Переходного периода

Векторные  модели  авторегрессии 

  скользящего  среднего.  В  эко-
нометрической  литературе  и  приложениях  обсуждаются  и  используются 
также многомерные модели ARMA и 

 как их частные случаи 

 векторные 
AR-и  МА-модели.  В  сущности,  эти  вопросы  относятся  к  проблематике 
многомерной  регрессии  и  системам  одновременных  уравнений.  Более  по-

 
 
200 
дробные  сведения  о  векторных  моделях  авторегрессии  можно  найти, 
например, в [Greene (1997)].  
П 2 . 3 . 4 .   П р о с т а я   и   о б о б щ е н н а я   м о д е л и   а в т о р е г р е с с и о н -
н ы х   у с л о в н о   г е т е р о с к е д а с т и ч н ы х   о с т а т к о в  
В  ряде  прикладных  эконометрических  работ  (см.,  например  [Engle 
(1982)],  [Engle  (1983)],  [Gragg  (1983)])  была  выявлена  некоторая  общая 
закономерность в поведении случайных остатков исследуемых моделей: их 
малые  и  большие  значения  группировались  целыми  сериями.  Причем  это 
не  проводило  к  нарушению  их  стационарности  и  гомоскедастичности  для 
относительно больших временных интервалов, т.е. гипотеза D

t
 =   = 

(0) = 
const не противоречила имеющимся экспериментальным данным. Однако в 
рамках  моделей  ARMA  удовлетворительно  объяснить  этот  феномен  не 
удавалось.  
Р.Энгл  [Engle  (1982)]  рассматривал  остатки    как  условно  гетеро-
скедастичные,  связанные  друг  с  другом  простейшей  авторегрессионной 
зависимостью 

t
 = 

t
[

0
 + 

1

2
t

1
], 
 (П2.33) 
где последовательность 

t
,  t  =  1,  2,…, 

  образует  стандартизованный  нор-
мальный белый шум, а параметры 

0
 и 

1
 должны удовлетворять ограниче-
ниям,  обеспечивающим  безусловную  гомоскедастичность 

t
  (такими  огра-
ничениями являются требования 

0
 > 0,    |

1
| < 1). 
Модель  вида  (П2.33)  называется  авторегрессионной  условно  гетеро-
скедастичной  (ARCH-модель).  Использование  такой  модели  (см.,  напри-
мер,  [Greene  (1997)]  для  описания  поведения  остатков  нередко  позволяет 
строить более эффективные оценки параметров моделей, чем МНК-оценки 
(в том числе, обобщенные). 
Естественное  обобщение  моделей  типа  (П2.33)  (см.  [Engle,  Kraft 
(1983)]): 

t
 = 

t
[

0
 + 

1

2
t

1
 +…+ 

q

t

q
],  
(П2.34) 
а параметры 

0
, 

1
,…, 

q
 связаны некоторыми ограничениями, обеспечива-
ющими безусловную гомоскедастичность остатков 

t
. 
Модели  (П2.34)  называются  моделями  ARCH  порядка    (сокращенно 
ARCH(q)).  Модель  (П2.33)  является  ARCH(1)-моделью  и  соответствует 
частному случаю (П2.34) при q = 1. Содержательный переход к q > 1 в мо-
делях  (П2.34)  означает,  что  процесс  формирования  значений  остатков 

t
 
имеет «более длинную память» о величинах предшествующих остатков

t

1
, 

 
 
201 

t

2
,… .  ARCH(q)-модель (П2.34)  может рассматриваться как некая специ-
альная форма МА(q)-модели, что и используется при ее анализе. 
Дальнейшее обобщение моделей этого типа [Bollerslev (1986)] заклю-
чается  в  описании  поведения  остатков 

t
  с  помощью  обобщенной  авторе-
грессионной условно гетероскедастичной модели (GARGH-модели). 
П2.4. Модели нестационарных временных рядов и их идентифика-
ция 
П 2 . 4 . 1 .   М о д е л ь   а в т о р е г р е с с и и - п р о и н т е г р и р о в а н н о г о  
с к о л ь з я щ е г о   с р е д н е г о   ( A R I M A ( p ,   k ,   q ) - м о д е л ь )  
Эта модель предложена Дж. Боксом и Г. Дженкинсом [Бокс, Дженкинс 
(1974)].  Она  предназначена  для  описания  нестационарных  временных  ря-
дов x
t
, обладающих следующими свойствами: 
1.  Анализируемый  временной  ряд  аддитивно  включает  в  себя  составля-
ющую  f(t),  имеющую  вид  алгебраического  полинома  (от  параметра 
времени t) некоторой степени    k > 1; при этом коэффициенты этого 
полинома  могут  быть  как  стохастической,  так  и  нестохастической 
природы; 
2.  Ряд 
,
,...,
1
,
k
T
t
x
k
t


