Переходного периода

П2. Проблема анализа временных рядов 
П2.1. Стационарные временные ряды и их основные  
характеристики 
Поиск  модели,  адекватно  описывающей  поведение  случайных  остат-
ков 

t
 анализируемого временного ряда x
t
, производят, как правило, в рам-
ках класса стационарных временных рядов.  
Определение П2.1. Ряд x
t
 называется строго стационарным (или стаци-
онарным в узком смысле), если совместное распределение вероятностей m 
наблюдений 
 
m
i
t
i
x
1

 такое же, как и для m наблюдений 
 
m
i
t
i
x
1



, при любых 

, и t
1
,…, t
m
. 
Другими словами, свойства строго стационарного временного ряда не 
меняются при изменении начала отсчета времени. В частности, при m = 1 
из  предположения  о  строгой  стационарности  временного  ряда  x
t
  следует, 
что закон распределения вероятностей случайной величины x
t
 не зависит от 
t, а значит, не зависят от t и все его основные числовые характеристики, в 
том числе: среднее значение Ex
t
 = 

 и дисперсия Dx
t
 = 

2
. 

 
 
177 
Очевидно,  значение 

  определяет  постоянный  уровень,  относительно 
которого колеблется анализируемый временной ряд x
t
, а постоянная вели-
чина 

    характеризует  размах  этих  колебаний.  Поскольку  закон  распреде-
ления вероятностей случайной величины x
t
 одинаков при всех t, то он сам и 
его  основные  числовые  характеристики  могут  быть  оценены  по  наблюде-
ниям x
1
,…, x
T
. В частности: 



T
t
t
x
T
1
1
ˆ

 

 оценка среднего значения,  






T
t
t
x
T
1
2
2
~
1
ˆ


 

 оценка дисперсии. 
(П2.1) 
Автоковариационная  функция 

(

).  Значения  автоковариационной 
функции  статистически  оцениваются  по  имеющимся  наблюдениям  вре-
менного ряда по формуле 
 



,
ˆ
ˆ
1
1















T
t
t
t
x
x
T
 
где 

 = 1,… T 

 1, а 

ˆ  вычислено по формуле (П2.1). 
Очевидно,  значение  автоковариационной  функции  при 

  =  0  есть  не 
что иное, как дисперсия временного ряда, и, соответственно, 
 


.
ˆ
1
ˆ
0
ˆ
1
2
2





T
t
t
x
T



  
(П2.2) 
Автокорреляционная  функция  r(

).  Одно  из  главных  отличий  по-
следовательности  наблюдений,  образующих  временной  ряд,  от  случайной 
выборки заключается в том, что члены временного ряда являются, вообще 
говоря,  статистически  взаимозависимыми.  Степень  тесноты  статистиче-
ской  связи  между  двумя  случайными  величинами  может  быть  измерена 
парным  коэффициентом  корреляции.  Поскольку  в  нашем  случае  коэффи-
циент  измеряет корреляцию, существующую между членами одного и того 
же  временного  ряда,  его  принято  называть  коэффициентом  автокорреля-
ции.  При  анализе  изменения  величины  r(

)  в  зависимости  от  значения 

 
принято говорить об автокорреляционной функции r(

). График автокорре-
ляционной функции иногда называют коррелограммой. Автокорреляцион-
ная функция (в отличие от автоковариационной) безразмерна, т.е. не зави-
сит от масштаба измерения анализируемого временного ряда. Ее значения, 
по определению, могут колебаться от 

1 до +1. Кроме того, из стационар-
ности следует, что r(

) = r(


), так что при анализе поведения автокорреля-

 
 
178 
ционных  функций  ограничиваются  рассмотрением  только  положительных 
значений 

. 
Выборочный аналог автокорреляционной функции определяется фор-
мулой 
 





 
 
.
1
,...,
1
,
0
ˆ
ˆ
ˆ
1
ˆ
ˆ
1
ˆ
1
2
1














T
x
T
x
x
T
r
T
t
t
T
t
t
t











 
(П2.3) 
Существуют общие характерные особенности, отличающие поведение 
автокорреляционной  функции  стационарного  временного  ряда.  Другими 
словами, можно описать в общих чертах схематичный вид коррелограммы 
стационарного  временного  ряда.  Это  обусловлено  следующим  общим  со-
ображением:  очевидно,  чем  больше  разнесены  во  времени  члены  времен-
ного ряда  x
t
  и  x
t+

