Reja: O`lchovli to`plamlar



Yüklə 63,67 Kb.
səhifə4/4
tarix23.12.2022
ölçüsü63,67 Kb.
#77609
1   2   3   4
Reja O`lchovli to`plamlar

sk

tenglik o`rinli. Haqiqatan ham, A 2 M(S) bo`lganligi uchun Ak = Pkj ;
j=1

bu yerda fPkjg - o`zaro kesishmaydigan to`g`ri to`rtburchaklar

sistemasi. U

S

holda



















n

sk

n




sk

n




A =

Pkj

va m0(A) =




m (Pkj) =

m0 (Ak) :

=1 j=1

k=1

j=1

k=1




k[ [

X X

X




(6.1) tenglik

m0 o`lchovning additivlik xossasini ifodalaydi.




6.1-teorema. Agar

A 2 M(S) va

fAng ¡ elementar to`plamlarning

chekli yoki sanoqli sistemasi bo`lib, A ‰ n




An bo`lsa,





























S =m0 (A)X m0 (An)






(6:2)









n













tengsizlik o`rinli bo`ladi.
Isbot. Ixtiyoriy " > 0 va A elementar to`plam uchun

tengsizlikni qanoatlantiruvchi va A

to`plamda saqlanuvchi yopiq ¯






















A elementar

to`plam mavjud (6.5-chizmaga qarang, n >

4(b ¡ a + d ¡ c)

: )
















"













Har bir elementar A

to`plam uchun ochiq

A




A




elementar to`plam

mavjudki (6.6-chizmaga

nqarang)







en

¾




n










m0 An· • m0 (An) +

2n"+1










(6:4)




e

























6.1-teorema tasdig`idagi (6.2) tengsizlik, m0 o`lchovning yarim additivlik xossasi deyiladi.




m0 o`lchovning yarim additivlik xossasidan uning ¾ - additivlik xossasi kelib chiqadi, ya'ni quyidagi teorema o`rinli.

6.2-teorema. A elementar to`plam sanoqli sondagi o`zaro kesishmaydigan A1; A2; : : : ; An; : : : elementar to`plamlarning yig`indisidan iborat, ya'ni A =


S1
An bo`lsin. U holda quyidagi tenglik o`rinli
n=1
Agar N ! 1 da limitga o`tsak,
m0(A)X1 m0 (An)


n=1
bo`ladi.
6.1-teoremaga ko`ra


m0(A)X1 m0 (An) :


n=1Oxirgi ikki munosabatdan (6.6) tenglik kelib chiqadi.

6.2. Tekislikdagi to`plamlarning Lebeg o`lchovi. Geometriya va klas-sik analizda uchraydigan to`plamlar faqatgina elementar to`plamlardan iborat bo`lmaydi. Shu sababli o`lchov tushunchasini, uning xossalarini saqlagan hol-


da elementar to`plamlar sistemasi M(S) dan kengroq to`plamlar sistemasi uchun aniqlashga harakat qilamiz.

Lebeg o`lchovi nazariyasini bayon qilish jarayonida bizga nafaqat chek-li, balki cheksiz sondagi to`g`ri to`rtburchaklar birlashmalarini ham qarashga to`g`ri keladi. Bunda birdaniga cheksiz o`lchovli to`plamlarga duch kelmaslik



uchun, dastlab E = f(x; y) : 0 • x • 1;

0 • y • 1g birlik kvadratda

saqlanuvchi to`plamlar bilan chegaralanamiz.










6.4-ta'rif. Ixtiyoriy A ‰ E to`plam uchun









A

inf

m(P

)

(6:7)

(




) = A‰ k Pk Xk

k













S









son A to`plamning tashqi o`lchovi deyiladi. Bu yerda aniq quyi chegara A


to`plamni qoplovchi to`g`ri to`rtburchaklarning barcha chekli yoki sanoqli sis-temalari bo`yicha olinadi.


fPkg to`g`ri to`rtburchaklar sistemasi A to`plamni qoplaydi, shuning uchun o`rinli.

