Переходного периода

Модель  адаптивных  ожиданий.  Моделирование  закономерностей  с 
учетом  ожидаемых  ситуаций 

  одна  из  важнейших  экономических  про-
блем. Это, в первую очередь, верно для макроуровня, на котором инвести-
ции, сбережения и спрос на активы оказываются особенно чувствительны-
ми  к  ожиданиям  относительно  будущего.  Если  в  модели  частичного 
приспособления  в  роли  корректирующей  величины  выступала  зависимая 
переменная  y
t
,  то  в  модели  адаптивных  ожиданий  корректируется  объяс-
няющая  переменная 
*
t
x
,  которая  определяет  ожидаемое  на  момент  t  +  1 
значение аргумента в исследуемой зависимости вида 
,
~
~
*
1
1
0
t
t
t
x
y







 
где  возмущающее  воздействие 

t
 

  белый  шум  и  не  коррелировано  с 
наблюдаемым  значением  аргумента  x
t
.  В  соответствии  с  основным  допу-
щением  модели  механизм  формирования  ожидаемого  значения    описыва-
ется соотношением 


.
1
0
,
1
*
*
1









t
t
t
x
x
x
 
Это  означает,  что  значение  объясняющей  переменной,  ожидаемое  в 
момент  времени  t  +  1,  формируется  в  момент  времени  t  как  взвешенное 
среднее  ее  реального  и  ожидаемого  значения  в  текущий  момент  времени. 
От значения 

 зависит скорость адаптации ожидаемых значений к реально-
сти. В отличие от процесса частичного приспособления, базирующегося на 
инерции и прошлой динамике показателей, процесс адаптивных ожиданий 
направлен  в  будущее.  Другими  словами,  мы  формируем  значение  резуль-

 
 
208 
тирующего  показателя  на  текущий  момент  времени  с  учетом  будущего 
значения объясняющей переменной. 
Процесс  адаптивных  ожиданий  также  укладывается  в  общую  схему 
моделей  с  распределенными лагами, имеющих геометрическую структуру 
Койка. 
Модель  гиперинфляции  Кагана  [Cagan  (1956)]  и  модель  потребления 
Фридмана [Friedman (1957)] представляют собой наиболее известные при-
меры эконометрических приложений модели адаптивных ожиданий.  
Лаговые  структуры,  основанные  на  вероятностной  параметриза-
ции. Одним из способов экономной параметризации лаговых структур яв-
ляется, как отмечалось выше, их интерпретация в терминах вероятностных 
распределений. 
Лаговая  структура  Паскаля  [Solow  (1960)]  основана  на  отрицатель-
ном биномиальном распределении, т.е. элементы w
k
, k = 0, 1, 2,… нормиро-
ванной  бесконечной  лаговой  структуры  Паскаля  определяются  в  соответ-
ствии с (П2.36) с помощью соотношений 


,...,
2
,
1
,
0
,
1
1





k
p
C
p
w
k
k
k
M
M
k
 
(П2.42) 
где p (0 < p < 1) и M (любое целое положительное число) 

 параметры, 
определяющие (вместе с 




0
k
k


) конкретную лаговую структуру в дан-
ном параметрическом семействе. Из свойств отрицательного биномиально-
го распределения следует: 

 
элементы  w
k
  нормированной  лаговой  структуры  при  M  >  1  сначала 
возрастают (при 
p
pM
k



1
1
), а затем убывают (при 
p
pM
k



1
1
); 

 
среднее значение лага (E

) и его дисперсия (D

) определяются как 
E

 = 
p
pM

1
;  D

 = 


2
1
p
pM

. 
и являются возрастающими функциями как M, так и p. 
Лаговая  структура,  основанная  на  биномиальном  законе распределе-
ния  вероятностей,  является  естественным  аналогом  структуры  Паскаля  в 
классе  конечных  моделей  с  распределенными  лагами.  Ее  нормированные 
элементы  задаются соотношениями 


.
,...,
1
,
0
,
1
N
k
p
p
C
w
k
N
k
k
N
k




 
(П2.45) 

 
 
209 
Данный  класс  конечных  лаговых структур  описывается однопарамет-
рическим  семейством  (параметр  p 

  некоторое  число  между  0  и  1).  Из 
свойств  биномиального  распределения  следует,  что  последовательность 
(П2.45) образует (так же как и (П2.42)) унимодальный ряд, причем E

