 bolǵan hár qanday  P  bólekleniwge hám hár bir 

k

V

  

alınǵan qálegen 

)

,

,

(

k

k

k







 lar ushın  







 J

 

teńsizlik orınlı bolsa, onda  J  san 



 qosındıniń 

0



p



  limiti delinedi hám  

J

o

p









lim

 

arqalı belginedi. 

2-anıqlama

. Eger 

0



p



 da 

)

,

,

(

z

y

x

f

 funkciyanıń integral qosındısı 

shekli лимитke iye bolsa, onda 

)

,

,

(

z

y

x

f

 funkciya V  kóplikte integrallanıwshı,  J  

sanı bolsa 

)

,

,

(

z

y

x

f

 funkciyanıń  V  kóplik boyınsha úsh eseli integralı delinedi 

hám ol  



V

dxdydz

z

y

x

f

)

,

,

(

 

belginedi. Demek, 











n

k

k

k

k

k

V

p

V

f

dxdydz

z

y

x

f

1

0

)

,

,

(

lim

)

,

,

(











. 

)

,

,

(

z

y

x

f

 funkciya V  da shegaralanǵanlıǵı ushın  

}

)

,

,

(

:

)

,

,

(

inf{

k

k

V

z

y

x

z

y

x

f

m





, 

}

)

,

,

(

:

)

,

,

(

sup{

k

k

V

z

y

x

z

y

x

f

M





 

 

308

bar boladı. 







n

k

k

k

V

m

s

1



,  







n

k

k

k

V

M

S

1



 qosındılar sáykes túrde Darbudıń 

tómengi hám joqarı qosındıları delinedi.  

)

( f

s

s

p



, )

( f

S

S

p



 bolıp, 

)}

(

{

f

s

s

p



,  

)}

(

{

f

S

S

p



 kóplikler shegaralanǵan boladı.  

3-anıqlama

. )}

(

{

f

s

p

 kópliktıń anıq joqarı shegarası 

)

,

,

(

z

y

x

f

 funkciyanıń 

tómengi úsh eseli integralı delinedi hám  







V

dxdydz

z

y

x

f

J

)

,

,

(

 

arqalı belginedi.  

4-anıqlama. 

)}

(

{

f

S

p

 

kópliktıń anıq tómengi shegarası 

)

,

,

(

z

y

x

f

 

funkciyanıń joqarı úsh eseli integralı delinedi hám  









V

dxdydz

z

y

x

f

J

)

,

,

(

 

arqalı belginedi.  

5-anıqlama

. Eger 





 J

J

 bolsa, onda 

)

,

,

(

z

y

x

f

 funkciya V  kóplikte 

integrallanıwshı, olardıń ulıwma mánisi  









J

J

J

 

)

,

,

(

z

y

x

f

 funkciyanıń V  kóplik boyınsha úsh eseli integralı delinedi.  

1-teorema

. )

,

,

(

z

y

x

f

 funkciyanıń V  kóplikte integrallanıwshı bolıwı ushın, 

0







 san alǵanda hám sonday 

0





 san tabılıp,  V  kópliktiń diametri 







p

 

bolǵan hár qanday 

P

 bólekleniwine qarata Darbu qosındıları  

 

 







f

s

f

S

p

p

  

 

 

 

 

(1) 

teńsizlikti qanaatlandırıwı zárúrli hám  jetkilikli. 

2-teorema.

 Eger 

)

,

,

(

z

y

x

f

 funkciya shegaralanǵan tuyıq  V  kóplikte 

úzliksiz bolsa, onda kóplikte integrallanıwshı boladı.  

Úsh eseli integraldıń qáseytleri.

 Úsh eseli integrallar hám eki eseli 

integraldıń qáseytleri arqalı qáseytlerge iye. 

 

309

1) )

,

,

(

z

y

x

f

 funkciya V  da 





3

R

V



 integrallanıwshı bolsın. Eger V  kóplik nol 

kólemli  S  betlik penen ulıwma ishki noqatqa iye bolmaǵan baylamlı 

1

V

 hám 

2

V

 

kópliklerge ajralǵan bolsa, onda 

)

,

,

(

z

y

x

f

 funkciya hár bir 

1

V

 hám 

2

V

 kópliklerde 

integrallanıwshı hám 











2

1

)

,

,

(

)

,

,

(

)

,

,

(

V

V

V

dxdydz

z

y

x

f

dxdydz

z

y

x

f

dxdydz

z

y

x

f

 

boladı.  

2) Eger 

)

,

,

(

z

y

x

f

 funkciya V  kóplikte integrallanıwshı bolsa, onda 

)

,

,

(

z

y

x

f

c



 funkciya (

const

c



) hám 

V

 kóplikte integrallanıwshı hám  







V

V

dxdydz

z

y

x

f

c

dxdydz

z

y

x

cf

)

,

,

(

)

,

,

(

 

boladı.  

