Prof. Yav Ksoy uz a cilt 2 Dİferansiyel denklemler

teoreminden dönüşümlerin tanımlı olduğu çıkar. 
 
04.04. Bazı Temel Fonksiyonların Laplace Dönüşümleri 
 
~  ƒ(t) = 1 
  ℒ{ƒ(t)} = ? 
 
ℒ
{ƒ(t)} =  
ƒ(t)dt 
0

 st
e
 ℒ{1} = 
dt 
0

 st
e
= 




R
st
R
e
0
dt 
lim
 

61 
 
 
ℒ
{1} =


R
lim
R
st
e
s
0
1






= 


0
lim
1






e
e
s
sR
R
 = 


1
0
1 

s
 = 
s
1
 
 
ℒ
{1} = 
s
1
 , s > 0 
-------- 
~ ƒ(t) = t  
  ℒ{ƒ(t)} = ? 
 
ℒ
{t} = 
tdt 
0

 st
e
 = 




R
st
R
e
0
tdt 
lim
 = 


R
lim
t
R
st
e
s
0
1






- 1
R
st
e
s
0
2
1





 
 
ℒ
{t} =












s
s
e
s
sR
sR
R
Re
1
lim
2
2
 = 
2
1
s
 , s > 0 
---------- 
~ ƒ(t) = t
2  
  ℒ{ƒ(t)} = ? 
 
 
ℒ
{t
2
} = 
dt 
t
2
0

 st
e
 = 




R
st
R
e
0
2
dt 
t
lim
     
  
 
ℒ
{t
2
} = 




















R
st
R
st
R
e
s
e
s
0
0
2
tdt
2
1
1
t
lim
 
 
ℒ
{t
2
} = 















R
st
R
st
R
e
s
e
s
0
0
2
tdt
2
t
lim
 = 



















2
0
2
1
2
0
lim
s
s
e
s
e
s
R
s
sR
R
 
 
ℒ
{t
2
} = 


3
2
2
lim
1
s
e
R
s
sR
R





 = 
3
2
2
lim
1
s
e
R
s
sR
R










 = 
3
2
2
lim
1
s
se
R
s
sR
R










 
 
ℒ
{t
2
} = 
3
2
2
2
lim
1
s
e
s
s
sR
R










 = 
3
2
s
 , s > 0 
 
ℒ
{t
n
} = 
1
n
s
n!

 
--------- 
~  ƒ(t) = (
at
e
)  
   ℒ{ƒ(t)} = ? 
 
ℒ
{
at
e
} = 
dt 
0
at
st
e
e

 
 = 





R
a
s
t
R
e
0
)
(
dt 
lim
= 


R
lim
R
a
s
t
e
a
s
0
)
(
1








 
 
ℒ
{
at
e
} = 


0
)
(
lim
1
e
e
s
a
a
s
R
R






 = 


1
0
1

 s
a
 = 
a
s

1
 , a < s 
---------- 
~  ƒ(t) = (sin at) 
   ℒ{ƒ(t)} = ? 
 
ℒ
{sin at} = 
at)dt 
(sin 
0

 st
e
 = 




R
st
R
e
0
at)dt 
(sin 
lim
 
 
ℒ
{sin at} = 


R
lim


R
st
a
s
at
a
at
s
e
0
2
2
)
(cos
)
(sin










 

62 
 
 
ℒ
{sin at} =  


R
lim














2
2
2
2
)
(cos
)
(sin
a
s
aR
a
aR
s
e
a
s
a
sR
 
 
ℒ
{sin at} = 
2
2
a
s
a

 , s > 0  
------------ 
~  ƒ(t) = (cos at)  
  ℒ{ƒ(t)} = ? 
 
ℒ
{cos at} = 
at)dt 
 
(cos
0

 st
e
 = 




R
st
R
e
0
at)dt 
 
(cos
lim
 
 
ℒ
{cos at} = 


R
lim


R
st
a
s
at
a
at
s
e
0
2
2
)
(sin
)
cos
(










 
 
ℒ
{cos at} =  


R
lim














2
2
2
2
)
(sin
)
cos
(
a
s
aR
a
aR
s
e
a
s
s
sR
 
 
ℒ
{cos at} = 
2
2
a
s
s

 , s > 0 
---------- 
~  ƒ(t) = (sinh at) 
   ℒ{ƒ(t)} = ?      sinh at = 
2
at
at
e
e


 
 
ℒ
{sinh at} = ℒ{
2
at
at
e
e


} = 
)dt 
2
(
0
at
at
st
e
e
e

 


  
 
ℒ
{sinh at} = 







R
t
a
s
t
a
s
R
e
0
)
(
)
(
dt 
e
-
lim
2
1
= 


R
lim
2
1
R
t
a
s
t
a
s
e
a
s
e
a
s
0
)
(
)
(
1
1













 
 