 = pN 
и D

 = p(1 

 p)N. 
Описанные  вероятностные лаговые структуры применимы в ситуаци-
ях,  когда  из  содержательного  смысла  анализируемых  зависимостей  вида 
(П2.35)  следует,  что  весовые  коэффициенты 

k
  (а  значит,  и  w
k
)  начинают 
монотонно убывать не сразу, а только после некоторого k
0
. 
П2.5. Прогнозирование экономических показателей на основе  
моделей временных рядов 
Рассмотрим  теперь,  как  методы  и  модели,  описанные  в  П2.3  и  П2.4, 
используются при прогнозировании экономических показателей. Сконцен-
трируем внимание на методах автопрогноза, в которых имеющийся в нали-
чии ряд экстраполируется вперед, а другие ряды, которые, возможно, несут 
определенную  информацию  о  его  поведении,  остаются  без внимания.  По-
скольку  не  существует  универсально  предпочтительных  методов  прогно-
зирования  на  все  случаи  жизни,  то  выбор  метода  прогнозирования  и  его 
эффективность зависят от многих условий. В частности от: 
(а) требуемого горизонта прогнозирования; 
(б) длины анализируемого временного ряда; 
(в) наличия или отсутствия в анализируемом ряду сезонной составля-
ющей или каких-либо «нестандартностей». 
Поэтому метод прогнозирования следует выбирать с учетом всех спе-
цифических  особенностей  как  целей  прогноза,  так  и  анализируемого  вре-
менного ряда. 
П 2 . 5 . 1 .   П р о г н о з и р о в а н и е   н а   б а з е   A R I M A - м о д е л е й  
ARIMA-модели  охватывают  достаточно  широкий  спектр  временных 
рядов,  а  небольшие  модификации  этих  моделей  позволяют  весьма  точно 
описывать и временные ряды с сезонностью. Начнем обсуждение пробле-
мы прогнозирования временных рядов с методов, основанных на использо-
вании ARIMA-моделей. Мы говорим об ARIMA-моделях, имея в виду, что 
сюда  входят  как  частные  случаи  AR-,  MA-  и  ARMA-модели.  Кроме  того, 
будем исходить из того, что уже осуществлен подбор подходящей модели 
для анализируемого временного ряда, включая идентификацию этой моде-

 
 
210 
ли. Поэтому в дальнейшем предполагается, что все параметры модели уже 
оценены. 
Будем прогнозировать неизвестное значение x
t+l
, l 

 1 полагая, что x
t
 

 
последнее по времени наблюдение анализируемого временного ряда, име-
ющееся в нашем распоряжении. Обозначим такой прогноз 
l
t
xˆ . 
Заметим, что хотя 
l
t
xˆ  и 
1
1
ˆ


l
t
x
 обозначают прогноз одного и того же не-
известного  значения  x
t+l
,  но  вычисляются  они  по-разному,  т.к.  являются 
решениями разных задач.  
Ряд  x

,  анализируемый  в  рамках  ARIMA(p,  k,  q)-модели,  представим 
(при любом 

 > k) в виде 


 
,
...
1
...
1
1
1
0
1
q
q
k
j
j
j
k
k
p
p
x
C
L
L
























 
(П2.46) 
где L 

 оператор сдвига функции времени на один временной такт назад. 
Из соотношения (П2.46) можно выразить x

 для любого 

 = t 

 q,…, t 

 
1, t, t + 1,…, t + + l. Получаем 
 
.
1
1
1
1
0
1
1















































q
j
j
j
k
i
i
i
k
i
p
j
j
j
p
j
j
j
L
x
C
L
x
L
x
 (П2.46) 
Правые  части  этих  соотношений  представляют  собой  линейные  ком-
бинации  p  +  k  предшествующих  (по  отношению  к  левой  части)  значений 
анализируемого  процесса  x

,  дополненные  линейными  комбинациями  те-
кущего и q предшествующих значений случайных остатков 


. Причем ко-
эффициенты, с помощью которых эти линейные комбинации подсчитыва-
ются,  известны,  т.к.  выражаются  в  терминах  уже  оцененных  параметров 
модели. 
Этот факт и дает возможность использовать соотношения (П2.46) для 
построения  прогнозных  значений  анализируемого  временного  ряда  на  l 
тактов времени вперед. Теоретическую базу такого подхода к прогнозиро-
ванию  обеспечивает  известный  результат,  в  соответствии  с  которым 
наилучшим  (в  смысле  среднеквадратической  ошибки)  линейным  прогно-
зом в момент времени t с упреждением l является условное математическое 
ожидание случайной величины x
t+l
, вычисленное при условии, что все зна-
чения x

 до момента времени t известны. Этот результат является частным 
случаем  общей  теории  прогнозирования  (см.  [Wold  (1932)],  [Kolmogoroff 
(1939)], [Wiener (1949)]). 