, тем слабее взаимосвязь этих членов и, соответственно, 
тем меньше должно быть по абсолютной величине значение r(

). При этом 
в ряде случаев существует такое пороговое значение r
0
, начиная с которого 
все значения  будут тождественно равны нулю. 
Частная  автокорреляционная  функция  r
част
(

).  С  помощью  этой 
функции  реализуется  идея  измерения  автокорреляции,  существующей 
между разделенными 

 тактами времени членами временного ряда x
t
 и x
t+

, 
при устраненном опосредованном влиянии на эту взаимозависимость всех 
промежуточных членов этого временного ряда. Частная автокорреляция 1-
го порядка может быть подсчитана с использованием соотношения: 
 


 
 
 
,
1
1
1
2
,
2
2
2
1
2
част
r
r
r
x
x
x
r
r
t
t
t








 
(П2.4) 
где 

 

 среднее значение анализируемого стационарного процесса. 
Частные автокорреляции более высоких порядков могут быть подсчи-
таны аналогичным образом по элементам общей корреляционной матрицы 
R = ||r
ij
||, в которой r
ij
 = = r(x
i
, x
j
) = r(|i 

 j|), где i, j = 1,…, T и r(0) = 1. Так, 
например, частная автокорреляция 2-го порядка определяется по формуле: 
 


     
 


 


.
1
1
2
1
1
2
1
,
3
2
2
2
1
3
част
r
r
r
r
r
x
x
x
x
r
r
t
t
t
t











 
(П2.5) 
Эмпирические  (выборочные)  версии  автокорреляционных  функ-
ций получаются с помощью тех же соотношений (П2.4), (П2.5) при замене 
участвующих в них теоретических значений автокорреляций r(

) их стати-
стическими оценками 
 

rˆ
. 

 
 
179 
Полученные таким образом частные автокорреляции r
част
(1),r
част
 (2),… 
можно  нанести  на  график,  в  котором  роль  абсциссы  выполняет  величина 
сдвига 

. 
Знание  автокорреляционных  функций  r(

)  и  r
част
(

)  оказывает  суще-
ственную  помощь  в  решении  задачи  подбора  и  идентификации  модели 
анализируемого временного ряда.  
Спектральная  плотность  p(

).  Спектральную  плотность  стационар-
ного  временного  ряда  определяется  через  его  автокорреляционную  функ-
цию соотношением 
 
 
,









i
e
r
p
 
где 
1


i
. Так как r(

) = r(


), спектральная плотность может быть запи-
сана в виде 
 
   
.
cos
2
1
1









r
p
 
Следовательно, функция p(

) является гармонической с периодом 2

. 
График  спектральной  плотности,  называемый  спектром,  симметричен  от-
носительно 

  = 

.  Поэтому  при  анализе  поведения  p(

)  ограничиваются 
значениями 0 

 

 

 

. Спектральная плотность принимает только неотри-
цательные значения. 
Использование  свойств  этой  функции  в  прикладном  анализе  времен-
ных рядов определяется как «спектральный анализ временных рядов». До-
статочно  полное  описание  этого  подхода  приведено,  например,  в  [Джен-
кинс,  Ватс  (1971,  1972)]  и  [Ллойд,  Ледерман  (1990)].  Применительно  к 
статистическому  анализу  экономических  рядов  динамики  этот  подход  не 
получил  широкого  распространения,  т.к.  эмпирический  анализ  спектраль-
ной плотности требует в качестве своей информационной базы либо доста-
точно длинных стационарных временных рядов, либо нескольких траекто-
рий анализируемого временного ряда (и та и другая ситуация весьма редки 
в практике статистического анализа экономических рядов динамики).  
Для  содержательного  анализа  важно,  что  величина  спектральной 
плотности характеризует силу взаимосвязи, существующей между времен-
ным рядом x
t
  и  гармоникой  с  периодом  2

/

. Это позволяет использовать 
спектр  как  средство  улавливания  периодичностей  в  анализируемом  вре-
менном  ряду:  совокупность  пиков  спектра  определяет  набор  гармониче-
ских  компонентов  в  разложении  (1.1.1).  Если  в  ряде  содержится  скрытая 

 
 
