Referat bajardi: att 70/22 guruh talabasi Nabiyev Otabek Tekshirdi: M. Kuchkarov

O’ZBEKISTON RASPUBLIKASI

OLIY VA O’RTA TA’LIM VAZIRLIGI

TOSHKENT MOLIYA INSTITUTI

ANDIJON FAKULTETI

IQTISODCHILAR UCHUN MATEMATIKA FANIDAN

REFERAT

Bajardi: ATT 70/22 guruh talabasi Nabiyev Otabek

Tekshirdi: M.Kuchkarov

.

BIRINCHI TARTIBLI DIFFERENSIAK TENGLAMALARGA OID

UMUMIY MASALALAR

Reja

1.Birinchi tartibli differensial tenglama .Bernulli va ozgarmaslarni variyantlash usuli.

2.Koshi teoremasi va masalasi

3. Hosilaga nisbatan yechilmagan 1- tartibli differensial tenglamalar

BIRINCHI TARTIBLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR. BERNULLI VA OʻZGARMASLARNI VARIATSIYALASH USULLARI.
Ixtiyoriy birinchi tartibli differensial tenglamani yechish talab qilingan boʻlsa, birinchi navbatda ushbu differensial tenglamada oʻzgaruvchilarni ajratish mumkinmi-yoʻqligini tekshirish lozim. Agar differensial tenglamada oʻzgaruvchilarni ajratishni iloji boʻlmasa, u holda differensial tenglamani bir jinslilikka tekshirish lozim. Har ikkala holda ham differensial tenglamani yechish algoritmini bilamiz.
Agar birinchi tartibli differensial tenglamada oʻzgaruvcahilarni ajratishni iloji boʻlmasa va tenglama bir jinsli ham boʻlmasa, u holda 90% holatlarda chiziqli bir jinsli boʻlmagan birinchi tartibli differensial tenglamaga duch kelamiz.
Chiziqli bir jinsli boʻlmagan birinchi tartibli differensial tenglamaning umumiy koʻrinishi
a(x)+y’(x)+b(x)y(x)=c(x)
standart koʻrinishi esa
y’(x)+p(x)y(x)=q(x)
boʻladi.
Teorema. Agar y ' = f{x,y) tenglamada f(x, y) funksiya v a undan y bo‘yicha olin gan xususiy hosila xOy tekislikdagi (x₀, ,y₀) nuqtani o‘z ichiga oluvchi biror sohada uzluksiz funksiyalar b o 'lsa , u holda berilgan tenglam aning x=x₀ b oiganda y= y₀ shartni qanoatlantiruvchi birgina y = (p(x) yechimi mavjuddir. Bu teorem a g eom etrik nuqtayi nazardan grafigi (x₀, y₀) nuqtadan o ‘tuvchi birgina y=cp(x) funksiyaning mavjudligini ifodalaydi. Teoremadan (1.2) tenglama cheksiz ko‘p turli yechimlarga ega ekanligi kelib chiqadi. x=x₀ b oiganda y funksiya berilgan y0 songa teng bo‘lishi kerak, degan shart boshlang ‘ich shart deyiladi. Bu shart ko'pincha ko‘rinishda yoziladi.
Standart koʻrinishda berilgan chiziqli bir jinsli boʻlmagan birinchi tartibli differensial tenglamani ikki xil usulda yechishni koʻrib chiqamiz:
Oʻzgarmasni variatsiyalash usuli.
Bernulli usuli.
1 Oʻzgarmasni variatsiyalash usuli algoritmi quyidagicha:
y’+p(x)y=0– oʻzgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama yechiladi – umumiy yechim topiladi.y(x)=f(c,x)ni oʻrniga biror bir u(x) – x ning funksiyasini qoʻyamiz c=u(x)
Y(x)=f(u(x),x)
usulning nomi ham shundan kelib chiqqan – oʻzgarmasni variatsiyalash (oʻzgartirish)
y(x)=f(u(x,)x)
ni y’+(x)y=q(x) differensial tenglamaga qoʻyamiz.
Eslatma: Ushbu fokusdan keyin tenglama oʻzgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamaga kelishi lozim!
Differensial tenglamalar — nomaʼlum funksiyalar, ularning turli tartibli hosilalari va erkli oʻzgaruvchilar ishtirok etgan tenglamalar. Bu tenglamalarda nomaʼlum funksiya i orqali belgilangan boʻlib, birinchi ikkitasida i bitta erkli oʻzgaruvchi t ga, keyingilarida esa mos ravishda x, t va x, u, z erkli oʻzgaruvchilarga bogʻliqdir. Differensial tenglama nazariyasi 17-asr oxirida differensial va integral hisobning paydo boʻlishi bilan bir vaqtda rivojlana boshlagan.
