Reja Kirish Asosiy qism. Chiziqli operatorning ta’rifi. Unitar fazolarda chiziqli operatorlar. Evklid fazosidagi chiziqli operatorlar. Xulosa. Foydalanilgan adabiyotlar. Kirish

2-t e o r e m a. CHekli o`lchamli evklid fazosida chiziqli f operatorning xos vektorlardan iborat ortonormal bazisining mavjud bo`lishi uchun uning simmetrik bo`lishi zarur va kifoya.
I s b o t. Agar chiziqli f operatorning xos vektorlaridan iborat ortonormal bazis mavjud bo`lsa, u xolda bu bazisda f ning matritsasi diagonal, demak, simmetrik. YUqoridagi izoxga asosan f xam simmetrik.
Teskari tasdiqni evklid V fazoning o`lchami bo`yicha induktsiya yordamida isbotlaymiz. Agar bo`lsa, tasdiqning to`g`riligi ravshan. endi va tasdiq o`lchami tengsizlikni qanoatlantiruvchi fazolar uchun to`g`ri deb faraz qilamiz. V- xaqiqiy fazo bo`lgani uchun 53-§ dagi 5-teoremaga asosan shunday baravar nol’ga teng bo`lmagan vektorlar va sonlar mavjudki, Bundan Bundan, . Bu erda bo`lgani uchun . Demak Bu x,y vektorlarning nol’dan farqlisini olib, uni o`z uzunligiga bo`lamiz. Xosil bo`lgan vektorni e₁ orqali belgilaymiz.
CHiziqli V fazoda e₁ ga ortogonal bo`lgan vektorlardan iborat qismfazoni V<sub>1</sub> orqali belgilaymiz, (tekshiring!). V<sub>1</sub> fazo f ga nisbatan invariant. Xaqiqatan, agar bo`lsa, u xolda . Bundan ya`ni
Induktsiyaning faraziga muvofiq V<sub>1</sub> da f ning xos vektorlaridan tuzilgan ortonormal bazis mavjud. Bu tizimga e<sub>1</sub> ni xam qo`shsak, V da f ning xos vektorlaridan iborat ortonormal bazisni xosil qilamiz.
1-natija. Simmetrik operatorning xarakteristik ko`pxadi faqat xaqiqiy ildizlarga ega.
I s b o t. Simmetrik f operatorning A matritsasi uning xos vektorlaridan iborat ortonormal bazisda

bazisga ega. Demak,

2-natija. CHekli o`lchamli evklid fazosida xar qanday simmetrik bichiziqli forma uchun ortonormal kanonik bazis mavjud.
I s b o t. CHekli o`lchamli evklid V fazosida simmetrik bichiziqli forma berilgan va A uning biror ortonormal bazisdagi matritsasi bo`lsin. U xolda A-simmetrik va bu matritsa aniqlagan f operator xam simmetrik bo`lib, 2-teoremaga asosan f operator uchun uning xos vektorlaridan tuzilgan ortonormal bazis mavjud bo`lib, bu bazis uchun kanonik, chunki xar bir uchun

Bu natija yordamida quyidagi tasdiqni isbotlaymiz.

3-t e o r e m a. CHekli o`lchamli xaqiqiy fazoda ikkita simmetrik bichiziqli formalar berilgan bo`lib, ularning mos kvadratik formalarining birortasi musbat bo`lsa, u xolda ular umumiy kanonik bazisga ega.
I s b o t. CHekli o`lchamli xaqiqiy V fazoda simmetrik bichiziqli va formalar berilgan va kvadratik forma musbat bo`lsin. U xolda V da tenglik bilan skalyar ko`paytma kiritib, V ni evklid fazosiga aylantiramiz. 2-natija bo`yicha forma uchun olingan ortonormal kanonik bazis forma uchun xam kanonik, chunki bu bazis ortonormal.
Agar evklid g`fazosidagi chiziqliG`operatorning teskarisi mavjud va bo`lsa, u ortogonal deb ataladi.
Bu ta`rifdan ortogonal operatorning skalyar ko`paytmani o`zgartirmasligi va demak, vektorlarning uzunligi xamda ular orasidagi burchakni saqlashi kelib chiqadi:

Xususan, ortogonal operator ortonormal tizimni ortonormal tizimga akslantiradi. CHekli o`lchamli fazolarda teskari tasdiq xam o`rinli: agar biror chiziqli f operator biror ortonormal bazisni ortonormal bazisga akslantirsa, u ortogonaldir.

Xaqiqatan, V evklid fazosida ortonormal bazis va

bo`lsin. U xolda V dagi xar qanday vektorlar uchun

Bundan Bu erda deb olsak, . Demak ya`ni xar qanday uchun, ya`ni .
Agar kvadrat A matritsa maxsusmas va bo`lsa, u ortogonal deb ataladi.
Masalan, agar birinchi tartibli ortogonal matritsa bo`lsa, u xolda ya`ni Ikkinchi tartibli

ortogonal matritsa uchun tengliklar kelib chiqadi. tengliqdan ekanligi kedib chiqadi. Ushbu tenglikni qanoatlantiruvchi xar qanday A matritsa uchun shunday mavjudki, ya`ni