Ratsional va irratsional sonlar, haqiqiy sonlar, sonning absalyut qiymati va uning xossalari

2. Funksiya ekstremumlari. Ekstremumning zaruriy va yetarli shartlari
у = f(x) funksiya x₀ nuqtaning biror δ atrofida aniqlangan bo`lib, x<sub>0</sub> nuqtada uzluksiz bo`lsin.
Agar barcha x€(x₀-5; x₀) U (x₀;x₀+δ) nuqtalar uchun f(x)0) (f(x)>f(x₀)) tengsizlik o`rinli bo`lsa, x₀ f(x) funksiyaning qat`iy maksimum (minimum) nuqtasi deyiladi. (2 a - rasm).
Agarda har bir x€(x<sub>0</sub>-5;x<sub>0</sub>) U (x<sub>0</sub>;x<sub>0</sub>+δ) uchun f(x) < f(x<sub>0</sub>) (f(x)>fl;x<sub>0</sub>)) tengsizlik bajarilsa, u holda x<sub>0</sub> f(x) funksiyaning noqat`iy maksimum (minimum) nuqtasi deyiladi (2 b - rasm).
Funksiyaning qat`iy va noqat`iy maksimum va minimum nuqtalariga, uning lokal (mahalliy) xarakterdagi ekstremum nuqtalari deyiladi.
Agar x₀ f(х) funksiyaning maksimum nuqtasi bo`lsa, u holda x<sub>0</sub> nuqtaning qaralayotgan 6 atrofida Δf(x<sub>0</sub>) = f(x) - f(x<sub>0</sub>) < 0 (Δf(x<sub>0</sub>) < 0) munosabatlar o`rinli bo`ladi. Agarda x<sub>0</sub> f(x) funksiyaning minimum nuqtasi bo`lsa, unda Δf(x₀) > 0 (Δf(x₀) > 0) tengsizliklar bajariladi.

2 - Teorema. (Funksiya ekstrcmumining zaruriy sharti)
Agar x₀ nuqta f{x) funksiyaning ekstremum nuqtasi bo`lib, funksiya uning biror atrofida aniqlangan bo`lsa, u holda f `(x<sub>0</sub>) = 0 yoki f `(x₀) - mavjud emas.
Teoremani geometrik izohlash mumkin. Teorema shartlari bajarilganda, у = f(x) funksiya grafigining x₀ abssisali nuqtasiga o`tkazilgan urinma yoki mavjud va OX o`qiga parallel (2 a - rasm), yoki mavjud emas (2 b - rasm).

Integrallash jadvali, aniqmas integralda integrallash usullar.

Ko`p hollarda yangi o`zgaruvchi kiritish bilan intеgralni hisoblash, jadval intеgraliga kеltiriladi. Bunda almashtirish olinib, bunda yangi o`zgaruvchi bo`lib, o`zgaruvchini almashtirish formulasi
ko`rinishda bo`ladi.
O`zgaruvchini almashtirish usuliga bir nеcha misollar qaraymiz