Ikkinchi tomondan, fQjg sistema A to`plamni qoplovchi chekli yoki sanoqli sondagi ixtiyoriy to`g`ri to`rtburchaklar sistemasi bo`lsa, 6.1-teoremaga ko`ra m0(A)P m(Qj) kelib chiqadi.


Demak, (6.8) va (6.9) lardan m0(A) = (A) tenglikka ega bo`lamiz. Shunday qilib, M(S) da m0 va o`lchovlar ustma-ust tushar ekan.

6.3-teorema. Agar chekli yoki sanoqli sondagi fAng to`plamlar sistemasi uchun A ‰ S An bo`lsa, u holda




S=„(A)X(An)


n

tengsizlik o`rinli. Xususan, agar A ‰ B bo`lsa, (A) • „(B) bo`ladi.


Isbot. Ixtiyoriy " > 0 va har bir An uchun tashqi o`lchov ta'ri ga ko`ra to`g`ri to`rtburchaklarning shunday chekli yoki sanoqli fPnkg sistemasi mavjud-



ki,

[k




Xk

m (Pnk) • „ (An) + 2"n

An

Pnk va



bo`ladi. U holda quyidagilar o`rinli:




A ‰ Pnk va (A)


X X m (Pnk)X (An) + ":






  1. > 0 sonning ixtiyoriyligidan teoremaning isboti kelib chiqadi.

Ma'lumki, elementar to`plamlar sistemasi M(S) da m0 va lar ustma-


ust tushadi. Demak, 6.1-teorema 6.3-teoremaning xususiy holini ifodalaydi. 6.5-ta'rif. Bizga A ‰ E to`plam berilgan bo`lsin. Agar ixtiyoriy " > 0

U(E)
uchun shunday B ‰ E elementar to`plam mavjud bo`lib, (A B) < " tengsizlik bajarilsa, u holda A Lebeg ma'nosida o`lchovli to`plam deyiladi. Agar A Lebeg ma'nosida o`lchovli to`plam bo`lsa, uning o`lchovi deb tashqi o`lchovini qabul qilamiz.

bilan E ning barcha o`lchovli qism to`plamlaridan tashkil topgan sistemani belgilaymiz. bilan to`plam funksiyasining U(E) dagi qismini belgilaymiz, ya'ni ixtiyoriy A 2 U(E) uchun (A) = (A): Aniqlanish


sohasi U(E) bo`lgan to`plam funksiyasi Lebeg o`lchovi deyiladi. Shunday qilib, o`lchovli to`plamlar sistemasi U(E) va unda Lebeg o`lchovi aniqlandi. Bizning asosiy maqsadimiz o`lchovli to`plamlar sistemasi U(E) ni chek-


li yoki sanoqli sondagi to`plamlarning birlashmasi va kesishmasiga nisbatan yopiqligini ko`rsatishdan, ya'ni U(E) ning ¾ algebra tashkil qilishini isbot-


lashdan iborat.


Shuni ta'kidlash joizki, agar A Jordan ma'nosida o`lchovli to`plam bo`lsa,


u Lebeg ma'nosida ham o`lchovli to`plam bo`ladi va bu o`lchovlar o`zaro teng bo`ladi.


Hozir biz Lebeg ma'nosida o`lchovli, ammo Jordan ma'nosida o`lchovli bo`lmagan to`plamga misol keltiramiz.


6.1-misol. A ‰ E birlik kvadratdagi barcha ratsional koordinatali nuqta-lar to`plami bo`lsin. Uning Lebeg ma'nosida o`lchovli, ammo Jordan ma'nosida o`lchovli emasligini isbotlang.