3) Eger 

)

,

,

(

z

y

x

f

 hám 

)

,

,

(

z

y

x

g

 funkciyalar 

V

  integrallanıwshı bolsa, 

onda )

,

,

(

)

,

,

(

z

y

x

g

z

y

x

f



, )

,

,

(

)

,

,

(

z

y

x

g

z

y

x

f



 funkciyalar integrallanıwshı hám  













V

V

V

dxdydz

z

y

x

f

dxdydz

z

y

x

f

dxdydz

z

y

x

g

z

y

x

f

)

,

,

(

)

,

,

(

)]

,

,

(

)

,

,

(

[

 

boladı.  

4) Eger 

)

,

,

(

z

y

x

f

 funkciya 

V

 kóplikte integrallanıwshı bolıp, 

V

z

y

x





)

,

,

(

 

 

0

)

,

,

(



z

y

x

f

 bolsa, onda 

0

)

,

,

(





V

dxdydz

z

y

x

f

 

boladı.  

5) Eger 

)

,

,

(

z

y

x

f

 funkciya 

V

 kóplikte integrallanıwshı bolsa, onda 

)

,

,

(

z

y

x

f

 funkciya hám 

V

  integrallanıwshı hám  

dxdydz

z

y

x

f

dxdydz

z

y

x

f

V

V







)

,

,

(

)

,

,

(

 

boladı. 

6) Eger 

)

,

,

(

z

y

x

f

 funkciya  

V

 kóplikte integrallanıwshı bolsa, onda 

)

(

M

m









 san tabılıp, 

 

310

V

dxdxydz

z

y

x

f

V







)

,

,

(

 

)

)

,

,

(

:

)

,

,

(

(

M

z

y

x

f

m

V

z

y

x









 

boladı. 

Úsh eseli integrallardı esaplaw.

 Úsh eseli integrallardı esaplaw formulaları 

integrallaw kópliktiń kórinisine qarap túrlishe boladı. 

а) Meyli 

)

,

,

(

z

y

x

f

 funkciya 

3

R

 keńisliktegi  

}

,

,

:

)

,

,

{(

3

q

z

p

d

y

c

b

x

a

R

z

y

x

V

















 

kóplikte úzliksiz bolsın. Onda  

  





b

a

d

c

q

p

V

dx

dy

dz

z

y

x

f

dxdydz

z

y

x

f

]

)

)

,

,

(

(

[

)

,

,

(

  

 

(2) 

boladı.  

б) Meyli 

3

R  keńisliktegi 

V

 kóplik – pásten 

)

,

(

1

y

x

z





, joqarıdan 

)

,

(

2

y

x

z





 betlik, (bunda 

2

R

D



 kóplik 

V

 denenıń 

Y

X

0  tegisliktegi 

proekciyası) penen shegaralanǵan kóplik bolsın. Eger  

V

 da 

)

,

,

(

z

y

x

f

 úzliksiz, 

)

,

(

1

y

x



 hám 

)

,

(

2

y

x



 funkciyalar 

D

 da úzliksiz bolsa, onda  

 





dxdy

dz

z

y

x

f

dxdydz

z

y

x

f

D

y

x

y

x

V

 

















)

,

(

)

,

(

2

1

,

,

)

,

,

(





  

 

(3) 

boladı.  

в) Meyli б) daǵı  D  kóplik   

)}

(

)

(

,

:

)

,

{(

2

1

2

x

y

x

b

x

a

R

y

x

D

















 

bolıp, 

1



 hám 

2



 funkciyalar 

]

,

[

b

a

 да úzliksiz bolsın. Onda  

 







b

a

x

x

y

x

y

x

V

dx

dy

dz

z

y

x

f

dxdydz

z

y

x

f

]

)

)

,

,

(

(

[

)

,

,

(

)

(

)

(

)

,

(

)

,

(

2

1

2

1









 

boladı. 

1-mısal

. 









V

dxdydz

z

y

x

J

)

(

 

integraldı esaplań, bunda  

}

2

0

,

3

0

,

1

0

:

)

,

,

{(

3

















z

y

x

R

z

y

x

V

. 

◄ 

Joqarıdaǵı (2) formuladan paydalanıp berilgen integraldı esaplaymız:  

 

311



















 

 

  





1

0

3

0

1

0

2

0

3

0

2

1

0

3

0

2

0

]

)

1

(

2

[

]

)

2

(

[

]

)

)

(

(

[

dx

dy

y

x

dx

dy

z

yz

xz

dx

dy

dz

z

y

x

z

z

 





















1

0

1

0

3

0

2

18

)

15

6

(

)

2

(

2

dx

x

dx

y

y

xy

y

y

. ► 

2-mısal.

 

 



V

dxdydz

z

2

 integraldı esaplań, bunda V – tómendegi 

2

2

y

x

z





 konus hám 

h

z

  tegislikler menen shegaralanǵan kóplik.