  получившийся  из  x
t
  после  применения  к  нему  k-
кратной  процедуры метода последовательных  разностей, может быть 
описан моделью ARMA(p, q). 
Это означает, что ARIMA(p, k, p)-модель анализируемого процесса x
t
, 
может быть записана в виде 
,
...
...
1
1
2
2
1
1
q
t
q
t
k
p
t
p
k
t
k
t
k
t
x
x
x
x





















 
где 
 
.
1
...
2
2
1
1
k
t
k
t
k
t
k
t
t
k
k
t
x
x
C
x
C
x
x
x











 
Заметим, что классу моделей ARIMA принадлежит и простейшая мо-
дель стохастического тренда – процесс случайного блуждания (или просто 
случайное  блуждание).  Случайное  блуждание  определяется  аналогично 
процессу  авторегрессии  первого  порядка  (П2.14),  но  только  у  случайного 
блуждания 

 = 1, так что 

t
 = 

t

1
 + 

t
. 
Ряд первых разностей случайного блуждания 

t
 представляет собой белый 
шум, т.е. процесс ARMA(0, 0). Поэтому само случайное блуждание входит 
в класс моделей ARIMA как модель ARIMA(0, 1, 0). 

 
 
202 
Идентификация  ARIMA-моделей.  В  первую  очередь,  следует  подо-
брать порядок  k модели. Первый тип критерия подбора основан на отсле-
живании  поведения  величины 
 
k
2
ˆ

  (см.  (П2.12))  в  зависимости  от  k:  в 
качестве верхней оценки для порядка k определяется то значение k
0
, начи-
ная  с  которого  тенденция  к  убыванию 
 
k
2
ˆ

  гасится  и  само  значение 
 
k
2
ˆ

  относительно  стабилизируется.  Второй  тип  критерия  подбора  по-
рядка  k  ARIMA-модели  основан  на  анализе  поведения  автокорреляцион-
ных  функций  процессов 

x
t
, 

2
x
t
,….  Последовательные  преобразования 
анализируемого  процесса  x
t
  с  помощью  операторов 

, 

2
,…  нацелены  на 
устранение его нестационарности. Поэтому до тех пор, пока l < k процессы 

l
x
t
 будут оставаться нестационарными, что будет выражаться в отсутствии 
быстрого спада в поведении их выборочной автокорреляционной функции. 
Поэтому предполагается, что необходимая  для получения стационарности 
степень  k  разности 

  достигнута,  если  автокорреляционная  функция  ряда 
t
k
k
t
x
x


 быстро затухает. 
После  подбора  порядка  k  анализируется  уже  не  сам  ряд  x
t
,  а  его  k-е 
разности. Идентификация этого ряда сводится к идентификации ARMA(p, 
q)моделей, процедуры идентификации которых  описаны в П2.4.3. 
Коинтеграция  временных  рядов  в  регрессионном  анализе.  В  ре-
грессионном  анализе    одновременно  рассматривается  несколько  времен-
ных  рядов.  Если  x
t
 

  интегрированный  временной  ряд  порядка  k
1
,  приво-
дящийся  к  стационарному  ряду  переходом  к  разностям  порядка  k
1, 
а  y
t
 

 
интегрированный временной ряд порядка k
2
 > k
1
, остационариваемый пере-
ходом к разностям порядка k
2
, то при любом значении параметра 

 случай-
ный остаток 

t
 = y
t
 

 

x
t
 будет интегрированным временным рядом порядка 
k
2
. Если же k
1
  =  k
2
  =  k,  то  константа 

