Reja: Xosmas integrallar

Absolyut va shartli yaqinlashuvchanlik.

Ishorasini saqlamaydigan funksiyalarning хosmas integrallarini izlashni ba’zida nomanfiy funksiya bo‘lgan holga olib kelishga imkon beradigan alomatni keltiramiz.
Agar integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda integral ham yaqinlashuvchi bo‘ladi. Bunda oхirgi integral absolyut yaqinlashuvchi interval deb ataladi.
Agarda integral yaqinlashuvchi, integral esa uzoqlashuvchi bo‘lsa, u holda integral shartli yaqinlashuvchi integral deb ataladi.
4-misol
Ushbu

integrallarning yaqinlashuvchanligini tekshiring.
►Integral ostidagi funksiyalar ushbu shartlarni qanoatlantiradi:


integral yaqinlashuvchi, shuning uchun

integrallar ham yaqinlashuvchi bo‘ladi. ◄


Bernulli tenglamasi
Birinchi tartibli F(x,y,y`) = 0 differensial tenglamaning chap qismi у va y` larga chiziqli bog`liq shakliga chiziqli tenglama deyiladi. Chiziqli, birinchi tartibli differensial tenglama,
y′ + P(x)·y = f(x) (6)
ko`rinishda yozilishi mumkin.
(6) tenglamani integrallash jarayoni, odatda, ikki bosqichdan iborat. Dastlab, tenglama o`ng tomonidagi f(x) funksiyani 0 bilan almashtiriladi va
y′ + P(x) - y = 0 (7)
tenglamaning umumiy yechimi topiladi. (7) tenglama (6) tenglamaning mos chiziqli bir jinsli tenglamasi deyiladi. (6) tenglamaning o`zi esa, agar f(x) ≠ 0 bo`lsa, bir jinsli bo`lmagan tenglama deyiladi. Bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi qurilgandan so`ng, bir jinsli bo`lmagan tenglamaning biror-bir y1(x) xususiy yechimi topiladi.
Bir jinsli bo`lmagan (1) tenglama umumiy yechimi, ushbu tenglama biror-bir xususiy y1(x) yechimi bilan uning mos bir jinsli tenglamasi umumiy yechimlari yig`indisiga teng.
Birinchi bosqichda bir jinsli (7) tenglamani yechamiz.
Tenglama o`zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama bo`lgani uchun,
dy/y = - P(x)·dx.
Oxirgi tenglamani integrallab, y = C·e^-P(x) umumiy yechimni quramiz, bu yerda, P(x) flinksiya p(x) ning boshlang`ich funksiyalaridan bin.
lkkinchi bosqichda (6) tenglama xususiy yechimlaridan birini ixtiyoriy o`zgarmasni variatsiyalash usulida, ya`ni y,(x) xususiy yechimni y1(x) = u(x)·e<sup>-P(x)</sup> shaklda qidiramiz. Ushbu ifodani (6) tenglamaga qo`yamiz va u(x) noma`lum funksiyaga nisbatan,
u′- e<sup>-P(x)</sup> - u·P′(x)·e<sup>-P(x)</sup> + P(x)·u·e<sup>-P(x)</sup> = f(x)
tenglamani olamiz. P′(x) = p(x) munosabat o`rinli bo`lgani uchun, tenglamaning chap tomondagi ikkinchi va uchinchi hadlari o`zaro yeyi-shadi. Natijada,
u′·e^-P(x) = f(x) yoki du/dx = f(x)·e^P(x)
tenglama kelib chiqadi. Uni integrallab, cheksiz ko`p
u(x) = ∫f(x)·e<sup>P(x)</sup>dx
boshlang`ich funksiyalardan birini tanlaymiz.
Masala. y′ - 2x(y + l) = 0 tenglamani yeching.
Tenglama y′ - 2x - y = 2x shaklda yozilishi mumkin va chiziqli tenglamadir. Tenglamaning mos bir jinsli tenglamasi y′ – 2x - y = 0 ko`rinishga ega. O`zgaruvchilarni ajratib, so`ngra integrallaymiz:
dy/y = 2x·dx ↔ ln|y| = x<sup>2</sup>+ln|c| ↔ y = ± c·e<sup>x2</sup>
Dastlabki bir jinslimas tenglamaning xususiy yechimi y<sub>0</sub>(x) ni y<sub>0</sub>(x) = u(x)·e<sup>x2</sup> ko`paytma ko`rinishida topamiz:
u′ - e<sup>x2</sup> + 2x·u·e<sup>x2</sup> - 2x·u·e<sup>x2</sup> = 2x ↔ u′ = 2x·e<sup>-x2</sup>
va u(x) = - e<sup>-x2</sup> +c, umumiy yechimdan u(x) = - e<sup>-x2</sup> xususiy yechimni tanlaymiz. Natijada, y<sub>0</sub>(x) = - e<sup>-x2</sup>·e<sup>x2</sup> = -1, shunday qilib, berilgan tenglamaning umumiy yechimini xususiy y = - l va mos bir jinsli tenglama umumiy yechimi y = c·e<sup>x2</sup> larning yig`indisidan iborat:
y(x) = c·e^x2 - l;
Chiziqli differensial tenglamani yechishda qo`llanilgan usul ba`zi chiziqsiz tenglamalarni ham yechish imkonini beradi. Xususan, chiziqsiz
y′+ P(x)·y = q(x)·yⁿ (8)
Bernulli tenglamasi deb yuritiladigan tenglamani yuqoridagi usulni qo`llab, yechish mumkin. Dastlab, y′ + P(x)·y = 0 bir jinsli tenglamaning yechimlaridan biri y<sub>0</sub>(x) ni topamiz.
(8) tenglama umumiy yechimini y(x) = u(x)·y<sub>0</sub>(x) ko`rinishda qidiramiz. Natijada, noma`lum u(x) ga nisbatan,
u′(x)·y<sub>0</sub>(x) = q(x)·u<sup>n</sup>(x) - y<sub>0</sub><sup>n</sup>(x)
o`zgaruvchilari ajraladigan tenglama kelib chiqadi va integrallanadi.
Masala. y′+ 2y - e^2x·y² = 0 tenglamani yeching.
Dastlab, bir jinsli y′+ 2y = 0 tenglamani integrallaymiz va uning у = c·e^-2x umumiy yechimini olamiz. Yechimlaridan biri sifatida y₀(x) = e^-2x funksiyani qarash mumkin. So`ngra, berilgan tenglamada y(x) = u(x)·e^-2x almashtirish bajaramiz:
e^-2x·u′ = e^-4x·e^2x·u² yoki du/u² = l.
Oxirgi tenglamani integrallab, u(x) = l/(c - x) tenglikni olamiz. Natijada, tenglama umumiy yechimi:

y(x) = u(x)·y₀(x) = e^-2x/(c - x).

Foydalanilgan adabiyotlar

1. И.А.Каримов. Ўзбекистон Республикасининг “Кадрлар тайёрлаш миллий дастури”. Баркамол авлод – Ўзбекистон тараққиётининг пойдевори. Тошкент, Шарқ, 1997 й.
2.T. Azlarov, X. Mansurov. Matematik analiz. 1,2-tom Toshkent, “O‟qituvchi” 1986,1989.
3.T. Jo‟rayev, A. Sa‟dullayev, G. Xydoyberganov, X. Mansurov, A. Vorisov. Oliy matematika asoslari. 1-tom. Toshkent. “O‟zbekiston”, 1995.
4.Yo.U.Soatov. Oliy matematika. 3-tom. Toshkent, “O‟zbekiston”, 1996.
5. Г.М. Фихтенгоьц. Курс дифференциалного и интегрального исчесления. Том 1, 2, 3. Москва, Наука, 1998
6. Г.М. Фихтенгоьц. Основы математического анализа т. 1,2 Москва «Высшая школа» 1997.
7.Л. Д. Кудраявцев. Курс математического анализа. Т 1,2 Москва, «Наука» 1998.
8.В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов. Математический анализ. Т 1,2 Москва, «Наука» 1998.
9.В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов. Математический анализ. Т 1,2 Изд, «Масковского университета» 1997.