Isbot. A va EnA to`plamlar E da zich bo`lganligi uchun




j(A) = 1; j(EnA) = 1

tengliklar o`rinli. Bu yerdan j(A) = 0 va j(A) 6= j(A): Demak, A to`plam Jordan ma'nosida o`lchovli emas. Ma'lumki, A sanoqli to`plam (3.3-misolga


qarang), shuning uchun uning elementlarini (xk; yk); k 2 N ko`rinishda nomer-lab chiqish mumkin. Shunday ekan,


[1
A = ∑ Pk; Pk = f(x; y) : xk • x • xk; yk • y • ykg :
k=1

Ikkinchi tomondan ixtiyoriy k 2 N uchun m(Pk) = 0: Bu yerdan (A) = 0 ekanligi kelib chiqadi. Shuni ta'kidlash lozimki, tashqi o`lchovi nolga teng bo`lgan har qanday to`plam o`lchovli to`plamdir. Buning uchun elementar to`plam sifatida B = ; ni olish yetarli:


(A B) =(A ;) =(A) = 0 < ":


Demak, A Lebeg ma'nosida o`lchovli to`plam. Shunday qilib, A Lebeg ma'nosida o`lchovli bo`lgan, lekin Jordan ma'nosida o`lchovli bo`lmagan to`plamga misol bo`ladi.


6.4-teorema. O`lchovli to`plamning to`ldiruvchisi o`lchovlidir.



A1; A2
Isbot. Teoremaning tasdig`i elementar to`plamning to`ldiruvchisi elementar to`plam ekanligidan va



  1. B = (EnA)Δ(EnB)

tenglikdan (1-ü dagi 2-topshiriqqa qarang) kelib chiqadi.


6.5-teorema. O`lchovli to`plamlar sistemasi U(E) halqa bo`ladi.


Isbot. Teoremani isbotlash uchun o`lchovli to`plamlarning kesishmasi va simmetrik ayirmasi yana o`lchovli to`plam ekanligini ko`rsatish yetarli.


o`lchovli to`plamlar bo`lsin. 6.5-ta'rifga ko`ra, ixtiyoriy " > 0 son uchun shun-

day B1 2 M(S) va B2 2 M(S) elementar to`plamlar mavjud bo`lib, quyida-gi tengsizliklar bajariladi





(A1

B1) <

"

;

(A2

B2) <

"




:













2

2



















U holda (A1 \A2)Δ(B1 \B2) (A1 B1)[(A2 B2) munosabatdan va tashqi o`lchovning yarim additivlik xossasidan


((A1 \ A2)Δ(B1 \ B2)) • „(A1 B1) +(A2 B2) < "


ga ega bo`lamiz. B1 \ B2 ning elementar to`plam ekanligidan A1 \ A2 ning o`lchovli to`plam ekanligi kelib chiqadi.


Ikki to`plam simmetrik ayirmasining o`lchovli ekanligi


A1; A2; : : : ; An

(A1 A2)Δ(B1 B2) = (A1 B1)Δ(A2 B2)(A1 B1) [ (A2 B2)


munosabatdan hamda o`lchovning yarim additivlik xossasidan kelib chiqa-di. Agar o`lchovli to`plamlar sistemasi U(E) da birlik element mavjud bo`lsa,

6.5-teorema va 5.1-5.2 xossalardan quyidagi tasdiqlar kelib chiqadi.


6.1-natija. Ikki o`lchovli to`plamning birlashmasi va ayirmasi yana o`lchovli to`plamdir.


6.2-natija. Chekli sondagi o`lchovli to`plamlarning birlashmasi va kesish-masi yana o`lchovli to`plamdir.


6.6-teorema (O`lchovning additivlik xossasi). Agar lar

o`zaro kesishmaydigan o`lchovli to`plamlar bo`lsa, u holda


ˆ[n ! Xn

  1. Ak =(Ak)



k=1 k=1

tenglik o`rinli.


Teoremani isbotlashda quyidagi lemmadan foydalaniladi.


6.2-lemma. Ixtiyoriy A va B to`plamlar uchun


j„(A) ¡ „(B)j • „(A B)

tengsizlik o`rinli.


