1-saldar.
)
,
( y
x
f
tómendegi shártler orınlı bolsın:
301
1) )
,
( y
x
f
funkciya D да integrallanıwshı,
2) Hár bir
]
,
[ b
a
x
,
d
c
dy
y
x
f
)
,
(
integral bar boladı.
3) Hár bir
]
,
[ d
c
y
,
b
a
dx
y
x
f
)
,
(
integral bar boladı.
Onda
b
a
d
c
dx
dy
y
x
f
]
)
,
(
[
,
d
c
b
a
dy
dx
y
x
f
]
)
,
(
[
integrallar bar bolıp hám
d
c
b
a
b
a
d
c
D
dy
dx
y
x
f
dx
dy
y
x
f
dx
y
x
f
]
)
,
(
[
]
)
,
(
[
)
,
(
boladı.
2-saldar
. Eger
)
,
( y
x
f
funkciya D úzliksiz bolsa, onda
D
dxdy
y
x
f
,
)
,
(
b
a
d
c
dx
dy
y
x
f
]
)
,
(
[
,
d
c
b
a
dy
dx
y
x
f
]
)
,
(
[
integrallar bar bolıp hám olar bir–birine teń boladı.
1-mısal.
D
ydxdy
x
2
integraldı esaplań, bunda
3
1
,
5
2
:
)
,
(
2
y
x
R
y
x
D
.
◄
y
x
y
x
f
2
)
,
(
funkciya ushın 1–hám 2–teoremalardıń shártleri orınlanadı.
Olarдан paydalanıp
3
1
5
2
3
1
3
1
2
3
1
5
2
3
2
2
156
)
2
(
3
117
)
8
125
(
3
1
)
3
(
]
[
y
dy
y
y
dy
y
x
dy
ydx
x
ydxdy
x
x
x
D
.
Sonday-aq,
5
2
3
1
5
2
5
2
3
5
2
2
2
3
1
2
2
2
2
156
)
3
(
4
)
9
(
2
1
)
2
(
]
[
x
dx
x
x
dx
y
x
dx
ydy
x
ydxdy
x
y
y
D
boladı. ►
Meyli )
,
( y
x
f
tekislikte
)
(
)
(
,
:
)
,
(
2
1
2
1
x
y
x
b
x
a
R
y
x
D
302
kóplikte berilgen bolsın, bunda
)
(
),
(
2
1
x
x
funkciyalar
]
,
[ b
a
úzliksiz hám
)
,
( b
a
x
da
)
(
)
(
2
1
x
x
.
34-sızılma
3-teorema
. )
,
( y
x
f
funkciya tómendegi shártler orınlı bolsın,
1) )
,
( y
x
f
funkciya D да integrallanıwshı,
2) Hár bir
]
,
[ b
a
x
,
)
(
)
(
2
1
)
,
(
x
x
dy
y
x
f
integral bar boladı.
Onda
b
a
x
x
dx
dy
y
x
f
]
)
,
(
[
)
(
)
(
2
1
bar bolıp hám
b
a
x
x
D
dx
dy
y
x
f
dxdy
y
x
f
]
)
,
(
[
)
,
(
)
(
)
(
2
1
1
boladı.
Meyli
y
x
f ,
funkciya tekisliktegi
d
y
c
y
x
y
R
y
x
D
,
:
,
2
1
2
2
да berilgen bolsın,
y
1
hám
y
2
funkciyalar
d
c,
да úzliksiz hám
d
c
y
,
да
y
y
2
1
.
4-teorema.
y
x
f ,
funkciya tómendegi shártler orınlı,
1)
y
x
f ,
funkciya
2
D да integrallanıwshı,
1
D
)
(
2
x
)
(
1
x
Y
d
c
0
a
b
X
303
2) hár bir
d
c
y
,
y
y
dx
y
x
f
2
1
,
integral bar bolıp. Onda
dy
dx
y
x
f
d
c
y
y
2
1
,
bar boladı hám
dy
dx
y
x
f
dxdy
y
x
f
d
c
y
y
D
2
1
2
,
,
boladı.
2-mısal.
D
dxdy
y
x
J
integraldı esaplań, bunda
D
kópligi
0
x
, 0
y
, 1
y
x
sızıqlar penen shegaralanǵan kóplik.
◄
Bul sızıqlar penen shegaralanǵan kóplik 35-sızılmada keltirilgen
35-sızılma
y
x
y
x
f
,
funkciya hám D kóplik 3-teoremanıń shártleri orınlanadı.