180 
гармоника частоты 

, то в нем присутствуют также периодические члены с 
частотами 

/2, 

/3 и т.д. Это так называемое «эхо», повторяемое спектром 
на низких частотах. Эффект «эха» анализировался в статье [Granger (1963)] 
на примере ряда ежемесячных безналичных расчетов между банками США 
за 1875–1958 гг. 
Можно  несколько  расширить  класс  моделей  стационарных  временных 
рядов, используемых при анализе конкретных рядов экономической динами-
ки. 
Определение  2.2.  Ряд    называется  слабо  стационарным  (или  стацио-
нарным в широком смысле), если его среднее значение, дисперсия и кова-
риации не зависят от t. 
П2.2. Неслучайная составляющая временного ряда и методы его 
сглаживания 
Существенную роль в решении задач выявления и оценивания трендо-
вой,  сезонной  и  циклической    составляющих  в  разложении  (1.1.1)  играет 
начальный этап анализа, на котором: 

 
выявляется сам факт наличия/отсутствия неслучайной (и зависящей от 
времени t) составляющей в разложении (1.1.1); по существу, речь идет 
о статистической проверке гипотезы 
 H
0
: Ex
t
 = 

 = const 
(П2.6)  
(включая  утверждение  о  взаимной  статистической  независимости 
членов исследуемого временного ряда) при различных вариантах кон-
кретизации альтернативных гипотез типа 
H
А
: Ex
t
 

 const; 

 
строится  оценка  (аппроксимация)  для  неизвестной  интегральной  не-
случайной составляющей f(t) = 

1
f
тр
(t) + 

2

(t) +

3

(t), т.е. решается за-
дача сглаживания (элиминирования случайных остатков 

t
) анализиру-
емого временного ряда x
t
. 
П 2 . 2 . 1 .   П р о в е р к а   г и п о т е з ы   о   н е и з м е н н о с т и   с р е д н е г о  
з н а ч е н и я   в р е м е н н о г о   р я д а  
Критерий серий, основанный на медиане. Расположим члены анали-
зируемого временного ряда в порядке возрастания, т.е. образуем по наблю-
дениям вариационный ряд: 
x
(1)
, x
(2)
,…, x
(T)
. 
Определим выборочную медиану  по формуле 

 
 
181 
 
 
 
 










четно.
 
  
если
,
2
1
нечетно,
 
  
если
,
1
2
2
2
1
Т
x
x
Т
x
x
T
T
T
T
med
 
После этого мы образуем «серии» из плюсов и минусов, на статисти-
ческом анализе которых основана процедура проверки гипотезы (П2.6). По 
исходному  временному  ряду,  построим  последовательность  из  плюсов  и 
минусов следующим образом: вместо x
t
 ставится «+», если 
 
T
med
t
x
x

, и «

», 
если 
 
T
med
t
x
x

  (члены  временного  ряда,  равные 
 
T
med
x
,  в  полученной  таким 
образом последовательности плюсов и минусов не учитываются). 
Образованная последовательность плюсов и минусов характеризуется 
общим  числом  серий 

(Т)  и  протяженностью  самой  длинной  серии 

(Т). 
При  этом  под  «серией»  понимается  последовательность  подряд  идущих 
плюсов и подряд идущих минусов. Если исследуемый ряд состоит из ста-
тистически независимых наблюдений, случайно варьирующих около неко-
торого постоянного уровня  (т.е. справедлива гипотеза (П2.6)), то чередо-
вание  «+»  и  «

»  в  построенной  последовательности  должно  быть 
случайным,  т.е.  эта  последовательность  не  должна  содержать  слишком 
длинных серий подряд идущих «+» или «

», и, соответственно, общее чис-
ло серий не должно быть слишком малым. Так что в данном критерии це-
лесообразно  рассматривать  одновременно  пару  критических  статистик 
(

(Т); 

(Т)). 
Справедлив следующий приближенный статистический критерия про-
верки  гипотезы  Н
0,
  выраженной  соотношением  (П2.6):  если  хотя  бы  одно 
из  неравенств 
 


,
1
96
,
1
2
2
1




T
T
T

 
 


1
ln
43
,
1


T
T

  окажется 
нарушенным,  то  гипотеза  (П2.6)  отвергается  с  вероятностью  ошибки 

, 
такой, что 0,05 < 

  <  0,0975  и,  тем  самым,  подтверждается  наличие  зави-
сящей от времени неслучайной составляющей в разложении (1.1.1). 
Критерий  «восходящих»  и  «нисходящих»  серий.  Этот  критерий 
«улавливает»  постепенное  смещение  среднего  значения  в  исследуемом 
распределении  не  только  монотонного,  но  и  более  общего,  например,  пе-
риодического характера. 
Так  же,  как  и  в  предыдущем  критерии,  исследуется  последователь-
ность знаков 