Isbot. A ‰ B [ (A B) bo`lgani uchun 6.3-teoremaga ko`ra


(A) • „(B) +(A B):


Bu yerdan (A) ‚ „(B) hol uchun lemmaning isboti kelib chiqadi. Xuddi shunday, B ‰ A [ (A B) munosabatdan


(A1 B1) < "; „(A2 B2) < "

tengsizliklar bajariladi. A = A1 [ A2 va B = B1 [ B2 deymiz. 6.1-natijaga ko`ra A to`plam o`lchovli. A1 va A2 to`plamlar o`zaro kesishmaganligi uchun B1 \ B2(A1 B1) [ (A2 B2) munosabat o`rinli (1-ü dagi 5-topshiriqqa qarang). Bu munosabatdan va 6.3-teoremadan m0(B1 \ B2) 2" tengsizlik kelib chiqadi. 6.2-lemmaga ko`ra,


m0(B) = m0(B1) + m0(B2) ¡ m0(B1 \ B2) ‚ „(A1) +(A2) ¡ 4": (6:11)

Quyidagi tengsizlik o`rinli


(A) ‚ m0(B) ¡ „(A B) ‚ m0(B) ¡ 2" ‚ „(A1) +(A2) ¡ 6":


Birinchi tengsizlik 6.2-lemmadan, ikkinchi tengsizlik



  1. B ‰ (A1 B1) (A2 B2)

munosabatdan, uchinchi tengsizlik (6.11) dan kelib chiqadi. " > 0 sonining ixtiyoriyligidan
(A) ‚ „(A1) +(A2)
ni hosil qilamiz. Teskari tengsizlik

(A) • „(A1) +(A2)


esa A ‰ A1 [A2 munosabatdan hamda 6.3-teoremadan kelib chiqadi. Demak,

(A) =(A1) +(A2)


tenglik o`rinli. A1; A2 va A to`plamlar o`lchovli bo`lganligi uchun ni bilan almashtirish mumkin, ya'ni (A) = (A1) + (A2) .

6.3-natija. Ixtiyoriy A ‰ E o`lchovli to`plam uchun





„ (EnA) = 1 ¡ „(A)

(6:12)

tenglik o`rinli.


Isbot. A va EnA to`plamlar o`zaro kesishmaydi va

„(A) +(EnA) =(E) = 1


Bu yerdan (6.12) tenglik kelib chiqadi.


6.7-teorema. Sanoqli sondagi o`lchovli to`plamlarning birlashmasi va ke-sishmasi yana o`lchovli to`plamdir.


Isbot. A1; A2; : : : ; An; : : : ¡ o`lchovli to`plamlarning sanoqli sistemasi bo`lib, A =An bo`lsin. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz


n=1
n[¡1
A01 = A1; A0n = Ann Ak; n ‚ 2:


k=1
Ravshanki, A = S1 A0n hamda A0n to`plamlar juft-jufti bilan o`zaro kesish-
n=1
maydi. 6.1 va 6.2-natijalarga ko`ra, A0n to`plamlar o`lchovli.

6.6-teoremadan hamda tashqi o`lchovning yarim additivlik xossasidan ix-tiyoriy chekli n 2 N uchun quyidagiga ega bo`lamiz





O`lchovli to`plamlarning to`ldiruvchisi o`lchovli ekanligidan hamda


An = En*(EnAn)n

tenglikdan sanoqli sondagi o`lchovli to`plamlarning kesishmasi ham o`lchovli ekanligi kelib chiqadi.


6.4-natija. O`lchovli to`plamlar sistemasi U(E) , ¾ algebra tashkil qiladi.


Natijaning isboti 6.7-teoremadan hamda U(E) sistemada E = [0; 1] £ [0; 1] ning birlik element ekanligidan kelib chiqadi.


6.7-teorema 6.2-natijaning umumlashmasi hisoblanadi. 6.6-teoremaning umumlashmasi quyidagicha.