   иногда может быть подобрана так, 
что 

t
  будет  стационарным  (интегрированным  порядка  0)  с  нулевым  сред-
ним. При этом говорят, что ряды x
t 
и  y
t
 коинтегрированы, а вектор (1, 


) 
называется  коинтегрирующим.  При  регрессионном  анализе  интегрирован-
ных  рядов  x
t
  и  y
t
  отсутствие  коинтегрированности  этих  рядов  приводит  к 
фиктивной (паразитной) регрессии. 
Проверка  на  коинтегрированность  пары  интегрированных  рядов  пер-
вого порядка может производиться, например, по следующей схеме: 1) рас-
сматривается  модель  y
t
  = 

x
t
  + 

t
  и  строится  оценка  параметра 

;    2)  ряд 
t
t
t
x
y


ˆ
ˆ


  анализируется  на  стационарность  в  рамках  одной  из  моделей 

 
 
203 
ARMA(p, q); например, в рамках AR(1)-модели проверяется гипотеза |

| < 
1 в представлении 
t
t
t







1
ˆ
ˆ
.  
Подробнее с проблемой коинтеграции временных рядов можно позна-
комиться, например, в [Greene (1997)]. Исчерпывающий обзор литературы 
по этой проблеме приведен в книге [Maddala, Kim (1998)]. 
П2.4.2. Модели рядов, содержащих сезонную компоне н-
ту 
Под  временными  рядами,  содержащими  сезонную  компоненту,  пони-
маются  процессы,  при  формировании значений которых обязательно при-
сутствовали сезонные и/или циклические факторы. 
Один из распространенных подходов к прогнозированию состоит в сле-
дующем:  ряд  раскладывается  на  долговременную,  сезонную  (в  том  числе, 
циклическую)  и  случайную  составляющие;  затем  долговременную  составля-
ющую  подгоняют  полиномом,  сезонную  –  рядом  Фурье, после чего прогноз 
осуществляется  экстраполяцией  этих  подогнанных  значений  в  будущее.  Од-
нако этот подход может приводить к серьезным ошибкам. Во-первых, корот-
кие участки стационарного ряда (а в экономических приложениях редко бы-
вают  достаточно  длинные  временные  ряды)  могут  выглядеть  похожими  на 
фрагменты полиномиальных или гармонических функций, что приведет к их 
неправомерной аппроксимации и представлению в качестве неслучайной со-
ставляющей. Во-вторых, даже если ряд действительно включает неслучайные 
полиномиальные  и  гармонические  компоненты,  их  формальная  аппроксима-
ция  может  потребовать  слишком  большого  числа  параметров,  т.е.  получаю-
щаяся параметризация модели оказывается неэкономичной. 
Принципиально  другой  подход  основан  на  модификации  ARIMA-
моделей  с  помощью «упрощающих операторов». Схематично процедура по-
строения  сезонных  моделей,  основанных  на  ARIMA-конструкциях,  модифи-
цированных  с  помощью  упрощающих  операторов 

T
  =  1 

  L
T
_
,  может  быть 
описана следующим образом (детальное описание соответствующих процедур 
см., например, в [Бокс, Дженкинс (1974)]: 
1.  Применяем к наблюдаемому ряду x
t
 операторы 

 и 

T
 для достижения 
стационарности; 
2.  По  виду  автокорреляционной  функции  преобразованного  ряда 
 
 
t
x
T
K
k ,
 
подбираем пробную модель в классе ARMA- или модифицированных 
(в правой части) ARMA-моделей; 

 
 
204 
3.  По значениям соответствующих автоковариаций ряда 
 
 
t
x
T
K
k ,
 получаем 
(методом моментов) оценки параметров пробной модели; 
4.  Диагностическая проверка полученной модели (анализ остатков в опи-
сании реального ряда x
t
 с помощью построенной модели) может либо 
подтвердить  правильность  модели,  либо  указать  пути  ее  улучшения, 
что приводит к новой подгонке и повторению всей процедуры. 
Более детальное описание этих процедур можно найти в [Бокс, Джен-
кинс (1974)]. 
П 2 . 4 . 3 .   Р е г р е с с и о н н ы е   м о д е л и   с   р а с п р е д е л е н н ы м и    
л а г а м и  
Рассмотрим  задачу  построения  линейной регрессионной модели, поз-
воляющей с наименьшими (в определенном смысле) ошибками восстанав-
ливать и прогнозировать значения y
t
 по значениям x
t
. Иначе говоря, будем 
рассматривать модели вида 
,...,
2
,
1
,
0
0