 
 
211 
Условное  математическое  ожидание  E(x
t+l
  |  x
1
,…,  x
t
)  получается  при-
менением операции усреднения к обеим частям (П2.46) при 

 = t + l с уче-
том следующих соотношений: 
E(x
t

j
 | x
1
,…, x
t
) = x
t

j
   при всех j = 0, 1, 2,…, t 

 1; 
(П2.47) 
E(x
t+j
 | x
1
,…, x
t
) = 
j
t
xˆ    при всех j = 1, 2,…; 
(П2.48) 
E(x
t+j
 | x
1
,…, x
t
) = 0  при всех j = 1, 2,…; 
(П2.49) 
E(x
t

j
 | x
1
,…, x
t
) = 
1
1
ˆ




j
t
j
t
x
x
  при всех j = 0, 1, 2,…, t 

 1. 
(П2.50) 
Таким  образом,  определяется  следующая  процедура  построения  про-
гноза  по известной до момента  траектории временного ряда: 
1)  по  формулам  (П2.46)  вычисляются  ретроспективные  прогнозы 
1
1
ˆ


q
t
x
, 
1
ˆ
q
t
x

,…, 
1
1
ˆ

t
x
 по предыдущим значениям временного ряда; при этом при 
вычислении  начальных  прогнозных  значений 
1
ˆ



m
q
t
x
  для  x
t

q+m
  (m  =  0, 
1,…)  по  формулам  (П2.46)  вместо  условных  средних  E(

t

q+m

j
  |  x
1
,…, 
x
t

q+m
),  которые  в  общем  случае  следовало  бы  вычислять  по  формулам 
(П2.50), подставляются их безусловные значения, равные нулю;  
2)  используя  формулы  (П2.46)  для 

  >  t  и  правила  (П2.47)

(П2.50)  под-
считываются условные математические ожидания для вычисления про-
гнозных значений. 
Описанная процедура выглядит достаточно сложной. Однако при реа-
листичных значениях параметров  p, q и k эта процедура в действительно-
сти оказывается весьма простой. 
Мы не касались здесь важных вопросов оценки точности получаемых 
прогнозов. Теоретические аспекты этой проблемы рассмотрены, например, 
в [Бокс, Дженкинс (1974)]. 
П 2 . 5 . 2 .   А д а п т и в н ы е   м е т о д ы   п р о г н о з и р о в а н и я  
Считается,  что  характерной  чертой  адаптивных  методов  прогнозиро-
вания является их способность непрерывно учитывать эволюцию динами-
ческих характеристик изучаемых процессов, «подстраиваться» под эту эво-
люцию,  придавая,  в  частности,  тем  больший  вес  и  тем  более  высокую 
информационную  ценность  имеющимся  наблюдениям,  чем  ближе  они  к 
текущему  моменту  прогнозирования.  Однако  деление  методов  и  моделей 
на  «адаптивные»  и  «неадаптивные»  достаточно  условно.  В  известном 
смысле любой метод прогнозирования адаптивный, т.к. все они учитывают 
вновь  поступающую  информацию,  в  том  числе  наблюдения  сделанные  с 

 
 
212 
момента  последнего  прогноза.  Общее  значение  термина  заключается,  по-
видимому, в том, что «адаптивное» прогнозирование позволяет обновлять 
прогнозы  с  минимальной  задержкой  и  с  помощью  относительно  неслож-
ных математических процедур. Однако это не означает, что в любой ситуа-
ции  адаптивные  методы  эффективнее  тех,  которые  традиционно  не  отно-
сятся к таковым. 
Методы  экспоненциального  сглаживания  [Brown  (1962)].  Про-
стейший вариант метода уже рассматривался в связи с задачей выявления 
неслучайной  составляющей  анализируемого  временного  ряда.  Постановка 
задачи  прогнозирования  с  использованием  простейшего  варианта  метода 
экспоненциального сглаживания формулируется следующим образом. 
Пусть анализируемый временной ряд x

, 

 = 1, 2,…, t представлен в виде 
x

 = a
0
 + 


, 
(П2.51) 
где a
0
 

 неизвестный параметр, не зависящий от времени, а 


 

 случайный 
остаток со средним значением, равным нулю, и конечной дисперсией. Как 
известно, экспоненциально взвешенная скользящая средняя ряда x

 в точке 
t 
 

t
x
  с  параметром  сглаживания  (параметром  адаптации) 

  (0  < 

  <  1) 
определяется формулой 
 
,
1
1
1
0







t
j
j
t
j
t
t
x
x




 
(П2.52) 
которая дает решение задачи: 
 


.
min
arg
1
0
2






t
j
j
t
j
a
t
a
x
x


 
Коэффициент  сглаживания 

  можно  интерпретировать  также  как  ко-
эффициент  дисконтирования,  характеризующий  меру  обесценения  наблю-
дения за единицу времени. 
Для рядов с «бесконечным прошлым» формула (П2.52) сводится к ви-
ду 
  

.
1
0






j
j
t
j
t
x
x



 
(П2.53) 
В  соответствии  с  простейшим  вариантом  метода  экспоненциального 
сглаживания  прогноз 
1
ˆ
t
x   для  неизвестного  значения  x
t+1
  по  известной  до 
момента времени t траектории ряда x
t
 строится по формуле 
 
,
ˆ
1

t
t
x
x

 
(П2.54) 
где  значение 
 

t
x
  определено  формулой  (П2.52)  или  (П2.53),  соответ-
ственно для короткого или длинного временного ряда. 

