Qrup: 201 Fənn: Xətti Cəbr və Riyazi Analiz

Sərbəst iş

Fakültə: Maliyyə - iqtisad
İxtisas: Vergi işi
Qrup: 201
Fənn: Xətti Cəbr və Riyazi Analiz
Tələbə: Şıxəliyeva Elnarə
Müəllim: Rəhimli Günəş
Sərbəst işin adı: Çoxdəyişənli funksiyada artım anlayışı

Çoxdəyişənli funksiya

İndiyə qədər ancaq bir dəyişəndən (bir arqumentdən) asılı funksiyaları nəzərdən
keçirmişik.
Amma praktikada tez-tez çoxdəyişənli funksiyalar ilə rastalşırıq. Məsələn, OM
qanununda, yəni

( - cərəyan şiddəti, - elektrik hərəkət qüvvəsi, -isə müqavimətdir) düsturunda cərəyan şiddəti funksiya kimi iki və arqumentindən asılıdır. Bunun kimi də düzbucaqlı parale-lepipedin həcmi üç dəyişəndən asılı olaraq dəyişir və s.

Tərif 1. Hər bir cüt və dəyişənin mümkün qiymətlərinə, dəyişənin an-
caq bir qiyməyini qarşıqoyan qayda (və ya qanun) verilmişdirsə, onda -ə və dəyişənlərinin ikidəyişənli funksiyası deyilir və aşağıdakı işarələrdən biri ilə yazılır:
, , , və s.
Burada asılı dəyişən və ya funksiya, isə sərbəst dəyişən və ya arqument
adlanır. və olduqda funksiyasının xüsusi qiyməti şəklində yazılır. və dəyişənlərinin nizamlanmış cütü nöqtəsi, bu nöqtənin funksiyası isə kimi yazılır. İkidəyişənli funksiya həndəsi olaraq fəzada müəyyən bir səthi ifadə edir.
Tərif 2. , , dəyişənlərinin hər bir nizamlanmış üçlüyünün qiymətinə
dəyişəninin yeganə qiymətini qarşı qoyan qayda (və ya qanun) verilişdirsə, onda də-yişəninə , , dəyişənlərinin üçdəyişənli funksiyası deylir və , , və s. kimi işarə olunur. Burada –asılı dəyişən və ya funksiya , , isə sərbəst dəyişən və ya arqument adlanır.
Birdəyişənli funksiya kimi çoxdəyişənli funksiyalar da analitik üsulla, cədvəl şək-
lində, qrafik üsulla, proqram vasitəsilə və s. şəklində verilə bilər.

Tərif 3. Verilmiş funksiyanın analitik ifadəsinin mənalı olduğu və funk-

siyanın sonlu həqiqi qiymətlər olduğu nöqtələr olduğu nöqtələr çoxluğuna həmin funksiyanın təyin oblastı deyilir.
Tərif 4. Mərkəzi nöqtəsində və radiusu olan dairənin daxili nöqtələ-
rinə nöqtəsinin radiuslu ətrafı ( qısa olaraq -ətrafı ) deyilir.
Tərif 5. nöqtəsinin -ətrafında nöqtəsinin özü olmadıqda ( -nöqtəsi çı-
xarılıb atıldıqda və ya deşilib çıxarıldıqda ) bu ətrafa nöqtəsinin yaxınlığı deyilir.
Bu təriflərdən çıxır ki, nöqtəsinin -ətrafına -nin özü daxil olduğu halda,
nöqtəsinin yaxınlığına -nin özü daxil deyil. Başqa sözlə, nöqtəsinin -ətrafı bu
nöqtədən msafədə olan nöqtələr çoxluğudur , nöqtəsinin yaxınlığı şərtini ödəyən nöqtələr çoxluğudur.
Tərif 6. Qeyd olunmuş noqtəsindən məsafəsi -i aşmayan
noqtələr çoxluğuna -ölçülü kürə (- kürənin mərkəzi, -isə onun radiusudur) deyilir.
Tərif 7. Müstəvinin aşağıdakı iki şərt ödəyən nöqtələr çoxluğuna oblast deyilir.

hər bir M nöqtəsi özünün hər hansı ətrafı ilə çoxluğuna daxildir ( belə nöqtələr daxili nöqtələr adlanır).

-yə daxil olan hər hansı və nöqtələrini ona daxil olan kəsilməz əyri ilə birləşdirmək mümkün olsun.