N
N
t
x
c
y
t
N
k
k
t
k
t


 
(П2.35) 
где 

t
,  t  =  1,  2,…,  N  последовательность  гомоскедастичных  и  взаимно  не 
коррелированных  (и  не  коррелированных  с  x
t
,  x
t

1
,…,  x
t

N
)  регрессионных 
остатков, а c
0
, 

0
, 

1
,…, 

N
 и 

2
0

 D

t
 – неизвестные параметры модели. 
Главная  идея,  на  которой  базируется  общий  подход  к  анализу  и  по-
строению  моделей  вида  (П2.35),  может  быть  сформулирован  следующим 
образом: 

 
Отправляясь  от  содержательной  сущности  моделируемых  зависимо-
стей и смысла весовых коэффициентов 

k
 (k = 0, 1, 2,…), определить их 
структурные связи с помощью введения небольшого числа параметров 

1
,…, 

m
  (m  <<  N),  по  значениям  которых можно  восстановить значе-
ния всех неизвестных коэффициентов регрессии 

k
; после этого задача 
сводится к оценке параметров 

j
. 
Модели  (П2.35)  называются  регрессионными  моделями  с  распреде-
ленными лагами. 
Нормированная  структура  лага  как  распределение  вероятностей. 
Можно  воспользоваться  формальным  сходством  нормированной  структу-
ры лага и закона распределения вероятностей дискретной случайной вели-
чины.  Для  этого  введем  случайную  величину    («время  задержки»)  с  зако-
ном распределения вероятностей 

 
 
205 
P{

 = k} = w
k
,  k = 0, 1,…, N 
(П2.36) 
где N может принимать и бесконечные значения. 
Подобная  интерпретация  нормированной  структуры  лага  открывает 
широкие  возможности  в  построении  экономичной  параметризации  после-
довательности весов w
k
 с помощью различных широко известных моделей 
законов  распределения  для  дискретных  случайных  величин.  Интерпрета-
ция  весов  w
k
  как  вероятностей  в  ряде  случаев  оказывается  вполне  оправ-
данной.  При  такой  интерпретации  вполне  определенный  смысл  приобре-
тают  и  основные  характеристики  вероятностных  распределений.  Разные 
типовые модели распределенных  лагов отличаются одна от другой спосо-
бом параметризации весовых коэффициентов 

0
, 

1
,…, т.е. способом пара-
метризации своей лаговой структуры. Рассмотрим несколько наиболее рас-
пространенных способов параметризации лаговых структур. 
Полиномиальная  лаговая  структура  Алмон  [Almon  (1965)].  Рас-
смотрим простейший вариант модели. Подход основан на полиномиальной 
форме параметризации конечной лаговой структуры 

0
, 

1
,…, 

N
. Опираясь 
на  теорему  Вейерштрасса  и  рассматривая  весовые  коэффициенты 

k
  как 
функции  k,  автор  предложила  выразить  их  в  виде  полиномов  невысокой 
степени m (m 

 3) от k, т.е. 

k
 = 

0
 + 

1
k + 

2
k
2
 +…+ 

m
k
m
, k = 0, 1, 2,…, N, 
(П2.37) 
где 

0
, 

1
,…, 

m
 

  некоторые  неизвестные  параметры,  которые  определя-
ются из условия наиболее точной подгонки модели (П2.35). Представление 
(П2.37) позволяет свести модель (П2.35) к виду: 
 
 
 
.
,...,
2
,
1
,
~
...
~
~
2
1
1
0
0
N
T
t
x
x
x
c
y
N
t
m
t
m
t
t
N
t




















 
В  результате  задача  оценивания  N  +  2  неизвестных  весовых  коэффи-
циентов  c
0
, 

0
, 

1
,…, 

N
  сводится  к  статистическому  анализу  стандартной 
линейной модели множественной регрессии всего с m + 1 (m 