ℒ
{sinh at} = 


R
lim
2
1

 




















a
s
e
e
a
s
e
e
t
a
s
R
a
s
0
)
(
0
)
(
= 

 












a
s
a
s
1
0
1
0
2
1
 
 
ℒ
{sinh at} = 







a
s
a
s
1
1
2
1
 = 








2
2
2
1
a
s
a
s
a
s
 = 
2
2
a
s
a

    , s >
a  
------------ 
~ ƒ(t) = (cosh at)  
   ℒ{ƒ(t)} = ?    
cosh at = 
2
at
at
e
e


 
 
ℒ
{cosh at} = ℒ{
2
at
at
e
e


} = 
)dt 
2
(
0
at
at
st
e
e
e

 


  
 
ℒ
{cosh at} = 








R
t
a
s
t
a
s
R
e
0
)
(
)
(
dt 
e
lim
2
1
= 


R
lim
2
1
R
t
a
s
t
a
s
e
a
s
e
a
s
0
)
(
)
(
1
1













 
 
ℒ
{cosh at} = 


R
lim
2
1

 




















a
s
e
e
a
s
e
e
t
a
s
R
a
s
0
)
(
0
)
(
= 

 












a
s
a
s
1
0
1
0
2
1
 
 
ℒ
{cosh at} = 







a
s
a
s
1
1
2
1
 = 








2
2
2
1
a
s
a
s
a
s
 = 
2
2
a
s
s

    , s >
a  
 
 
 

63 
 
04.05. Bazı Özel Fonksiyonların Laplace Dönüşümleri  
 
04.05.01. Basamak Fonksiyonu 
 
( )
f t











0
t
a
0
t
0
 
ℒ


( )
f t

 ℒ
 
a

 
0
a
dt 
st
e



 = 
a
s
            
   
04.05.02. Rampa Fonksiyonu 
 
( )
f t

0
t 0
at
t 0
 




 


 
ℒ


( )
f t

ℒ
 
at

0
a
tdt 
st
e
 

 
ℒ


( )
f t

2
1
a
s
 = 
2
a
s
          
 
04.05.3. Darbe Fonksiyonu 
 
( )
f t

 













z
t
0
z
t
0
z
a
 
 
 
ℒ


( )
f t

 ℒ a 1(t)
z

 




 ℒ
a
1(t-z)
z






 
ℒ


( )
f t

a
a
z z
sz
e




a
1
z
sz
e



         
 
04.06. Laplace Dönüşümünün  Temel Özellikleri 
 
04.06.01. Lineerlik Özelliği 
1
c
  ve  
2
c
 sabit büyüklükler ve f (t) ve g (t)  ise Laplace dönüşümleri, sırasıyla F(s)  ve G(s) 
olan iki fonksiyon olsun. 
ℒ


1
2
1
( )
( )
c f t
c g t
c


ℒ


2
( )
f t
c

ℒ
 
( )
g t

1
c
 F(s)

2
c
 G(s) 
dir. Gösterelim:   
ℒ


1
2
( )
( )
c f t
c g t


 


1
2
0
( )
( )
st
e
c f t
c g t dt




1
2
0
0
( )
( )
st
st
c e f t dt c e g t dt








 
 
 
         
1
2
( )
( )
c F s
c G s


 
 
ƒ(t) 
a 
t 
 
ƒ(t) 
a 
t 
 
z 
z
a
 
ƒ(t) 
t 
 

64 
 
Örnek . 
ℒ


t
2
sinh
6
11e
-
8cos4t
 
3t

 = ? 
 
ℒ


t
2
sinh
6
11e
-
8cos4t
 
3t

 = ℒ


8cos4t
 
 - ℒ


3t
11e
 
 + ℒ


t
2
sinh
6
 
 
 
ℒ


t
2
sinh
6
11e
-
8cos4t
 
3t

 = 8ℒ


8cos4t
 
 - 11ℒ


3t
11e
 
 + 6ℒ


t
2
sinh
 
 
 
ℒ


t
2
sinh
6
11e
-
8cos4t
 
3t

 = 
4
2
6
3
1
11
16
8
2
2





s
s
s
s
 
04.06.02. Birinci Kaydırma Özelliği 
 
ℒ
{ƒ(t)} = F(s)  ise ℒ{
at
e
ƒ(t)} =  F(s – a)    dir. Gösterelim: 
 
ℒ
{
at
e
ƒ(t)} =  
(
)
0
0
(
( ))
( )
(
)
st
at
t s a
e
e f t dt
e
f t dt F s a










 
bulunur. 
 
Örnek . 
ℒ
{
t
e
7
cos3t} = ? 
 
