Reja Kirish Asosiy qism. Chiziqli operatorning ta’rifi. Unitar fazolarda chiziqli operatorlar. Evklid fazosidagi chiziqli operatorlar. Xulosa. Foydalanilgan adabiyotlar. Kirish

Maxsusmas operatorning trigonometrik ifodasi
T e o r e m a. CHekli o`lchamli unitar fazodagi har qanday maxsusmas f chiziqli operator uchun shunday musbat operatorlar va unitar operatorlar mavjudki
I s b o t. Maxsusmas f operator uchun musbat operator. U xolda 63-§ ga asosan shunday musbat g<sub>1</sub> operator
mavjudki Ushbu operatorning unitar
ekanligani ko`rsaxamiz. Haqqatan Bunga
asosan

SHunday qilib, SHunga o`xshash deb olib, ifoda isbotlanadi.

Maxsusmas operator uchun olingan ifoda nol’dan farqli kompleks sonni triganometrik ifodasiga ya`ni musbat sonning va moduli birga teng bo`lgan sonlarning ko`paytmasi shaklida ifodalashga o`xshash.
Evklid fazosidagi chiziqli operatorlar.
Evklid fazosida chiziqli operatorlar nazariyasi unitar fazodagi kabi ko`riladi. Bu nazariyalar orasidagi asosiy farq shuki, evklid fazosida ba`zi bir chiziqli operatorlar xos vektorga ega bo`lmasligi mumkin.
Evklid V fazosida chiziqli f va g operatorlar berilgan bo`lsin. Har qanday uchun tenglikni qanoatlantiruvchi g operator f ga qo`shma deb ataladi. Huddi unitar fazolardagi kabi, agar qo`shma operator mavjud bo`lsa, uning yagonaligi isbotlanadi. CHiziqli f operatorga qo`shma bo`lgan operatorni f* orqali belgilaymiz. Qo`shma operatorning evklid fazolardagi quyida keltiriladigan xossalari xuddi unitar fazolardagi kabi isbotlanadi: ,
1.
2.

3. 
   
4. 
   

3. Agar f ning teskarisi mavjud bo`lsa, f* ning xam teskarisi mavjud va

   
   

1-teorema. CHekli o`lchamli evklid V fazosida xar qanday chiziqli f operator uchun qo`shma operator mavjud. Agar f operatorning biror ortonormal bazisdagi matritsasi A bo`lsa, u xolda f* operatorning shu bazisdagi matritsasi A^T.

Isbot. CHiziqli f operatorning ortonormal bazisdagi matritsasi bo`lsin. Bu bazisda matritsasi A<sup>T</sup> bo`lgan operatorni g orqali belgilaymiz. U xolda

Bichiziqli va formalarni olib, ularning berilgan bazisdagi matritsalarini xisoblaymiz:

Demak, bu formalar berilgan bazisda bir xil A^T matritsaga ega. Bundan har qanday uchun ya`ni tenglikni olamiz.
Agar evklid V fazosidagi chiziqli f operator uchun ya`ni xar qanday uchun

bo`lsa, u o`z-o`ziga qo`shma yoki simmetrik deb ataladi.

CHe’sli o`lchamli evyushd fazosida f operatorning simmetrikligi ixtiyoriy ortonormal bazisda bu operator matritsasining simmetrikligiga teng kuchli. Xaqiqatan, agar f operatorning ortonormal bazisdagi matritsasi bo`lsa, u xolda bichiziqli formaning matritsasi A^T, bichiziqli formaning matritsasi esa A (tekshiring!). Bu bichiziqli formalar o`zaro teng bo`lgani sababli ya`ni A- simmetrik.
Aksincha, agar biror ortonormal bazisda chiziqli f operatorning matritsasi simmetrik bo`lsa, u xolda f xam simmetrik, chunki berilgan bazisda bichiziqli va formalar bir xil matritsaga ega.