Differensial tenglama matematikada, ayniqsa, uning tatbiklarida juda katta ahamiyatga ega. Fizika, mexanika, iqtisodiyot, texnika va boshqa sohalarning turli masalalarini tekshirish differensial tenglamani yechishga olib keladi. 2. Xususiy hosilali differensial tenglama Bu tenglamalarning oddiy differensial tenglamadan farqli muhim xususiyati shundan iboratki, ularning barcha yechimlari toʻplami, yaʼni "umumiy yechimi" ixtiyoriy oʻzgarmaslarga emas, balki ixtiyoriy funksiyalarga bogʻliq .umuman, bu ixtiyoriy funksiyalarning soni differensial tenglamaning tartibiga teng; ularning erkli oʻzgaruvchilari soni esa izlanayotgan yechim oʻzgaruvchilari sonidan bitta kam boʻladi. Bir nomaʼlumli 1-tartibli xususiy hosilali Differensial tenglamani yechish oddiy differensial tenglama sistemasini yechishga olib keladi. Tartibi birdan yuqori boʻlgan xususiy hosilali differensial tenglama nazariyasida Koshi masalasi bilan bir katorda turli chegaraviy masalalar tekshiriladi.
Chiziqli tenglamalar (matematikada) — nomaʼlumlarning faqat birinchi darajalari aniq koeffitsiyentlar bilan qatnashib, ularning yuqori darajalari, oʻzaro koʻpaytmalari va murakkab funksiyalari qatnashmagan tenglamalar. Bir nomaʼlumli Chiziqli tenglamalar ax= koʻrinishda boʻladi. Bir necha nomaʼlumli hollarda esa Chiziqli tenglamalar sistemalari bilan ish koʻriladi. Aniqlovchi va matritsa toʻgʻrisidagi taʼlimotlar paydo boʻlganidan keyin Chiziqli tenglamalar nazariyasi rivojlandi. Chiziqlilik tushunchasi algebrik tenglamalardan mat.ning boshqa sohalaridagi tengliklarga koʻchiriladi.
Mac, chiziqli differensial tenglama nomaʼlum funksiya va uning hosilalari chizikli, yaʼni 1darajaliga kiradigan tenglamadir.
Chiziqli tenglamani quyidagi koʻrinishda ifodalash mumkin: ax + b = 0, bu yerda a - nol boʻlmagan son, b - ozod had.
Bir x o’zgaruvchili chiziqli tenglama deb ax=b (bu erda a va b – haqiqiy sonlar) ko’rinishidagi tenglamaga aytiladi. Bu yerda a – o’zgaruvchi oldidagi koeffitsient, b esa ozod had deyiladi.ax = b chiziqli tenglama uchun uchta hol ro’y berishi mumkin:
a≠0;bu holda tenglama ildizi
{\displaystyle x=-{\frac {b}{a}}}
ga teng;
a=0, b=0; bu holda tenglama 0*x=0 ko’rinishga keladi va har qanday x da to’g’ri bo’ladi;a=0, b≠0; bu holda tenglama 0*x=b ko’rinishga keladi va ildizga ega bo’lmaydi.
Differensial tenglamaning yechimini da boshlang’ich shartlar asosida topishga Koshi masalasi deyiladi. Birinchi tartibli differensial tenglama (n=1) uchun Koshi masalasi quyidagichadir: boshlang’ich shart da ni qanoatlantiruvchi differensial tenglamaning yechimi topilsin. Birinchi tartibli differensial uchun Koshi masalasining geometrik ma`nosi shundaki, umumiy yechimdan (egri chiziqlar dastasidan) kordinatalari , bo`lgan nuqtadan o`tuvchi integral egri chiziq ajratib olinadi.
Agar biror sohada uzluksiz bo`lib, shu sohada Lipshits sharti bajarilsa, u holda Koshi masalasi 0 shartni bajaruvchi yagona yechimga egadir (bunda N – Lipshits doimiysi).
Differensial tenglamalarning aniq yechimini topish juda kamdan – kam xollardagina mumkin bo`ladi. Amaliyotda uchraydigan ko`pdan – ko`p masalalarda aniq yechimni topishning iloji bo`lmaydi. Shuning uchun differensial
tenglamalarni yechishda taqribiy usullar muhim rol o`ynaydi. Bu usullar yechimlar qay tarzda ifodalanishlariga qarab quyidagi guruhlarga bo`linadilar:
1. Analitik usullar. Bu taqribiy usullarda yechim analitik (formula) ko`rinishda chiqadi.
2. Grafik usullar. Bu hollarda yechimlar grafik ko`rinishlarda ifodalanadi.
3. Sonli usullar. Bunda yechim jadval ko`rinishida olinadi.
Hisoblash matematikasida mazkur uch guruhga kiruvchi bir qancha usullar ishlab chiqilgan. Bu usullarning bir-birlariga nisbatan muayyan kamchiliklari va ustunliklari mavjud. Muhandislik masalalarini yechishda shularni hisobga olgan holda u yoki bu usulni tanlab olish lozim bo`ladi
Agar [a,b] kesmada f(x) va g(x) berilgan bo‘lib,
1) [a,b] da uzluksiz;
2) (a,b) intervalda f’(x) va g‘(x) mavjud, hamda g‘(x)0 bo‘lsa, u holda hech bo‘lmaganda bitta shunday c (a) nuqta topilib,