ℒ
{cos3t} = 
9
2

s
s
  ,  
)
7
(

 s
s
     
 
ℒ
{
t
e
7
cos3t} = 
9
)
7
(
7
2



s
s
 
04.06.03 İkinci Kaydırma Özelliği 
ℒ
{ƒ(t)} = F(s)  ve    P(t) = 










a
 t
         
0
a
 t
 
a)
-
ƒ(t
       ise  ℒ{P(t)} = 
as
e

F(s)     dir. Gösterelim: 
 
ℒ
{P(t)} =
0
0
( )
( )
( )
a
st
st
st
a
e P t dt
e P t dt
e P t dt










 
 
 
0
.0
( )
a
st
st
a
e
dt
e P t dt







  
                        
( )
(
)
st
st
a
a
e P t dt
e f t a dt









 
t a u
dt du
 





 
                        
(
)
0
0
( )
( )
s a u
as
su
e
f u du e
e
f u du










    
( )
as
e F s


 
olur. 
 
Örnek . 
P(t) = 
















3
2
 t
       
          
0
3
2
 t
  
)
3
2
-
cos(t



    
       ℒ{P(t)} = ? 

65 
 
 
ƒ(t) = cos t   
       ℒ{ƒ(t)} = 
1
2

s
s
 
 
ℒ
{P(t)} = 
as
e

F(s) = 
s
 
3
2


e
1
2

s
s
 
olur. 
 
04.06.04. Skala Değiştirme Özelliği 
 
ℒ
{ƒ(t)} = F(s)  ise  ℒ{ƒ(at)} = 
1
s
F
a
a
 
 
 
 dir. Gösterelim: 
ℒ
{ƒ(at)} =


0
0
( )
( )
st
st
e
f at dt
e f at dt







at u
du
dt
a








 
 
   
0
1
1
( )
( )
s
u
a
s
e
f u du
F
a
a
a





 
Örnek . 
ℒ
{5t} = ? 
 
ℒ
{t} =  
2
1
s
 
    ℒ{5t} =  
2
5
1
5
1





 s
 = 
2
5
s
 
Örnek . 
ℒ
{sin(5t)} = ? 
 
ℒ
{sin t} =
2
1
1
s

  
    ℒ{sin(5t)} =
 
2
2
1
1
5
5
25
/ 5
1 s
s



 
 
04.06.05. Türetilmiş Fonksiyonların Laplace Dönüşümü 
 
ℒ
{ƒ(t)} = F(s)  ise  
 
ℒ


( )
f t

 =  sF(s) – f (0) 
 
ℒ


( )
f t

 = 
2
s
F(s) – s f (0) –
(0)
f 
 dir. Gösterelim: 
a)  ℒ


( )
f t

 =  
0
( )
st
e f t dt




 
,
( ) ,
( )
st
st
u e
du
se dt
dv f t dt v f t











 
 
 
 
0
0
( )
( )
st
st
e f t
s e f t dt







 
 
 
.0
0
(0)
( )
( )
(0)
s
e
f
sF s
sF s
f

 



 

66 
 
b)  ℒ


( )
f t

 =
0
( )
st
e f t dt




 
,
( ) ,
( )
st
st
u e
du
se dt
dv f t dt v f t












 
 
0
0
( )
( )
st
st
e f t
s e f t dt









 
 
.0
0
(0)
s
e
f
s


 

ℒ


( )
f t

 
 


2
( )
(0)
(0)
( )
(0)
(0)
s sF s
f
f
s F s
sf
f








 
 
Burada bulduğumuz sonuçlar daha yüksek mertebeden türevlere kolayca genelleştirilebilir. 
 
ℒ


( )
1
2
( 2)
( 1)
( )
( )
(0)
(0) ....
(0)
(0)
n
n
n
n
n
n
f
t
s F s s f
s f
sf
f








 

 
olduğu gösterilebilir. 
 
Örnek . 
f (t) = sin t olsun. 
 
ℒ
 
sint
 = 
2
1
1
s

   ve  


sin
cos
t
t
 
  ve  f (0) = sin 0 = 0   olup 
 
ℒ


 
sint 

 ℒ


cost
= 
2
2
1
sin 0
1
1
s
s
s
s




  dir. 
Örnek . 
f (t) = 
at
e
 olsun. 
 
ℒ
 
at
e
= 
1
s a

   ve   
 
at
at
e
ae
 
   ve   
.0
(0)
1
a
F
e


   olup 
 
 
ℒ
 
at
e


 




 ℒ
 
at
ae
=
.0
1
a
s s a
a
s
e
s a
s a
s a
 






  dir. 
 
Örnek . 
ℒ


( )
( )
f t
F s

  ise   ℒ
0
( )
( )
t
F s
f u du
s








 
dir. Gösterelim: 
 
0
( )
( )
t
g t
f u du


   olsun. 
( )
( )
g t
f t
 
  ve  
( ) 0
g t

 dır.  
Her iki yanın Laplace dönüşümünü alalım : 
 
ℒ


( )
g t


ℒ


( )
f t
 
   
( )
(0)
( )
sG s
g
F s


  
    
( )
( )
F s
G s
s

  bulunur. 
 
( ) sin
f t
t

 olsun.  
2
1
( )
1
F s
s


   ve   

67 
 
 
ℒ
0
sin
t
udu








ℒ


1 cost




2
2
1
1
1
1
s
s
s
s s




 
2
1
1
1
s
s
s