Plan: Qalıqlı bölmə haqqında teorem

Lemma 1. Tutaq ki, f, g və h çoxhədliləri münasibətini ödəyir. Onda
_{ƏBOB(f,g)=ƏBOB(g,h).
İsbatı. Verilən münasibətdən görünür ki, f və g çoxhədlilərinin hər bir ortaq böləni h-ın
bölənidir və deməli, g və h-ın ortaq bölənidir.Əksinə g və h-ın hər bir ortaq böləni f və g-nin ortaq bölənidir. Beləliklə, f və g-nin ortaq bölənlər çoxluğu g və h-ın ortaq bölənlər çoxluğu ilə eynidir. Buna görə də ƏBOB(f,g)=ƏBOB(g,h).
ƏBOB-in tapılması üçün tam ədədlərdə olduğu kimi, Evklid algoritmi deyilən olduqca əhəmiyyətli bir üsul vardır.}
Teorem 1. Tutaq ki, çoxhədliləri verilmişdir və .
a) Onda mənfi olmayan elə tam ədədi tapmaq olar ki,



.
;
_{münasibətləri doğrudur;
b) Sonuncu sıfırdan fərqli qalıq verilən çoxhədlilərin ən böyük ortaq bölənidir.
İsbatı. a) Əvvəlcə f və g çoxhədlilərinə qalıqlı bölmə haqda teoremi tətbiq edək. Onda yaza bilərik:}
.
Əgər r=0 olarsa, onda a) bəndi doğrudur. Lakin bu zaman olacaqdır və bu isə onu göstərir ki, ƏBOB(f,g)=g (bu zaman sonuncu sıfırdan fərqli qalıq elə g çoxhədlisinin özü hesab olunur). Əgər olarsa, onda . İki hal ola bilər: . Birinci halda yaza bilərik: . Lemma 1-ə əsasən . Bu halda teorem yenə də doğrudur.
İkinci halda isə yenə də qalıqlı bölmə haqda teoremi tətbiq edə bilərik. Prosesi bu qayda ilə davam etdirərək alırıq:



.
Göründüyü kimi . Lakin dərəcələr mənfi olmadığı üçün belə ardıcıllıq sonsuz ola bilməz. Yəni m nömrəsinin müəyyən qiymətində və ya olacaqdır. Birinci halda isə olacaqdır. Yəni hər iki halda teoremin münasibəti doğrudur.
Teoremin isbatını başa çatdırmaq üçün bu münasibətlərə ardıcıl olaraq lemma 1-i tətbiq
etmək lazımdır: .
Misal. Aşağıdakı çoxhədlilərin ƏBOB-ni tapaq:
və .
Evklid alqoritmini tətbiq edək:
|
| x



|
|x-1/2





|
|2x+1


0
Sonuncu sıfırdan fərqli qalıq olduğu üçün yaza bilərik: ƏBOB .
ƏBOB-in tərifdən və yuxarıda isbat olunan hökmlərdən alınan xassələri vardır.
Xassə 1. Əgər olarsa, onda .
İsbatı. Əgər olarsa, yaza bilərik: . Deməli, çoxhədli-si f və g çoxhədlilərinin ortaq bölənidir. ƏBOB-in tərifinə əsasən h bu ortaq bölənə bölünməlidir, yəni . Lakin olduğundan bu çoxhədlilər assossasiyalanmış çoxhədlilərdir, yəni elə çoxhədlisi var ki, . Deməli, ( tamlıq oblastı olduğy üçün) . Xassə isbat olundu.