Mühazirə mətnləri. Tərtib edən: b/m S. S. Haxıyev

Mövzu 14. 

 

Kompleks ədədlər meydanı üzərində çoxhədlilər. 

Cəbrin əsas teoremi və ondan çıxan nəticələr. 

 

1. Çoxhədlinin modulunun kəsilməzliyi. 

 

 

Fərz edək ki, C [x] – kompleks ədədlər meydanı üzərində çoxhədlilər halqasıdır. 

Teorem. Çoxhədlinin modulu bütün kompleks ədədlər çoxluğu üzərində kəsilməz funksiyadır.  

İsbatı: Göstərək ki, istənilən 

 ədədi üçün elə 

 var ki, 

 bərabərsizliyini ödəyən 

 üçün 

. 

---

Fərz edək ki, f-in dərəcəsi 

. f (x)-i x – a-nı dərəcələri üzrə ayıraq: 

 

f (x) =f (a) + 

 

. 

 

Buradan  

f (x) - f (a) + 

 

. Onda 

n

 

b = max 

 kimi işarə etsək,  (x-a)

 olduqda 

k

 

 olduğuna görə alarıq: 

 

 

 götürsək, (x-a)

 olduqda 

 olar. 

 

2. Çoxhədlinin modulunun artması 

 

Teorem. Fərz edək ki, f 

müsbət dərəcəli çoxhədlidir. Onda istənilən 

 ədədi üçün elə r

 var ki, 

 olduqda 

 olur.  

İsbatı. Fərz edək ki, f (x) = 

. Onda kompleks ədədin modulunun 

xassəsinə əsasən  

 

 

-(

) 

n-1

 

b = max

 qəbul edib 

n

 

  

alarıq, k

 olduqda 

k

 

, yəni 

 olduğunu nəzərə alsaq  

n

  (1-

)

 kifayət qədər böyük qiymətlərində 1-

 

, odur ki,  

r = max 

 qəbul etsək, 

 

 olduqda 

 olar.  

 

3. Çoxhədlinin modulunun  

ən kiçik qiyməti 

 

Teorem. f 

 müsbət dərəcəli çoxhədlisinin modulu istənilən məhdud dairədə özünün ən kiçik 

qiymətini alır.   

İsbatı.   

 olduqda 

 çoxluğu aşağıdan məhdud olduğuna görə onun dəqiq aşağı sərhəddi 

var. 

 

m = inf 

 

 

 

 

qəbul edək. Göstərək ki, elə 

 

 ) var ki, m = 

. 

İnfimumun tərifinə əsasən istənilən n üçün elə  

 ədədi var ki, 

 olduqda 

 

 

---

m 

 

. 

 

Onda 

 

 ardıcıllığı ya özü yığılan olar, ya da məhdud olduğundan, ondan yığılan 

 alt ardıcıllığı ayırmaq olar. Fərz edək lim 

 Modulun kəsilməzliyinə əsasən  

. 

Digər tərəfdən a = 

 Buradan limitin yeganəliyinə əsasən a = 

. 

Digər tərəfdən, M = 

 

 qəbul etsək, modulun artması xassəsinə əsasən elə r

 var ki, 

 

olduqda 

  olur.  Buradan  görünür  ki,  çoxhədlinin  modulunun 

 

  dairəsindən  xaricdəki 

qiymətləri  daxildəki  qiymətlərindən  kiçik  ola  bilməz.  Onda 

  dairəsinin  daxilindəki 

-nun 

minimum qiyməti bütün kompleks müstəvidəki minimum qiyməti olur. 

Nəticə. Müsbət dərəcəli kompleks əmsallı hər bir 

 çoxhədlisinin modulu bütün kompleks 

müstəvidə özünün ən kiçik qiymətini alır.