(4)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.


Isbot. Ravshanki, (4) tenglik ma’noga ega bo‘lishi uchun g(b)g(a) bo‘lishi kerak. Bu esa teoremadagi g‘(x)0, x(a;b) shartdan kelib chiqadi. Haqiqatdan ham, agar g(a)=g(b) bo‘lsa, u holda g(x) funksiya Roll teoremasining barcha shartlarini qanoatlantirib, biror c(a;b) nuqtada g‘(c)=0 bo‘lar edi. Bu esa x(a;b) da g‘(x)0 shartga ziddir. Demak, g(b)g(a).
Endi yordamchi   funksiyani tuzaylik.
Shartga ko‘ra f(x) va g(x) funksiyalar [a,b] da uzluksiz va (a,b) intervalda differensiyalanuvchi bo‘lgani uchun F(x) birinchidan [a,b] kesmada uzluksiz funksiyalarning chiziqli kombinatsiyasi sifatida uzluksiz, ikkinchidan (a,b) intervalda


hosilaga ega.

So‘ngra F(x) funksiyaning x=a va x=b nuqtalardagi qiymatlarini hisoblaymiz: F(a)F(b)0. Demak, F(x)funksiya [a,b] kesmada Roll teoremasiinng barcha shartlarini qanoailantiradi. Shuning uchun hech bo‘lmaganda bitta shunday c (a) nuqta topiladiki, F’(c)0 bo‘ladi.

Shunday qilib,



va bundan (1.4) tenglikning o‘rinli ekani kelib chiqadi. Isbottugadi.
Isbotlangan (4) tenglik Koshi formulasi deb ham ataladi. 4-chizma
Endi Koshi teoremasining geometrik ma’nosini aniqlaymiz. Aytaylik x=(t),y=f(t), atb tekislikdagi chiziqning parametrik tenglamasi bo‘lsin. Shuningdek chiziqda t=a ga mos keluvchi nuqtani A((a),f(a)),t=b ga mos keluvchi nuqtani B((b),f(b)) kabi belgilaylik. (4-chizma).
U holda (4) formulaning chap qismi AB vatarning burchak koeffitsientini, o‘ng tomoni esa egri chiziqqa parametrning t=c qiymatiga mos keladigan nuqtasida o‘tkazilgan urinmaning burchak koeffitsientini anglatadi.
Demak, Koshi formulasi AB yoyning AB vatarga parallel bo‘lgan urinmasining mavjudligini ta’kidlaydi ekan.