Erkli sinashlarda nisbiy chastotaning o‘zgarmas ehtimoldan chetlanish ehtimoli

Erkli sinashlarda nisbiy chastotaning o‘zgarmas ehtimoldan chetlanish ehtimoli
Yana har birida A hodisaning ro‘y berish ehtimoli o‘zgarmas va p ga teng bo‘lgan n ta erkli sinash o‘tkazilmoqda deb hisoblaymiz. nisbiy chastotaning o‘zgarmas p ehtimoldan chetlanishi absolyut qiymati bo‘yicha avvaldan berilgan sondan katta bo‘lmaslik ehtimolini topishni o‘z oldimizga maqsad qilib qo‘yaylik. Boshqacha qilib aytganda,
(*)
Tengsizlikning ro‘y berish ehtimolini topamiz. Bu ehtimolni bunday belgilaymiz:
. (*) tengsizlikni unga teng kuchli
yoki
Tengsizliklar bilan almashtiramiz. Bu tengsizliklarni musbat ko‘paytuvchiga ko‘paytirib, dastlabki tengsizlikka teng kuchli tengsizliklarni hosil qilamiz:

Laplasning integral teoremasining eslatmada (52-bet) ko‘rsatilgan ko‘rinishidan foydalanamiz:

va deb, quyidagini hosil qilamiz:

N ihoyat, qavs ichidagi tengsizliklarni ularga teng kuchli bo‘lgan dastlabki tengsizlik bilan almashtirib, uzil-kesil quyidagini hosil qilamiz:

Shunday qilib,

t engsizlikning ro‘y berish ehtimoli taqriban Laplas funksiyasining

dagi ikkilangan qiymatiga teng.

1-misol. Detalning nostandart bo‘lish ehtimoli . Tasodifan olingan 400 ta detal ichida nostandart detallar bo‘lishi nisbiy chastotasining ehtimoldan chetlanishi absolyut qiymati bo‘yicha 0,03 dan katta bo‘lmaslik ehtimolini toping.
Y echilishi. Shartga ko‘ra
ehtimolni topish talab qilinadi

f ormuladan foydalanib

(2)
munosabatni hosil qilamiz.
Jadvaldan (2-ilova) ekanligini topamiz. Demak, .
Shunday qilib, izlanayotgan ehtimol taqriban 0,9544 ga teng. Hosil qilingan natijaning ma‘nosi quyidagicha: agar yetarli darajada ko‘p marta tekshirish o‘tkazilib, har bir tekshirishda 400 tadan detal olinsa, u holda bu tekshirishlarning taxminan 95,44% ida nisbiy chastotaning o‘zgarmas ehtimoldan chetlanishi absolyut qiymati bo‘yicha 0,03 da katta bo‘lmaydi.
2-misol. Detalning nostandart bo‘lish ehtimoli .
0,9544 ehtimol bilan (olingan detallar ichida) nostandart detallar chiqish nisbiy chastotasining o‘zgarmas ehtimoldan chetlanishi absolyut qiymati bo‘yicha 0,03 dan katta emas deya olish uchun qancha detal olinishi kerak?
Y echilishi. Shartga ko‘ra
n ni topish talab qilinadi.

formuladan foydalanamiz.

Demak,
Jadvaldan (2-ilova) ni topamiz.n sonni topish uchun quyidagi tenglamani hosil qildik:

Bundan, izlanayotgan detallar soni:
Hosil qilingan natijaning ma‘nosi quyidagicha: agar har birida 400 tadan detal olib, yetarli darajada ko‘p tekshirishlar o‘tkazilsa, u holda shulardan 95,44% ida nostandart detallar chiqishi nisbiy chastotasining o‘zgarmas ehtimoldan chetlanishi absolyut qiymati bo‘yicha 0,03 dan katta bo‘lmaydi, ya’ni nisbiy chastota quyidagi chegaralarda yotadi: dan gacha.
Boshqacha qilib aytganda, tekshirishlarning 95,44% ida nostandart detallar soni 28 dan (400 ning 7% i) 52 gacha (400 ning 13%) bo‘lgan chegaralarda yotadi.
Agar 400 detal olinib, bitta tekshirish o‘tkazilsa, u holda tekshirishda nostandart detallar 28 tadan kam emas va 52 tadan ko‘p emasligini katta ishonch bilan kutish mumkin. Nostandart detallar soni garchi kichik ehtimol bilan bo‘lsada, 28 tadan kam yoki 52 tadan ko‘p bo‘lishi mumkin.
Masalalar

1. 
   Sexda 6 ta motor bor. Har bir motorning tayin vaqti ishlab turgan bo‘lish ehtimoli 0,8 ga teng. Shu tayin vaqtda a) 4 ta motor ishlab turgan bo‘lish, b) hamma motorlar ishlab turgan bo‘lish, v) barcha motorlar ishlamasdan turgan bo‘lish ehtimolini toping.
   
2. 
   Agar har bir sinashda A hodisaning ro‘y berish ehtimoli 0,3 ga teng bo‘lsa, beshta erkli sinashda hodisaning kamida ikki marta ro‘y berish ehtimolini toping.
   
3. 
   A va B hodisa kamida ikki marta ro‘y bergan holda ro‘y beradi. Har birida A hodisaning ro‘y berish ehtimoli 0,4 ga teng bo‘lgan oltita erkli sinash o‘tkazilgan bo‘lsa, B hodisaning ro‘y berish ehtimolini toping.
   
4. 
   Har birida A hodisaning ro‘y berish ehtimoli 0,1 ga teng bo‘lgan, sakkizta erkli sinash o‘tkazilgan. A hodisaning kamida ikki marta ro‘y berish ehtimolini toping.
   
5. 
   Tanga olti marta tashlangan. Gerbli tomon a) ko‘pi bilan bir marta tushish, b) kamida ikki marta ro‘y berish ehtimolini toping.
   
6. 
   To‘pdan bitta o‘q uzishda nishonga tegish ehtimoli . Nishonga ta o‘q tekkanda uning yakson bo‘lish ehtimoli ga teng. Agar ikkita o‘q uzilgan bo‘lsa, nishonning yakson bo‘lish ehtimolini toping. K’orsatma. Bernulli formuasi va to‘la ehtimol formulasidan foydalaning.
   
7. 
   Agar sinashning har birida hodisaning ro‘y berish ehtimoli 0,2 ga teng bo‘lsa, 400 ta sinashda shu hodisaning 104 marta ro‘y berish ehtimolini taqriban toping.
   
8. 
   Merganning bitta o‘q uzishda nishonga tekkizish ehtimoli 0,75 ga teng, 100 ta o‘q uzilganda nishonga tekkan o‘qlar soni a) 70 dan kam emas va 80 da ko‘p emas, b) 70 dan ko‘p emas bo‘lish ehtimolini toping.
   
9. 
   10000 ta erkli sinashning har birida hodisaning ro‘y berish ehtimoli . Hodisa ro‘y berish nisbiy chastotasining hodisa ehtimolidan chetlanishi absolyut qiymati bo‘yicha 0,001 dan kata bo‘lmaslik ehtimolini toping.
   
10. 
    Erkli sinashlarning har birida hodisaning ro‘y berish ehtimoli 0,2 ga teng. 5000 ta sinashda 0,9128 ehtimollik bilan hodisa ro‘y berishi nisbiy chastotasining hodisa ehtimolidan qanchalik chetlanishini kutish mumkin?
    
11. 
    Tanganing gerbli tomoni tushishi nisbiy chastotasining ehtimolidan chetlanishi absolyut qiymati bo‘yicha 0,01 dan katta bo‘lmasligini 0,6 ehtimol bilan kutish uchun tangani necha marta marta tashlash kerak.