Reja: O`lchovli to`plamlar

Mavzu: Lebeg Stiltes o`lchov
Reja:
1. O`lchovli to`plamlar
2. Tekislikdagi to`plamning o`lchovi
3. O`lchovning umumiy tushunchasi
4. O`lchovning Lebeg Stiltes bo`yicha davomi

Kirish
Funksional analiz - matematik analiz, geometriya va chiziqli algebraning g`oya va usullarini cheksiz o`lchamli fazolar uchun umumlashtiruvchi fan hisob-lanadi. Hozirgi kunda funksional analizning g`oya, konsepsiya, usul va tushun-chalari matematikaning barcha sohalari tomonidan tan olingan. So`nggi yil-larda di erensial tenglamalar, hisoblash usullari, matematik dasturlashning talab va ehtiyojlariga javoban funksional analizning yangi chiziqli bo`lmagan tarmog`i paydo bo`ldi. Zamonaviy matematikaning bu yo`nalishi amaliyotchi-lar va muhandislarning o`sib kelayotgan ehtiyojlarining bir qismini qondiradi.

Ushbu darslik Funksional analiz va integral tenglamalar fanidan namu-naviy ishchi dasturga moslab tuzilgan. Darslik universitetlarning mexanika va matematika bakalavriyat yo`nalishlari bo`yicha ta'lim olayotgan talabalari uchun mo`ljallab yozilgan.

Darslikning asosiy maqsadi bo`lg`usi mutaxassislarni funksional analizning asosiy tushunchalari va usullari bilan tanishtirish, funksional analizning asosiy boblari bo`yicha nazariy bilimlarini shakllantirish, masalalar yechishda malaka va ko`nikmalar hosil qilish, hamda ularda integral tenglamalar bilan ishlash mahoratini paydo qilishdan iborat.

Darslikni o`qish jarayonida talabalar o`zlarining matematik analiz, chiziqli algebra va geometriyadan olgan bilimlarini to`ldiradilar, hamda ularni funk-sional fazolarga moslab qo`llaydilar, ya'ni mustahkamlaydilar. Talabalar chi-ziqli funksional va operator tushunchalari bilan tanishadilar va ularning asosiy xossalarini o`rganadilar. Cheksiz o`lchamli funksional fazolarni o`rganish jara-yonida o`quvchilar funksional analizning kuchli va nozik usullarini tushunishga biroz qiynaladilar, lekin tushunib yetganlaridan keyin o`zlarida ilmga undovchi qandaydir ichki kuch sezadilar.

O`lchovli to`plamlar

Bu bob uch paragrafdan iborat. Dastlabki 6-paragrafda tekislikdagi to`plam-ning Lebeg o`lchovi tushunchasi kiritilgan. O`lchov tushunchasi bu ¡ kesma-ning uzunligi, tekislikdagi shaklning yuzasi, fazodagi jismning hajmi kabi tu-shunchalarning umumlashmasi natijasida paydo bo`lgan. Bu paragrafda Lebeg ma'nosida o`lchovli to`plamlar sin Jordan ma'nosida o`lchovli to`plamlar sin-dan kengroq ekanligi ta'kidlangan va Lebeg ma'nosida o`lchovli bo`lgan, am-mo Jordan ma'nosida o`lchovli bo`lmagan to`plamga misol keltirilgan. Lebeg o`lchovining yarim additivlik, additivlik, sanoqli additivlik va uzluksizlik xos-salari (6.6, 6.8-6.9 teoremalar) isbotlangan. Birlik kvadratdagi o`lchovli to`p-lamlar sistemasi ¾ ¡ algebra tashkil qilishi ko`rsatilgan. Bu paragrafning ay-
rim to`ldirishlar bandida tekislikda berilgan A to`plamning Lebeg ma'nosida

o`lchovli bo`lishligi ta'ri angan. Umumlashtirishlar bandida esa Lebeg-Stiltes o`lchovlari berilgan. Paragrafning oxirgi bandida sonlar o`qida Lebeg ma'nosida o`lchovsiz to`plamga misol keltirilgan. Absolyut uzluksiz, singulyar uzluksiz va diskret o`lchovlarga ta'rif berilgan hamda ularga misollar keltirilgan.

7-paragrafda o`lchovning umumiy ta'ri keltirilgan. Yarim halqada beril-gan o`lchovni yarim halqadan hosil bo`lgan minimal halqaga davom ettirish va davomning yagonaligi (7.1-teorema) isbotlangan. Additiv va ¾ ¡ addi-

tiv o`lchovlarning umumiy xossalari keltirilgan. Additiv, ammo ¾ ¡ additiv bo`lmagan o`lchovga misol keltirilgan.

Bobning oxirgi, 8-paragra da yarim halqada berilgan o`lchovni Lebeg bo`yi-cha davom ettirish masalasi qaralgan. Bu yerda ham 6-paragrafdagiga o`xshash o`lchovning yarim additivlik, additivlik, sanoqli additivlik va uzluksizlik xos-salari isbotlangan. Birlik elementli S_m yarim halqada ¾ ¡ additiv m o`lchov berilgan bo`lsa, bu o`lchovning Lebeg bo`yicha davomi ¡„ ham ¾ ¡ additiv o`lchov bo`lishi isbotlangan.

6- x: Tekislikdagi to`plamning o`lchovi

Biz bu paragrafda tekislikda Lebeg ma'nosida o`lchovli to`plam ta'ri ni beramiz va o`lchovli to`plamlarning asosiy xossalarini isbotlaymiz.

6.1. Elementar to`plam o`lchovi. Aytaylik a; b; c va d lar ixtiyoriy

sonlar bo`lsin. Tekislikda