 
 
213 
Формула  (П2.54)  удобна,  в  частности,  тем,  что  при появлении следу-
ющего  (t  +  1)-го  наблюдения  x
t+1
  пересчет  прогнозирующей  функции 
 

1
1
1
ˆ



t
t
x
x
 
производится 
с 
помощью 
простого 
соотношения 
 
  

.
1
1
1





t
t
t
x
x
x




 
Метод  экспоненциального  сглаживания  можно  обобщить  на  случай 
полиномиальной  неслучайной  составляющей  анализируемого  временного 
ряда, т.е. на ситуации, когда вместо (П2.51) постулируется 
x
t+

 = a
0
 + a
1

 +…+ a
k

k
 + 


, 
(П2.55) 
где k 

 1. В соотношении (П2.55) начальная точка отсчета времени сдвину-
та  в  текущий  момент  времени  t,  что  облегчает  дальнейшие  вычисления. 
Соответственно,  в  схеме  простейшего варианта метода прогноз 
1
ˆ
t
x
  значе-
ния x
t+1
 будет определяться соотношениями (П2.55) при 

 = 1 и (П2.54): 
 
 
 
 
 
 
,
,
ˆ
...
,
ˆ
,
ˆ
ˆ
ˆ
1
0
1
1



t
a
t
a
t
a
x
x
k
k
k
k
t
t






 
где оценки 
 
k
j
t
a
j
,...,
1
,
0
,
,
ˆ


  получаются  как  решение  оптимизационной 
задачи 


.
min
...
,...,
,
0
2
1
0
1
0
k
a
a
a
j
k
k
j
t
j
j
a
j
a
a
x










 
(П2.56) 
Решение задачи (П2.56) не представляет принципиальных трудностей. 
Сделаем  несколько  замечаний  по  поводу  использования  описанного 
подхода. 
1)  Выбор  вида прогнозирующей функции основанный на подборе опера-
торов  авторегрессии  (1 

 


j
L
j
)  и  конечных  разностей 

k
  =  1 

  L
k
, 
представляется  более  гибким  и  обоснованным,  чем  формальная  ап-
проксимация  полиномом  траектории  анализируемого  временного  ря-
да. 
2)  Узким местом всех адаптивных методов, и методов экспоненциального 
сглаживания в частности, является подбор подходящего к данной кон-
кретной задаче параметра сглаживания (адаптации) 

. Даже при опти-
мальном подборе параметра  модель Брауна уступает в точности про-
гноза ARIMA(0, 1, 1)-модели. 
3)  В  моделях  экспоненциального  сглаживания  вся  специфика анализиру-
емого  ряда должна быть отражена в единственном параметре 

. Это, 
конечно, сильно ограничивает класс допустимых в рамках этого мето-
да моделей. 

 
 
214 
Рассмотрим еще несколько методов, использующих идеологию экспо-
ненциального сглаживания, которые развивают метод Брауна в различных 
направлениях. 
Метод Хольта. Хольт [Holt (1957)] ослабил ограничения метода Брау-
на,  связанные  с  его  однопараметричностью,  введением  двух  параметров 
сглаживания 

1
  и 

2
  (0  < 

1
, 

2
  <  1).  В  его  модели  прогноз 
l
t
xˆ   на  l  тактов 
времени в текущий момент t также определяется линейным трендом вида 




,
,
,
ˆ
,
,
ˆ
ˆ
2
1
1
2
1
0




t
a
l
t
a
x
l
t


 
где обновление прогнозирующих коэффициентов производится по форму-
лам: 



 





,
,
,
ˆ
,
,
ˆ
1
,
,
1
ˆ
2
1
1
2
1
0
1
1
2
1
0








t
a
t
a
x
t
a
t





 







 
 

.
,
,
ˆ
1
,
,
ˆ
,
,
1
ˆ
,
,
1
ˆ
2
1
1
2
2
1
1
2
1
0
2
2
1
1










t
a
t
a
t
a
t
a






 
Таким  образом,  прогноз  по  данному  методу  является  функцией  про-
шлых и текущих данных, параметров 

1
 и 

2
, а также начальных значений 


2
1
0
,
,
0
ˆ


a
 и 


2
1
1
,
,
0
ˆ


a
.