Raqamli texnologiyalarning Yangi O‘zbekiston rivojiga ta’siri

 
RAQAMLI TEXNOLOGIYALARNING 
YANGI 
O‘ZBEKISTON
 RIVOJIGA 
TA’SIRI
 
Xalqaro ilmiy-amaliy konferensiyasi
 
Текисликда иккита 
A
E
ва 
B
E
эллипслар билан чегараланган топламлар берилган 
бўлсин. Айтайлик 
(
)
1
2
1
1
1
,
A
F
 
, 
(
)
1
2
2
2
2
,
A
F
 
нуқталар 
A
E
эллипснинг, 
(
)
1
2
1
1
1
,
B
F
 
,
(
)
1
2
1
2
2
,
B
F
 
нуқталар эса 
B
E
эллипснинг фокуслари бўлсин. 
2
A
a
ва 
2
B
a
сонлар мос равишда 
A
E
ва 
B
E
эллипсларнинг катта ўқлари узунликлари бўлиб
,
A
B
a
a

(1) 
( )
( )
2
2
2
2
1
2
1
2
4
4
,
A
A
A
B
B
B
a
F F
a
F F
−

−
(2)
муносабатлар ўринли бўлсагина 
A
B
E
E

айирма ҳақида гапириш мумкин. Бу дегани 
A
B
E
E

айирма бўш бўлмаслигининг зарурий шарти: 
A
E
эллипснинг ўқлари узунлиги, 
B
E
эллипснинг ўқлари узунлигидан кичик бўлмаслиги лозим. Лекин (1) ва (2) шартлар 
бажарилиши 
A
B
E
E

айирма бўш бўлмаслиги учун етарли эмас. Қуйида (1) ва (2) шартлар 
бажарилган тақдирда 
A
B
E
E

тўпламнинг бўш бўлмаслиги
учун етарли шартларни баён 
қиламиз.
Текисликда эллипсни аниқлаш бир қийматли бўлиши учун унинг фокусларининг 
координаталарини ва катта ўқини узунлигини бериш кифоя. 
A
E
эллипснинг маркази
1
1
2
2
1
2
1
2
,
2
2
A
O
  



+
+




нуқта, худди шу каби 
1
1
2
2
1
2
1
2
,
2
2
B
O

 



+
+




нуқта 
B
E
эллипснинг 
маркази бўлади. 
( )
1, 0
i
вектор билан 
(
)
1
1
2
2
1
2
2
1
2
1
,
A
A
F F
  

−
−
вектор орасидаги бурчак косинуси
ва 
синуси 
(
) (
)
1
1
2
1
2
2
1
1
2
2
2
1
2
1
cos
 

 


−
=
−
+
−
,
(
) (
)
2
2
2
1
2
2
1
1
2
2
2
1
2
1
sin



 


−
=
−
+
−
, (3) 
формулалар орқали топилади. У ҳолда фокуслари 
(
)
1
2
1
1
1
,
A
F
 
, 
(
)
1
2
2
2
2
,
A
F
 
нуқталарда бўлган 
ва катта ўқи узунлиги 
2
A
a
га тенг 
A
E
эллипснинг тенгламаси
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
( ) (
) (
)
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
1
2
1
2
cos
sin
2
sin
cos
1
4
4
A
A
x
y
x
y
a
a

  

 

 


+
−
−
−
+
−
−
+
=
−
−
−
−
(4) 
кўринишда бўлади.

---

107 
 
RAQAMLI TEXNOLOGIYALARNING 
YANGI 
O‘ZBEKISTON
 RIVOJIGA 
TA’SIRI
 
Xalqaro ilmiy-amaliy konferensiyasi
 
Худди шу каби фокуслари 
(
)
1
2
1
1
1
,
B
F
 
,
(
)
1
2
1
2
2
,
B
F
 
нуқталарда бўлган ва катта ўқи 
узунлиги 
2
B
a
га тенг 
B
E
эллипснинг тенгламаси
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
( ) (
) (
)
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
1
2
1
2
cos
sin
2
sin
cos
1
4
4
B
B
x
y
x
y
a
a












+
−
−
−
+
−
−
+
=
−
−
−
−
(5) 
кўринишда бўлади.Бу ерда 

бурчак 
( )
1, 0
i
вектор билан 
(
)
1
1
2
2
1
2
2
1
2
1
,
B
B
F F

 

−
−
вектор 
орасидаги бурчак бўлиб, бу бурчакнинг косинус ва синуси
(
) (
)
1
1
2
1
2
2
1
1
2
2
2
1
2
1
cos







