Plan: Qalıqlı bölmə haqqında teorem

Tərif 5. ƏBOB-i 1-ə bərabər olan çoxhədlilər qarşılıqlı sadə çoxhədlilər adlanır.
Xassə 2. Əgər olarsa, onda ixtiyari çoxhədlisi üçün .
Isbatı. Evklid alqoritmindəki bərabərliklərinin hamısının hər iki tərəfini c -yə vuraq. İlk iki münasibət belə olar:


Eyni qayda ilə hər bir i üçün

Qalıqlı bölmə teoreminə əsasən mr_i+1 qalığı yxarıdakı bərabərliklə birqiymətli müəyyən olunur. Buna görə də, teorem 1-ə və sonuncu münasibətə əsasən cf və cg çoxhədlilərinin ƏBOB-ni cr_n - ə bərabər olaqcaqdır. Xassə 2 isbat olundu.
Xassə 3. Əgər (f,g)=1 olarsa, onda ixtiyari çoxhədlisi üçün .
İsbatı. (f,g)=1 olduğu üçün xassə 1-ə əsasən . Deməli, işarə etsək alarıq: . ƏBOB- nin tərifinə əsasən, (h ortaq bölən olduğu üçün) . Nəticədə alırıq ki, . Onda . İndi göstərək ki, tərsinə, həm də . Aydındır ki, çoxhədlisi g çoxhədlisinin və c-nin bölənidir. Onda o, cf hasilinin də bölənidir. Yəni cf və g-nin ortaq bölənidir. ƏBOB-nin tərifinə görə o, h-ın da bölənidir. Deyilənlərə əsasən və xassə isbat olundu. (hər ikisi unitar çoxhədlilər olduğu üçün onlar bərabərdir).
Xassə 4. Əgər olarsa, onda elə çoxhədliləri tapmaq olar ki,
.
İsbatı. Evklid alqoritmində sondan əvvəlki bərbərlikdən yaza bilərik:
.
Alqoritm üzrə yuxarı hərəkət etməklə alırıq: . Bu münsibəti əvvəlki bərabər-likdə nəzərə alsaq

tapırıq. Prosesi bu qayda ilə davam etdirməklə, son nəticədə tələb olunan ifadəni almaq olar.
Misal. Yxarıdakı misalda ƏBOB-i f və g çoxhədliləri ilə ifadə edək. Yuxarıda aparılan hesablamalara əsasən yaza bilərik:
;
.
Deməli,

.
Göründüyü kimi, və götürsək tələb olunan göstərilişi alarıq.