Ma’lum shartlar bajarilganda katta sondagi tasodifiy miqdorlar yig’indisi o’zining tasodifiylik xaraktyerini yo’qotadi. Shu shartlarni ifodalovchi teoremalar katta sonlar qonuni haqidagi teoremalar deyiladi.
Bu haqdagi 1-teorema Bernulli tomonidan isbotlangan. Katta sonlar qonuni haqida teoremani isbotlashda qo’llaniladigan Chebishev tengsizligini keltirib chiqaramiz. Dastlab, uning umumlashgani bo’lgan Markov tengsizligini isbotlaymiz .
Markov tengsizligi .Agar tasodifiy miqdorining matematik kutilmasi mavjud bo’lsa, ixtiyoriy va uchun
(1)
o’rinli bo’ladi.
Isbot: 1) Faraz qilaylik diskret tasodifiy miqdor bo’lsin. Ya’ni tasodifiy miqdor qiymatlarni ehtimolliklar bilan qabul qilsin ( ).
U holda
.
2) Endi faraz qilaylik uzluksiz tasodif miqdor zichlik funksiyasiga ega bo’lgan uzluksiz tasodifiy miqdor bo’lsin.
U holda
Demak,
(2)
Bu tengsizlikka Chebeshev tengsizligi deyiladi.
Agar (2) ga deb olsak, u holda
bo’ladi.
Agar normal taqsimotga ega bo’lsa, u holda
bajarilishiga ishonch hosil qilish mumkin.
Bunga -qoidasi deb ham ataladi.
Natija:Agar tasodif miqdorining dispyerstiyasi mavjud bo’lsa, ixtiyoriy uchun
. (3)
(3) ga ham Chebishev tengsizligi deyiladi.
Isboti: va o’zaro qarama-qarshi hodisalar bo’lganliklari uchun
va (2) ga asosan
Bizga tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi berilgan bo’lsin, ketma-ketlikni tuzib olamiz.