Qapalı və ya açıq oblastının cüt-cüt götürülmüş nöqtələri arasındakı məsafənin

dəqiq yuxarı sərhəddi bu oblastın diametri adlanır.
Tərif 8. nöqtəsi özünün hər hansı ətrafı ilə birlikdə çoxluğa daxil olarsa,
belə nöqtəyə daxili nöqtə deyilir.
Tərif 9. nöqtəsinin istənilən ətrafında çoxluğa həm daxil olan və həm də
daxil olmayan nöqtələr olarsa, onda bu nöqtəyə çoxluğun ( oblastın ) sərhəd nöqtəsi deyilir.
Oblastın (çoxluğun) bütün sərhəd nöqtələri onun sərhəddi adlanır.
Tərif 3. Verilmiş funksiyanın analitik ifadəsinin mənalı olduğu və funk-
siyanın sonlu həqiqi qiymətlər olduğu nöqtələr olduğu nöqtələr çoxluğuna həmin funksiyanın təyin oblastı deyilir.
Tərif 4. Mərkəzi nöqtəsində və radiusu olan dairənin daxili nöqtələ-
rinə nöqtəsinin radiuslu ətrafı ( qısa olaraq -ətrafı ) deyilir.
Tərif 5. nöqtəsinin -ətrafında nöqtəsinin özü olmadıqda ( -nöqtəsi çı-
xarılıb atıldıqda və ya deşilib çıxarıldıqda ) bu ətrafa nöqtəsinin yaxınlığı deyilir.
Bu təriflərdən çıxır ki, nöqtəsinin -ətrafına -nin özü daxil olduğu halda,
nöqtəsinin yaxınlığına -nin özü daxil deyil. Başqa sözlə, nöqtəsinin -ətrafı bu
nöqtədən msafədə olan nöqtələr çoxluğudur , nöqtəsinin yaxınlığı şərtini ödəyən nöqtələr çoxluğudur.
Tərif 6. Qeyd olunmuş noqtəsindən məsafəsi -i aşmayan
noqtələr çoxluğuna -ölçülü kürə (- kürənin mərkəzi, -isə onun radiusudur) deyilir.
Tərif 7. Müstəvinin aşağıdakı iki şərt ödəyən nöqtələr çoxluğuna oblast deyilir.

hər bir M nöqtəsi özünün hər hansı ətrafı ilə çoxluğuna daxildir ( belə nöqtələr daxili nöqtələr adlanır).

-yə daxil olan hər hansı və nöqtələrini ona daxil olan kəsilməz əyri ilə birləşdirmək mümkün olsun.

Qapalı və ya açıq oblastının cüt-cüt götürülmüş nöqtələri arasındakı məsafənin

dəqiq yuxarı sərhəddi bu oblastın diametri adlanır.
Tərif 8. nöqtəsi özünün hər hansı ətrafı ilə birlikdə çoxluğa daxil olarsa,
belə nöqtəyə daxili nöqtə deyilir.
Tərif 9. nöqtəsinin istənilən ətrafında çoxluğa həm daxil olan və həm də
daxil olmayan nöqtələr olarsa, onda bu nöqtəyə çoxluğun ( oblastın ) sərhəd nöqtəsi deyilir.
Oblastın (çoxluğun) bütün sərhəd nöqtələri onun sərhəddi adlanır.
Həndəsənin bir çox məsələlərində,təbiət hadisələri və s.iki,üç və s.dəyişənlərdən asılı funksiyalardan istifadə etmək lazım gəlir.
Misal1. Üçbucağın sahəsi oturacaq, y-hündürlük 2 dəyışəndən asılıdır.
Misal 2. Sferanın tənliyini ə görə həll edərək alırıq:
Z= ;x burada z, x və y-dən aslıdır.
Misal3. Kəsik konusun həcmi 3 dəyişəndən asılıdır.
Misal 4. Silindrin tam səthinin sahəsi 2 dəyişəndən asılıdır.
Tərif 1. Əgər D dəyişmə oblastından götürülmüş bir-birindən asılı olmayan iki x və y dəyişən kəmiyyətinin hər bir (x, y) qiymətlər cütünə z kəmiyyətin müəyyən bir qiyməti uyğun olarsa onda deyirik ki, z kəmiyyəti və sərbəst dəyişənlərinin funksiyasıdır və D oblastında təyin olunmuşdur.
İki dəyişənin funksiyası simvolik olaraq belə işarə olunur:
, və s.
İkidəyişənli funksiya cədvəl vasitəsi ilə və ya analitik şəkildə – düstur vasitəsi ilə verilə bilər. Birdəyişənli funksiyada olduğu kimi, ikidəyişənli funksiya da x və y arqumentlərinin, ümumiyyətlə, bütün qiymətlərində təyin olunmur.
Tərif 2. x və y dəyişənlərinin funksiyasının təyin olunduğu qiymətlər cütünün çoxluğuna bu funksiyanın təyin oblastı və ya varlıq oblastı deyilir.
Funksiyanın təyin oblastı həndəsi olaraq belə təsvir edilə bilər. Əgərxvəy dəyişənlərinin hər bir qiymətlər cütünü OXY müstəvisi üzərində M (x, y) nöqtəsi kimi göstərsək, onda funksiyanın təyin oblastı müstəvi nöqtələlrinin müəyyən bir çoxluğu əmələ gətirər. Həmin bu nöqtələr çoxluğuna funksiyanın təyin oblastı deyəcəyik. Hər hansı oblastı hüdudlandıran xətt həmin oblastın sərhədi adlanır. Oblastın sərhədi üzərində yerləşməyən nöqtələrinə onun daxili nöqtələri deyilir.
İkidəyişənli funksiyanın tərifini üç və daha çox dəyişənin funk­siyası üçün də asanlıqla ümumiləşdirmək olar.
Tərif 3. Əgər dəyişənlərinin baxılan hər bir qiymətlər çoxluğuna y dəyişəninin müəyyən bir qiyməti uyğun olarsa, onda y kəmiyyətinə dəyişənlərinin funksiyası deyilir və , yaxud və s. kimi işarə edilir.
İkidəyişənli funksiyada olduğu kimi, üç, dörd və daha çox dəyi­şənli funksiyaların da təyin oblastından danışmaq olar. Məsələn, üçdəyişənli funksiyanın təyin oblastı ədədlər üçlüyünün müəyyən çoxluğu olur. Qeyd edək ki, ədədlərin hər bir üçlüyü OXYZ fəzasının bir nöqtəsini təyin edir.
İkidəyişənli funksiyanın həndəsi təsviri.OXY müstəvisində yerləşən G oblastında təyin olunmuş