6.8-teorema (O`lchovning ¾¡ additivlik xossasi). Agar fAng ¡ o`zaro kesishmaydigan o`lchovli to`plamlar ketma-ketligi uchun




A =An n=1

bo`lsa, u holda quyidagi tenglik o`rinli


X1

„(A) =(An) :

(6:15)

n=1




Agar k ! 1 da limitga o`tsak,





X1= (An)(A)

(6:16)

n=1

tengsizlikka ega bo`lamiz. O`lchovning yarim additivlik xossasiga ko`ra,


X1



„(A) •„ (An) :

(6:17)

n=1




(6.16) va (6.17) dan (6.15) tenglik kelib chiqadi.

Yuqorida keltirilgan teorema o`lchovning sanoqli additivlik yoki ¾¡ addi-tivlik xossasi deyiladi. O`lchovning ¾¡ additivlik xossasidan uning uzluksizlik xossasi kelib chiqadi.


„(A) = lim(An):
n!1
Isbot. A = ; to`plam bo`lgan holni qarash yetarli, chunki umumiy hol An ni AnnA bilan almashtirish natijasida A = ; holga keltiriladi. Quyidagi
A1 = (A1nA2) [ (A2nA3) [ (A3nA4) [ : : :
va
AN = (AN nAN+1) [ (AN+1nAN+2) [ (AN+2nAN+3) [ : : :

tengliklar o`rinli va qo`shiluvchi to`plamlar juft-jufti bilan o`zaro kesishmaydi. O`lchovning ¾¡ additivlik xossasiga ko`ra


X1




„(A1) =

„ (AnnAn+1) ;

(6:18)




n=1










1










nX

„ (AnnAn+1) :







„(AN ) =

(6:19)




=N




N ! 1 da

(6.18) qator yaqinlashuvchi bo`lgani uchun uning qoldig`i (6.19)

nolga intiladi. Shunday qilib,










N!1































ketligi uchun

A =An bo`lsa, u holda




„(A) = lim(An):


n!1

Natijani isbotlash uchun An to`plamlardan ularning to`ldiruvchilariga o`tish


va 6.9-teoremadan foydalanish yetarli.


6.3. Ayrim to`ldirishlar. Biz yuqorida faqat birlik kvadrat





  1. = f(x; y) : 0 • x • 1; 0 • y • 1g da saqlanuvchi to`plamlarni qaradik. Bu cheklashdan xalos bo`lish mumkin. Ma'lumki, R2 ni juft-jufti bilan o`zaro

kesishmaydigan


Emn = f(x; y) : m • x < m + 1; n • y < n + 1g
( m; n¡butun sonlar) kvadratlar yig`indisi ko`rinishida tasvirlash mumkin:



6.4. Ayrim umumlashtirishlar.

U(R2)




X




„(A) =

„(Amn)

(6:20)

m;n2Z

qator yig`indisi A to`plamning Lebeg o`lchovi deyiladi.


Agar (6.20) qator yig`indisi chekli bo`lsa, A chekli o`lchovli to`plam deyila-


di. Aks holda A cheksiz o`lchovli to`plam deyiladi. Shuning uchun o`lchov


cheksiz qiymat ham qabul qilishi mumkin. O`lchov va o`lchovli to`plamlarning yuqorida o`rnatilgan barcha xossalari bu hol uchun ham o`rinli bo`ladi. Biroq 6.9-teoremada (6.18) qator yaqinlashuvchi bo`lishi uchun (A1) < +1 shart-ni qo`shishimiz kerak bo`ladi. Takidlash lozimki, sanoqlita chekli o`lchovli to`plamlar yig`indisi cheksiz o`lchovga ega bo`lishi mumkin. Tekislikdagi bar-


cha o`lchovli to`plamlar sin ni bilan belgilaymiz.