−
=
−
+
−
,
(
) (
)
2
2
2
1
2
2
1
1
2
2
2
1
2
1
sin
,







−
=
−
+
−
(6) 
каби топилади. 
A
B
E
E

тўплам бўш бўлмаслиги учун 
B
E
тўпламни параллел кўчириш ёрдамида 
A
E
тўпламнинг ичига жойлаштириш мумкин бўлиши лозим. Шунинг учун, 
B
E
тўпламни
B
A
O O
вектор бўйлаб параллел кўчирамиз. Натижада хосил бўлган 
B
E
эллипс тенгламаси
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
( ) (
) (
)
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
1
2
1
2
cos
sin
2
sin
cos
1
4
4
B
B
x
y
x
y
a
a

  

 





+
−
−
−
+
−
−
+
=
−
−
−
−
(7) 
кўринишда бўлиб қолади. 
Теорема 1. 
Евклид текислигида фокуслари ва катта ўқи орқали берилган иккита 
A
E
ва 
B
E
эллипслар 
A
B
E
E

Минковский айирмаси бўш бўлишлиги
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
( ) (
) (
)
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
( ) (
) (
)
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
1
2
1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
1
2
1
2
cos
sin
2
sin
cos
1;
4
4
2
cos
sin
2
sin
cos
1;
4
4
B
B
A
A
x
y
x
y
a
a
x
y
x
y
a
a

  

 






  

 

 



+
−
−
−
+
−
−

+
=

−
−
−
−



+
−
−
−
+
−
−
+
=


−
−
−
−

(8) 
система 4 та ҳақиқий ечимга ега бўлиши зарур ва етарли. Қолган ҳолларда 
A
B
E
E

Минковский айирмаси бўш бўлмайди. Бу ерда 
A
B
a
a

. 

---

108 
 
RAQAMLI TEXNOLOGIYALARNING 
YANGI 
O‘ZBEKISTON
 RIVOJIGA 
TA’SIRI
 
Xalqaro ilmiy-amaliy konferensiyasi
 
Исбот.
 
Бу теоремани исбот қилишда биз (8) системани тахлил қилишимиз керак. (8) 
системани соддароқ ёзиш учун баъзи белгилашларни киритамиз: 
( ) (
) (
)
2
2
2
1
1
2
2
2
1
2
1
2
4
,
A
A
b
a
 


=
−
−
−
−
(9) 
( ) (
) (
)
2
2
2
1
1
2
2
2
1
2
1
2
4
,
B
B
b
a




=
−
−
−
−
(10) 
(9) ва (10) ифодалар мос равишда 
A
E
ва 
B
E
эллипсларнинг кичик ўқлари узунликларидир. 
Бу белгилашлардан кейин (8) системани 
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
( )
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
2
cos
sin
2
sin
cos
1;
4
4
2
cos
sin
2
sin
cos
1;
4
4
B
B
A
A
x
y
x
y
a
b
x
y
x
y
a
b

  

 


  

 


+
−
−
−
+
−
−

+
=




+
−
−
−
+
−
−
+
=


(11) 
кўринишда ёзиб оламиз. 
A
B
E
E

айирмани ҳисоблашда 
B
E
тўпламни
B
A
O O
вектор бўйлаб 
параллел кўчирамиз натижада маркази 
A
O
нуқтада бўлган 
B
E
эллипсга ўхшаш 
B
E
эллипс 
ҳосил бўлади. Бунда қуйидаги ҳоллар бўлиши мумкин:
1) Биринчи ҳолда 
1
2
A
A
F F
ва
1
2
B
B
F F
векторлар ўзаро параллел бўлади. 
B
E
тўпламни
B
A
O O
вектор бўйлаб параллел кўчирганимизда 
B
E
ва 
A
E
эллипсларнинг мос ўқлари устма
-
уст тушади ва 
 
=
бажарилади. Бундай ҳолатда (11) система чекзиз кўп ҳақиқий ечимга, 
фақат 2 та ечимга эга бўлиши ёки умуман ечимга эга бўлмаслиги мумкин. Агар 
A
B
a
a
=
бўлиб, 
1
2
1
2
A
A
B
B
F F
F F
=
тенглик ўринли бўлса, у ҳолда (11) системанинг иккала тенгламаси 
ҳам бир хил бўлиб қолади. Бу дегани система чексиз кўп ечимга эга, яъни 
B
E
ва 
A
E
эллипслар устма
-
уст
тушиб қолади. Бу эса 
A
B
E
E

 
эканлигини англатади. 
Агар 
A
B
a
a
=
бўлиб, 
1
2
1
2
A
A
B
B
F F
F F

муносабат бажарилса, (11) системанинг биринчи 
тенгламасидан иккинчи тенгламасини айириб қуйидагича соддалаштирамиз:
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
( )
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
sin
cos
2
sin
cos
0.
4
4
B
B
x
y
x
y
b
b

 


 

−
+
−
−
−
+
−
−
−
=
(12) 

---

109