Endi
x
y
x
R
y
x
D
1
0
,
1
0
:
,
2
1
0
2
3
1
0
2
3
1
0
1
0
1
3
2
0
1
3
2
dx
x
dx
y
x
y
y
x
dx
dy
y
x
J
x
y
1
1
0
x
1
y
x
304
5
2
5
2
1
3
2
0
1
5
2
3
2
2
5
x
x
. ►
17.2. Eki eseli integrallarda ózgeriwshilerdi almastırıw
Meyli tekislikte XOY dekart koordinatalar sistemasına qarata shegaralanǵan
D kóplik, uov dekart koordinatalar sistemasına qarata bolsa shegaralanǵan
kóplik berilgen bolıp, olardıń shegaraları D
hám
lar siypaq tuyıq sızıqlardan
ibarat bolsın. (38-sızılma)
38-sızılma
Meyli
)
,
(
,
)
,
(
v
u
y
v
u
x
(1)
sistema
nı D sáwlelendirsin. Bul sáwlelendiriw tómendegi shártler orınlı bolsın
1) Bul óz-ara bir mánisli sáwlelendiriw,
2)
)
,
( v
u
hám
)
,
( v
u
funkciyalar
kóplikte úzliksiz hám úzliksiz barlıq
dara tuwındılarǵa iye,
3) Dara tuwındılardan dúzilgen
v
y
u
y
v
x
u
x
v
u
J
)
,
(
v
u
Y
D
0 0
X
305
funkcional determinant
da belgisin saqlasın hám
)
,
( v
u
da
0
)
,
(
v
u
J
bolsın. )
,
( v
u
J
determinant (1) sistemanıń yakobianı delinedi. (1) sáwlelendiriwge
keri
)
,
(
,
)
,
(
y
x
v
y
x
u
sáwlelendiriw bar boladı hám ol D nı ǵa bir mánisli sáwlelendiredi.
D kópliktıń maydanı
dudv
v
u
J
D
)
,
(
boladı. Eki eseli integrallarda ózgeriwshilerdi almastırıw
dudv
v
u
J
v
u
v
u
f
y
x
f
D
)
,
(
))
,
(
),
,
(
(
)
,
(
(5)
formulası kelip shıǵadı.
1-mısal.
D
dxdy
y
3
integralın esaplań,
D kóplik
2
x
y
,
2
2
x
y
,
1
xy
,
2
xy
sızıqlar penen shegaralanǵan.
◄
Berilgen sızıqlar penen shegaralanǵan D 39-sızılmada kórsetilgen
39-sızılma
2
2
x
y
2
x
y
2
xy
1
xy
0
y
x
306
Meyli
xy
v
x
y
u
2
0
x
(6)
sáwlelendiriwde
_
D nıń obrazı
2
1
,
2
1
:
)
,
(
2
v
u
R
v
u
(5) sáwlelendiriw óz-ara bir mánisli sáwlelendiriw bolıp, oǵan keri sáwlelendiriw
3
2
3
1
3
1
3
1
,
v
u
y
v
u
x
(6’)
boladı. (6) sistemanıń yakobianı
,
3
1
3
2
3
2
3
1
3
1
)
,
(
3
1
3
1
3
2
3
1
3
2
3
2
3
1
3
4
u
v
u
v
u
v
u
v
u
v
y
u
y
v
x
u
x
v
u
J
.
3
1
)
,
(
u
v
u
J
Endi
2
3
uv
y
esapqa alıp, berilgen integralda (6’) almastırıwdı orınlasaq,
onda (5) formulaǵa kóre
D
D
dudv
v
u
J
uv
dxdy
y
)
,
(
2
3
boladı. Keyingi integraldı esaplaymız.
D
D
du
dv
v
dudv
v
dudv
v
u
J
uv
9
7
)
3
1
3
8
(
3
1
)
(
3
1
3
1
)
,
(
2
1
2
1
2
2
2
.
Demek,
9
7
3
D
dxdy
y
. ►
17.3. Úsh eseli integral. Úsh eseli integraldı esaplaw
Meyli
3
R keńislikte shegaralanǵan, hám kólemge iye bolǵan V dene
(kóplik) te
)
,
,
(
z
y
x
f
funkciya anıqlanǵan hám shegaralanǵan bolsın.
M
z
y
x
f
m
)
,
,
(
V
z
y
x
)
,
,
(
.
|