 3) неизвест-
ными параметрами. 
Геометрическая лаговая структура Койка [Koyck (1954)]. В данном 
подходе рассматривается бесконечная лаговая структура, поэтому он при-
меним лишь к достаточно длинным временным рядам. Общим допущением 
при анализе бесконечных лаговых структур является требование сходимо-
сти  ряда 




0
k
k


.  Это  означает,  что  влияние  x
t
  на  y
t+k
  уменьшается  до 
нуля  по  мере  неограниченного  увеличения  временного  интервала  k,  что 
естественно,  т.к.  текущее  значение  y  практически  не  должно  зависеть  от 
поведения x в бесконечно далеком прошлом. Койк конкретизировал и уси-

 
 
206 
лил это допущение. В частности, он постулировал, что все нормированные 
веса 




0
j
j
k
k
w


, являясь положительными, убывают с ростом k по геомет-
рической прогрессии. 
Это  допущение  приводит  к  огромным  упрощениям  модели  (П2.35), 
т.к.  вместо  оценивания  бесконечного  ряда  весовых  коэффициентов 

0
, 

1
, 

2
,… нужно оценить лишь два параметра: 

 и 

: 
y
t
 = (1 

 

)c
0
 + 

(1 

 

)x
t
 + 

y
t

1
 +(

t
 

 

t

1
). 
 (П2.38) 
Процедуры  состоятельного  оценивания  параметров  модели  (П2.38) 
при  нескольких  вариантах  специфицирующих  условий,  касающихся  при-
роды случайных остатков 

t
 и 

t
, описаны, например, в [Джонстон (1980)]. 
Модель  частичного  приспособления  (или  «частичной  корректи-
ровки)  [Nerlove  (1956)],  [Nerlove  (1958)].  Предположим,  что  желаемое 
значение 
*
t
y
  некоторого экономического  показателя  определяется уравне-
нием 
,
~
~
~
1
0
*
t
t
t
x
y






 
(П2.39) 
где регрессионные остатки 
е

~
  являются белым  шумом, а  x
t
 

  переменная, 
выполняющая  роль  объясняющей,  не  коррелирована  с 
е

~ . Желаемое зна-
чение  исследуемой  результирующей  переменной  не  всегда  является 
наблюдаемым. Так что фактическое (наблюдаемое) значение  этого показа-
теля  будет  со  временем  как  бы  «подтягиваться»  к  желаемому  в  соответ-
ствии с правилом, формализуемым соотношением 


,
1
0
,
1
*
1











t
t
t
t
t
y
y
y
y
 
(П2.40) 
где 

t
 

  белый  шум.  Из  (П2.40)  следует,  что  на  каждом  следующем 
временном  такте  наблюдаемое  значение  y
t
  будет  «подправляться»  в 
направлении  целевого  значения 
*
t
y
  на  величину,  пропорциональную  раз-
нице  между  оптимальным  и  текущим  уровнями  результирующего  показа-
теля. Соотношение (П2.40) может быть переписано в виде 


,
1
1
*
t
t
t
t
y
y
y








 
  (П2.41) 
откуда  следует,  что  наблюдаемое  значение  исследуемой  результиру-
ющей  переменной  есть  (с  точностью  до  регрессионного  остатка 

t
)  взве-
шенное среднее желаемого уровня (на данный момент времени) и фактиче-

 
 
207 
ского значения в предыдущем такте времени. Подставляя модельное опти-
мальное значение (П2.39) в (П2.41), имеем 




.
~
1
~
~
1
1
0
t
t
t
t
t
y
x
y















 
Модель  частичного  приспособления  относится  к  классу  геометриче-
ских  структур  Койка с точностью до условий, специфицирующих случай-
ные  остатки.  Схема  «частичного  приспособления»  имеет  довольно  широ-
кий спектр экономических приложений. 
«Узкое место» модели частичного приспособления состоит в том, что 
иногда предположение о зависимости оптимального значения 
*
t
y  только от 
текущего  значения  x
t
  оказывается  не  адекватным  действительности.  Дру-
гими словами, часто решающим мотивом для принятия ответственных ре-
шений  не  может  служить  единственное  значение  объясняющей  перемен-
ной.  Один  из  способов  преодоления  этой  ограниченности  отражен  в 
модели адаптивных ожиданий.