Bu paragrafda tekislikdagi to`plamlar uchun Lebeg o`lchovining qurilish usulini bayon qildik. Sonlar o`qi R dagi va uch o`lchamli R3 fazodagi to`p-


lamlar uchun ham Lebeg o`lchovi shunga o`xshash usulda quriladi. Masalan sonlar o`qida o`lchov dastlab (a; b) intervallar, [a; b] kesmalar va [a; b);


(a; b] yarim intervallardan tashkil bo`lgan S1 yarim halqada, ularning uzun-ligi sifatida aniqlanib, keyin S1 ni saqlovchi minimal halqaga davom ettirila-di. Undan keyin esa tekislikdagiga o`xshash usulda Lebeg ma'nosida o`lchovli to`plamlardan iborat ¾ algebragacha davom ettiriladi. Aynan shunga o`xshash


usulda Lebeg o`lchovini istalgan o`lchamli Evklid fazosida ham qurish mumkin. Tekislikda Lebeg ma'nosida o`lchovli to`plamlarni kiritish jarayoni-da odatdagi yuza ta'ri dan kelib chiqdik. Shunga o`xshash bir o`lchamli holda Lebeg o`lchovining kiritilishi interval (kesma, yarim interval) uzunligi tushun-chasiga asoslanadi.




singulyar o`lchov deyiladi.

Bizga sonlar o`qida aniqlangan kamaymaydigan o`ngdan uzluksiz F funk-siya berilgan bo`lsin. Interval, kesma va yarim intervallarga F funksiya yor-damida quyidagi sonlarni mos qo`yamiz:




m ((a; b)) = F (b ¡ 0) ¡ F (a); m ([a; b]) = F (b) ¡ F (a ¡ 0); m ((a; b]) = F (b) ¡ F (a); m ([a; b)) = F (b ¡ 0) ¡ F (a ¡ 0):
Ravshanki, bu usulda aniqlangan m interval (kesma va yarim interval) funk-

siyasi man ymas va additiv. Yarim halqada kiritilgan bu o`lchovga yuqorida-gidek mulohazalarni qo`llab, qandaydir F (¢) o`lchovni qurishimiz mumkin. Bunda F o`lchovga nisbatan o`lchovli bo`lgan to`plamlarning UF sistemasi sanoqli yig`indi va sanoqli kesishmaga nisbatan yopiq bo`ladi, F o`lchov esa ¾¡ additiv bo`ladi. Umuman olganda, F o`lchovga nisbatan o`lchovli to`plamlar sin F funksiyaning tanlanishiga bog`liq. Ammo R da o`ngdan


uzluksis, kamaymaydigan istalgan F funksiya uchun ochiq va yopiq to`plamlar,


shuningdek, ularning istalgan sanoqli yig`indi va sanoqli kesishmalari o`lchovli to`plamlar bo`ladi. U yoki bu kamaymaydigan o`ngdan uzluksiz F funksiya



vositasida qurilgan F

o`lchov Lebeg-Stiltes o`lchovi deyiladi.

Bizga Lebeg o`lchovi

„ va Lebeg-Stiltes o`lchoviF berilgan bo`lsin.

6.7-ta'rif. Agar (A) = 0 ekanligidan

F (A) = 0 kelib chiqsa,F ab-

solyut uzluksiz o`lchov deyiladi. Agar F

o`lchov chekli yoki sanoqli qiymat

qabul qiluvchi

F funksiya yordamida aniqlansa,F

diskret o`lchov deb ata-

ladi. Agar F

o`lchovda istalgan bir nuqtali to`plam

0 o`lchovga ega bo`lsa

va Lebeg o`lchovi nolga teng bo`lgan biror A to`plam uchun F (RnA) = 0 bo`lsa, u holda F


Ko`rsatish mumkinki, istalgan o`lchov absolyut uzluksiz, diskret va singul-yar o`lchovlar yig`indisi ko`rinishida tasvirlanadi va bu tasvir yagonadir.