 плюсов и минусов, однако правило образования этой после-
довательности в данном критерии иное. Здесь на i-ом месте вспомогатель-
ной последовательности ставится «+», если x
i+1
 

 x
i
 > 0, и «

»с, если x
i+1
 

 x
i
 

 
 
182 
< 0 (если два или несколько следующих друг за другом наблюдений равны 
между собой, то принимается во внимание только одно из них). Последо-
вательность подряд идущих «+» (восходящая серия) будет соответствовать 
возрастанию  результатов  наблюдения,  а  последовательность  «

»  (нисхо-
дящая  серия) 

  их  убыванию.  Критерий  основан  на  том  же  соображении, 
что и предыдущий: если выборка случайна, то в образованной последова-
тельности знаков общее число серий не может быть слишком малым, а их 
протяженность 

 слишком большой. 
При уровне значимости 0,05 < 

 < 0,0975 критерий вид: 
 
 
 
,
,
90
29
16
96
,
1
3
1
2
0
T
T
T
T
T








 
(П2.7) 
где величина 

0
(Т) определяется следующим образом: 
Т 
Т 

 26 
26 < Т 

 153 
153 < Т 

 1170 

0
(Т) 

0
 = 5 

0
 = 6 

0
 = 7 
Если хотя бы одно из неравенств (П2.7) окажется нарушенным, то ги-
потезу (П2.6) следует отвергнуть. 
Критерий  квадратов  последовательных  разностей  (критерий  Аб-
бе). Если есть основания полагать, что случайный разброс наблюдений x
(t)
 
относительно  своих  средних  значений  подчиняется  нормальному  закону 
распределения  вероятностей,  то  для  выяснения  вопроса  о  возможном  си-
стематическом смещении среднего в ходе выборочного обследования целе-
сообразно  воспользоваться  критерием  Аббе,  являющимся  в  этом  случае 
более мощным. 
Для  проверки  гипотезы  (П2.6)  с  помощью  данного  критерия  подсчи-
тывают  величину 
 
 
 
T
s
T
q
T
2
2



,  где 
    

;
1
2
1
1
1
2
1
2







T
i
i
i
x
x
T
T
q
 


,
1
1
1
2
2






T
i
t
x
x
T
s
 
 
.
1
1




T
i
i
x
T
T
x
x
  Если 
 
 
,
min
T
T




  то 
гипотеза  (П2.6) отвергается. При этом величина 
 
T
min


  для  T  >  60  под-
считывается  как 
 


,
1
5
,
0
1
2
min




u
T
u
T




  где  u

 

 

-квантиль 

 
 
183 
нормированного  нормального  распределения.  Величины 
 
T
min


  при  T 

 

  60  для  трех  наиболее  употребительных  значений  уровня  значимости  
приведены в табл. 4.9 книги [Большев, Смирнов (1965)]. 
П 2 . 2 . 2 .   М е т о д ы   с г л а ж и в а н и я   в р е м е н н о г о   р я д а   ( в ы д е л е -
н и е   н е с л у ч а й н о й   с о с т а в л я ю щ е й )  
Методы выделения неслучайной составляющей в траектории, отража-
ющей поведение временного ряда, подразделяются на два типа. 
Методы  первого  типа  (аналитические)  основаны  на  допущении,  что 
известен общий вид неслучайной составляющей в разложении (1.1.1) 
f(t) = 

1
f
тр
(t) + 

2

(t) +

3

(t).  
(П2.8) 
Например,  если  известно,  что  неслучайная  составляющая временного 
ряда описывается линейной функцией времени f(t) = 

0
 + 

1
t, где 

0
 и 

1
 

 
некоторые неизвестные параметры модели, то задача ее выделения (задача 
элиминирования  случайных  остатков  или  задача  сглаживания  временного 
ряда) сводится к задаче построения хороших оценок 
0
ˆ

 и 
1
ˆ

 для парамет-
ров модели. 
Методы  второго  типа  (алгоритмические)  не  связаны  ограничитель-
ным  допущением  о  том,  что  общий  аналитический  вид  искомой  функции 
(П2.8) известен исследователю. В этом смысле они являются более гибки-
ми, более привлекательными. Однако «на выходе» задачи они предлагают 
исследователю лишь алгоритм расчета оценки 
 
t
fˆ
 для искомой функции 
f(t)  в  любой  наперед  заданной  точке  t  и  не  претендуют  на  аналитическое 
представление функции (П2.8).