6.5. O`lchovsiz to`plamning mavjudligi. Biz ko`rsatdikki, Lebeg ma'-nosida o`lchovli bo`lgan to`plamlar sin yetarlicha keng. Tabiiy ravishda Lebeg





ma'nosida o`lchovsiz to`plam mavjudmi? - degan savol paydo bo`ladi. Bu savol ijobiy yechilishini ko`rsatamiz. O`lchovsiz to`plamni qurishni sonlar o`qida amal-ga oshiramiz.


6.2-misol. Chegaralangan o`lchovsiz to`plamga misol keltiring. Yechish. Buning uchun [¡1; 1] kesmaning nuqtalari orasida ekvivalentlik


tushunchasini kiritamiz: agar x va y ning ayirmasi x¡y ratsional son bo`lsa, ular ekvivalent deyiladi. Bu munosabat ekvivalentlik munosabati bo`ladi. Shu-ning uchun [¡1; 1] kesma o`zaro ekvivalent bo`lgan elementlardan iborat




K(x); x 2 [¡1; 1] sinflarga ajraladi. Bunda turli sin ar o`zaro kesishmaydi.

Shunday qilib [¡1; 1] kesma o`zaro kesishmaydigan K(x); x 2 [¡1; 1] sinf-larga ajraldi. Endi bu sin arning har biridan bittadan element tanlab olib, bu tanlab olingan elementlar to`plamini A bilan belgilaymiz.


Bu A to`plamning o`lchovsiz ekanligini isbotlaymiz. [¡1; 1] kesmadagi barcha ratsional sonlar to`plamini nomerlab chiqamiz:




r0 = 0; r1; r2; : : :
Ak bilan A to`plamni rk songa siljitishdan hosil bo`lgan to`plamni belgi-laymiz, ya'ni Ak = A + rk = fy : y = x + rk; x 2 Ag : Xususan A0 = A , Ak to`plam A to`plamdan rk ga siljitish orqali hosil qilingani uchun ular bir vaqtda yo o`lchovli, yo o`lchovsiz to`plamlar bo`ladi. Faraz qilaylik, A o`lchovli

to`plam bo`lsin. U holda uni rk ga siljitishdan hosil bo`lgan Ak to`plam ham o`lchovli bo`ladi va (Ak) = (A) tenglik o`rinli. Ravshanki,


[1


[¡1; 1] ‰ Ak:


k=0

Bundan, o`lchovning yarim additivlik xossasiga asosan


2 = ([¡1; 1]) • „( Ak) =(A) +(A) + ¢ ¢ ¢ +(A) + ¢ ¢ ¢ :


k=0

Xususan K(0) = 0; K(1) = 1 .

6.5. F (x) = 2x + 1 funksiya yordamida qurilgan F ¡ Lebeg-Stiltes o`lchovi absolyut uzluksiz o`lchov bo`ladi. Bu o`lchov bo`yicha A = (1; 5] to`plamning o`lchovini toping.


Yechish. Ta'rifga ko`ra
F(A)=F(5)¡F(1)=2¢5+1¡(2¢1+1)=11¡3=8:
funksiya yordamida qurilgan F ¡Lebeg-Stiltes o`lchovi diskret o`lchov bo`ladi. Isbotlang.
Isbot. Chunki F (x) = [x] funksiya monoton kamaymaydigan o`ngdan uzluksiz funksiya bo`lib, uning qiymatlar to`plami butun sonlar to`plami Z dan iborat. Butun sonlar to`plami esa sanoqli to`plamdir.
6.7. 6.6-misolda keltirilgan F ¡Lebeg-Stiltes o`lchov bo`yicha A = (1; 5] Sf7; 8g to`plamning o`lchovini toping.
Yechish. Hosil qilingan F ¡Lebeg-Stiltes o`lchovi bo`yicha ixtiyoriy n 2 Z nuqtaning o`lchovi birga teng. Chunki fng = [n; n] tenglik o`rinli bo`lgani uchun, ta'rifga ko`ra
F ([n; n]) = F (n) ¡ F (n ¡ 0) = n ¡ (n ¡ 1) = 1:
Demak, F (f7; 8g) = 2: Endi B = (1; 5] to`plamning o`lchovini topamiz.
F(B) = F(5) ¡ F(1) = 5 ¡ 1 = 4:


singulyar o`lchov ekanli-
Berilgan A to`plam o`zaro kesishmaydigan B va f7; 8g to`plamlarning bir-lashmasidan iborat. O`lchovning additivlik xossasiga ko`ra
F (A) =F (B) +F (f7; 8g) = 4 + 2 = 6:
Isbot. F ¡Lebeg-Stiltes o`lchovi bo`yicha ixtiyoriy a 2 R nuqtaning o`lchovi nolga teng. Chunki fag = [a; a] tenglik o`rinli bo`lgani uchun, ta'rif-ga ko`ra hamda K(x) ning uzluksizligidan F ([a; a]) = K(a) ¡ K(a ¡ 0) = 0:
Bundan tashqari A = (¡1; 0) S(1; 1) to`plamning o`lchovi ham nolga teng. Haqiqatan ham, o`lchovning additivlik xossasiga ko`ra
F (A) =F ((¡1; 0)) +F ((1; 1)) =



= K(0) ¡ a

lim

K(a) + alim K(a) ¡ K(1) = 0:

(6:21)




!¡1

!1









Xulosa
Hosil qilingan xulosa sin arning tashkil qilinishiga zid, ya'ni tekislik bu belgi yordamida o`zaro kesishmaydigan sin arga ajralmaydi.

Endi to`plam elementlari qanday shartlarni qanoatlantiruvchi belgilar yor-damida o`zaro kesishmaydigan sin arga ajralishini qarab chiqamiz.


Biror M to`plam va uning o`zini-o`ziga dekart ko`paytmasi M£M berilgan


funksiyaning Φ o`zgarishi chegaralangan funksiya bo`yicha

Lebeg-Stiltes integralini hisoblash uchun Φ funksiyaning ikki kamaymaydigan funksiyalar ayirmasi ko`rinishidagi istalgan tasviridan foydalanish mumkin.


X metrik fazoda x1; x2; : : : ; xn; : : : nuqtalar ketma-ketligi va x nuqta berilgan bo`lsin. Agar ixtiyoriy " > 0 uchun shunday n0 nomer mavjud bo`lib, barcha n > n0 lar uchun xn nuqta x ning O" (x) atro - ga tegishli bo`lsa, u holda bu ketma-ketlik x nuqtaga yaqinlashadi deyiladi. Agar fxng ketma-ketlik x nuqtaga yaqinlashsa, u holda x nuqta fxng ketma-ketlikning limiti deyiladi.

Bu ta'rifni quyidagicha ham ifodalash mumkin.




Adabiyotlar :
1 Аюпов Ш.А., Ибрагимов М.М., Кудайбергенов К.К. Функционаллық анализден мисол ва масалалар, Нөкис, «Билим», 2009.
2 Ayupov Sh.A., Berdikulov M.A., Turgunbayev R.M. Funksional analiz. Toshkent, 2007.
3 Abdullaev J., Ganixojaev R.N., Shermatov M.H., Egamberdiev O.I. Funksional analiz, Toshkent, 2009.
4 Gorodetskiy V.V., Nagnibida N.I., Nastasiev P.P. Metody resheniya zadach po funksional'nomu analizu. M.: Vysshaya shokla, 1990.
5 Kantorovich L.V., Akilov G.P. Funksional'niy analiz. M.: Nauka, 1977.
6 Kirillov A.A., Gvishiani A.D. Teoremi i zadachi funksional'nogo analiza. M.: Nauka, 1979.
7 Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Elementi teoriy funksiy i funksional'nogo analiza. M: Nauka, 1977.
8 Kutateladze S.S. Osnovy funksional'nogo analiza. Novosibirsk, 2001.
Yüklə 63,67 Kb.

Dostları ilə paylaş:
1   2   3   4




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin